+辽宁省铁岭市昌图县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+辽宁省铁岭市昌图县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共26页。


A．B．C．D．
2．（3分）如果2a＝5b（a，b均不为0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．（3分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小亮做摸球试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，不断重复上述过程，对试验结果进行统计后
则下列结论中正确的是（ ）
A．n越大，摸到白球的概率越接近0.7
B．当n＝2000时，摸到白球的次数m＝1200
C．当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近
D．这个盒子中约有28个白球
4．（3分）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中（ ）
A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°
B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD
D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD
5．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），CG＝2，GF＝4，则（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
7．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
8．（3分）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，则点B1的坐标为（ ）
A．（8，6）B．（8，6）或（﹣8，﹣6）
C．（16，12）D．（16，12）或（﹣16，﹣12）
9．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（2，3）在该函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．该图象关于原点成中心对称
10．（3分）反比例函数y＝﹣与一次函数y＝kx﹣3在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程x（x﹣1）＝x的解为 ．
12．（3分）一天下午，小红先参加了校运动会女子200m比赛，然后又参加了女子400m比赛，如图所示，则小红参加200m比赛的照片是 ．（填“图1”或“图2”）
13．（3分）如图，过x轴上任意点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝（x＞0）（x＞0）的图象交于A点和B点，若C为y轴任意一点．连接AB、BC ．
14．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，若AB＝6 ．
15．（3分）正方形ABCD中，AB＝6，点E在直线AD上，且，线段BE的垂直平分线交CD边于点F，则DF的长为 ．
三.解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）（x﹣4）2＝2（x﹣4）．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若x1，x2是方程的两个不相等的实数根，且，求m的值．
18．（10分）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形
（1）小红从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为 ；
（2）从这四张纸牌中随机摸出一张，放回洗匀后再摸出一张，用树状图或表格法
19．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：FA＝BD；
（2）连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
20．（9分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接AO，求△AOC的面积；
（3）不等式kx+b＜的解集是 ．
21．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
22．（10分）如图，▱ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB＝3，AD＝2，∠BAE＝30°
23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图1，将线段AD绕着点A顺时针旋转90°，得到线段AE，判断线段EB，BD，并证明；
（2）在图2中，在线段BD取一点F，使得DF＝DC，连接AG．
①补全图形；
②判断线段AG与AD的数量关系，并证明．
2023-2024学年辽宁省铁岭市昌图县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看外边是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．
2．（3分）如果2a＝5b（a，b均不为0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】由2a＝5b，根据比例的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵2a＝5b，（a，
∴＝或＝或a＝．
故选：C．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
3．（3分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小亮做摸球试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，不断重复上述过程，对试验结果进行统计后
则下列结论中正确的是（ ）
A．n越大，摸到白球的概率越接近0.7
B．当n＝2000时，摸到白球的次数m＝1200
C．当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近
D．这个盒子中约有28个白球
【分析】利用表格信息，可知当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，可以得到盒子内白球数24，黑球数16，由此即可判断．
【解答】解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，黑球数16；
故A、D错误，m的值接近1200，
故选：C．
【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解大量重复试验中，事件发生的频率约等于概率．
4．（3分）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中（ ）
A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°
B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD
D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；
D、∵∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
5．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），CG＝2，GF＝4，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】由AB∥CD∥EF，利用平行线分析线段成比例定理，可得出＝，再结合各边的长度，即可得出的值．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
又∵AC＝3，CG＝2，
∴CF＝CG+GF＝5+4＝6，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣6＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴x2﹣8x+4＝1+3，
∴（x﹣2）2＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
7．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝2EF＝6，即可求解．
【解答】解：∵E、F分别是AB，
∴BC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题．
8．（3分）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，则点B1的坐标为（ ）
A．（8，6）B．（8，6）或（﹣8，﹣6）
C．（16，12）D．（16，12）或（﹣16，﹣12）
【分析】根据位似图形的性质求出两个矩形的位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵矩形OA1B1C7O与矩形OABC位似，矩形OA1B1C3的面积等于矩形OABC面积的4倍，
∴矩形OA1B8C1O与矩形OABC的位似比为2：2，
∵矩形OA1B1C8O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，6），
∴点B1的坐标为（4×2，6×8）或（8×（﹣2），即（16，﹣12），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
9．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（2，3）在该函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．该图象关于原点成中心对称
【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可．
【解答】解：A．∵反比例函数y＝﹣，
∴该函数的图象在第二、四象限；
B．把（2得：左边＝3，左边≠右边，
所以点（2，6）不在该函数的图象上；
C．∵反比例函数y＝﹣，
∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大；
D．反比例函数y＝﹣、四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
10．（3分）反比例函数y＝﹣与一次函数y＝kx﹣3在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别利用k的取值，进而分析一次函数与反比例函数图象的位置，进而得出答案．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣3的图象经过第一、三，反比例函数y＝﹣、四象限，
当k＜2时，一次函数y＝kx﹣3的图象经过第二、三，反比例函数y＝﹣、三象限，
四个选项中只有C符合，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，关键是熟练掌握两个函数图象的性质．
二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程x（x﹣1）＝x的解为 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x﹣1）＝x，
x（x﹣1）﹣x＝3，
x（x﹣1﹣1）＝5，
x＝0，x﹣1﹣5＝0，
x1＝6，x2＝2．
故答案为：x2＝0，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
12．（3分）一天下午，小红先参加了校运动会女子200m比赛，然后又参加了女子400m比赛，如图所示，则小红参加200m比赛的照片是 图2 ．（填“图1”或“图2”）
【分析】通过比较人的影子的长短可判断时间的先后顺序．
【解答】解：图1中的人的影子比较长，所以图1中反映的时间比图8中反映的时间要晚，
所以小红参加200m比赛的照片为图2．
故答案为图2．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
13．（3分）如图，过x轴上任意点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝（x＞0）（x＞0）的图象交于A点和B点，若C为y轴任意一点．连接AB、BC ．
【分析】设出点P坐标，分别表示点A、B坐标，表示△ABC面积．
【解答】解：设点P坐标为（a，0）
则点A坐标为（a，），B点坐标为（a，﹣）
∴S△ABC＝S△APC+S△CPB＝+＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
14．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，若AB＝6 9﹣3 ．
【分析】根据黄金分割的定义得到AP＝AB，再把把AB＝6代入可计算出AP的长，然后计算AB﹣AP即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴AP＝AB＝6×﹣5，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣（3﹣3）＝9﹣3．
故答案为9﹣3．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
15．（3分）正方形ABCD中，AB＝6，点E在直线AD上，且，线段BE的垂直平分线交CD边于点F，则DF的长为 或 ．
【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接BF，EF，分两种情况：①当E在AD延长线上时，可得E（9，6），根据线段BE的垂直平分线交CD边于点F，设F（6，m），有62+m2＝（9﹣6）2+（6﹣m）2，即可解得F（6，），故DF＝6﹣＝；②当E在线段AD上时，同理可得DF＝．
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴，连接BF，
①当E在AD延长线上时，如图：
∵正方形ABCD中，AB＝6，
∴BC＝6＝AD，直线CD解析式为x＝6，
∵DE＝AE，
∴DE＝AD＝3，
∴AE＝6，
∴E（9，6），
∵线段BE的垂直平分线交CD边于点F，
∴BF＝EF，
设F（6，m）2+m2＝（7﹣6）2+（2﹣m）2，
解得m＝，
∴F（6，），
∵D（6，6），
∴DF＝8﹣＝；
②当E在线段AD上时，如图：
∵DE＝AE，
∴DE＝AD＝，
∴AE＝，
∴E（，6），
设F（5，n），
由BF＝EF可得62+n3＝（6﹣）2+（n﹣6）8，
解得n＝，
∴F（6，），
∵D（6，6），
∴DF＝8﹣＝；
故答案为：或．
【点评】本题考查正方形的性质及应用，涉及勾股定理及应用，平面直角坐标系等知识，解题的关键是建立平面直角坐标系，求出点F的坐标．
三.解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）（x﹣4）2＝2（x﹣4）．
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【解答】解：（1）2x2﹣8x﹣1＝0，
∴a＝6，b＝﹣4，Δ＝b2﹣2ac＝16+8＝24，
∴，
解得：；
（2）（x﹣4）3＝2（x﹣4），
∴（x﹣3）2﹣2（x﹣4）＝0，
∴（x﹣4）（x﹣5﹣2）＝0，
∴x﹣7＝0或x﹣6＝5，
解得x1＝4，x7＝6．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法、公式法及配方法是解题的关键．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若x1，x2是方程的两个不相等的实数根，且，求m的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系求出答案即可；
（2）根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将转化为关于m的方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣8m2＞0，
化简得Δ＝[﹣3（m﹣1）]2﹣4m2＝﹣8m+7＞0，
解得；
（2）由题意知，，
∵，
∴，
即，
化简得m2+m﹣1＝2，
解得m＝，
∵，
∴m＝．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
18．（10分）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形
（1）小红从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为 ；
（2）从这四张纸牌中随机摸出一张，放回洗匀后再摸出一张，用树状图或表格法
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先画出树状图或列表列出可能的情况，再根据中心对称图形的概念可知，当摸出圆和平行四边形时为中心对称图形，除以总情况数即可．
【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种；
故答案为：；
（2）列树状图得：
共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，
∴P（两张都是中心对称图形）＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：FA＝BD；
（2）连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
【分析】（1）证明△AEF≌△DEC（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝DC，则可得出结论；
（2）证出四边形ADBF是平行四边形，由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
又∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
又∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD；
（2）证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形ADBF是矩形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定，证明△AEF≌△DEC是解题的关键．
20．（9分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接AO，求△AOC的面积；
（3）不等式kx+b＜的解集是 x＜﹣2或0＜x＜1 ．
【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得A点坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式；
（2）根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据A点的坐标可求得A到OC的距离，可求得△AOC的面积；
（3）根据两函数图象的交点即可求出反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵B点（1，4）在反比例函数，
∴m＝8×4＝4，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵A点（n，﹣2）在反比例函数y＝，
∴n＝﹣6，即A点坐标为（﹣2，
又∵A、B两点在一次函数图象上，
∴代入一次函数解析式y＝kx+b可得，
解得．
∴一次函数解析式为y＝2x+2；
（2）在y＝8x+2中，令x＝0可得y＝3，
∴C点坐标为（0，2），
∴OC＝4，
又∵A为（﹣2，﹣2），
∴A到OC的距离为4，
∴S△AOC＝×2×2＝2；
（3）∵由一次函数与反比例函数的图象可知，当x＜﹣4或0＜x＜1时反比例函数的图象在一次函数图象的上方，
∴当x＜﹣5或0＜x＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值，
即不等式kx+b＜的解集是x＜﹣8或0＜x＜1，
故答案为x＜﹣5或0＜x＜1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要求学生能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系．
21．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x6＝0.2＝20%，x6＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y7﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）如图，▱ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB＝3，AD＝2，∠BAE＝30°
【分析】（1）由平行四边形的性质结合条件可得到∠BAF＝∠AED，∠AFB＝∠EDA，据此即可证得结论；
（2）由平行线的性质可知∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，由含30°角直角三角形的性质及勾股定理可求得AE，再根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴∠C+∠EDA＝180°，∠BAF＝∠AED，
∵∠BFE＝∠C，∠BFE+∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝∠EDA，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE＝∠BEC＝90°，
∵∠BAE＝30°，
∴，
在Rt△ABE中，AE8＝AB2+BE2，AB＝8，
得，
解得或﹣2，舍去），
∵△ABF∽△EAD，
∴，
得，
解得，
故BF的长为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图1，将线段AD绕着点A顺时针旋转90°，得到线段AE，判断线段EB，BD，并证明；
（2）在图2中，在线段BD取一点F，使得DF＝DC，连接AG．
①补全图形；
②判断线段AG与AD的数量关系，并证明．
【分析】（1）先证△EAB≌△DAC（SAS），得出BE＝CD，∠EBA＝∠C＝45°，再求出∠EBC＝90°，然后由勾股定理得EB2+BD2＝DE2，DE2＝2AD2，即可得出结论；
（2）①根据题意画出图形即可；
②延长GF交AC于点H，连接DH、DG，先证四边形ABGH是矩形，得出∠AHG＝90°，BG＝AH＝FG，再证△CHF是等腰直角三角形，得出DF＝DH＝DC，∠HDF＝∠HDC＝90°，∠DHC＝∠FHD＝45°，然后证△AHD≌△GFD（SAS），得出AD＝DG，∠ADH＝∠GDF，最后证△ADG是等腰直角三角形，即可得出结论．
【解答】解：（1）EB2+BD2＝4AD2，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由旋转的性质得：AE＝AD，∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB＝∠DAC，
在△EAB与△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，∠EBA＝∠C＝45°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝45°+45°＝90°，
在Rt△BED中，由勾股定理得：EB2+BD2＝DE2，
∵AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴DE2＝2AD2，
∴EB2+BD3＝2AD2；
（2）①补全图形，如图8；
②线段AG与AD的数量关系为：AG＝AD
如图3，延长GF交AC于点H、DG，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∵△BGF是以BF为斜边的等腰直角三角形，
∴BG＝FG，∠GBF＝∠BFG＝45°，
∴∠ABG＝∠ABC+∠GBF＝45°+45°＝90°，
∴∠BAH＝∠ABG＝∠BGH＝90°，
∴四边形ABGH是矩形，
∴∠AHG＝90°，BG＝AH＝FG，
∵∠HFC＝∠BFG＝45°，
∴∠HFC＝∠C＝45°，
∴△CHF是等腰直角三角形，
∵DF＝DC，
∴DF＝DH＝DC，∠HDF＝∠HDC＝90°，
∴∠AHD＝∠AHG+∠FHD＝90°+45°＝135°，
∵∠GFD＝180°﹣∠BFG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AHD＝∠GFD，
在△AHD和△GFD中，
，
∴△AHD≌△GFD（SAS），
∴AD＝DG，∠ADH＝∠GDF，
∴∠ADH+∠ADB＝∠GDF+∠ADB，
即∠HDF＝∠ADG＝90°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝AD．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/17 9:07:27；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677摸球的次数n
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