2023-2024学年上海市奉贤区高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市奉贤区高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下图形中，不是函数图像的是( )
A. B.
C. D.
2.下列命题中正确的是( )
A. 若α∈(0,π)且x2>x1>0，则(x2x1)sinα<1
B. 若α∈(0,π)且x1>x2>0，则(x2x1)csα≥1
C. 若α∈(0,π)且x2>x1>0，则(x2x1)sinα>1
D. 若α∈(0,π)且x1>x2>0，则(x2x1)csα≤1
3.某车辆装配车间每2h装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产8h.从当天开始生产的时刻起经过的时间x(单位：h)与装配完成的车辆数y(单位：辆)之间的函数表达式正确的是(数学上，常用[x]表示不大于x的最大整数.)( )
A. y=[x2]，x∈[0,8]B. y=[x]2，x∈[0,8]
C. y=12x，x∈[0,8]D. y=2[x]，x∈[0,8]．
4.已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a>1，b>1，c>1，有以下2个命题：
①以 a、 b、 c为边长的三角形一定存在；
②以lg2a、lg2b、lg2c为边长的三角形一定存在；
则下列选项正确的是( )
A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立
C. ①②都成立D. ①②都不成立
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.用描述法表示所有偶数组成的集合______．
6.函数y=lg2(x+1)的定义域A=______．
7.若幂函数y=xα的图像经过点(3,3 3)，则此幂函数的表达式是______．
8.已知方程x2+x−3=0的两根为x1，x2，则|x1−x2|=______．
9.已知a>0，用有理数指数幂的形式表示 a a= ______ ．
10.α：四边形ABCD是正方形，β：四边形ABCD的四个角都是直角，则α是β的______ 条件．
11.不等式5x+3x−1≤3的解集用区间表示为______ ．
12.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB与AC的夹角为2π3，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为______ cm2．
13.设a、b为正数，且a与2b的算术平均值为1，则a与2b的几何平均值最大值为______ ．
14.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB(分贝)】定义为y=10lgII0.其中，I为声场中某点的声强度，其单位为W/m2(瓦/平方米)，I0=10−12W/m2为基准值.声强级60dB的声强度I60是声强级40dB的声强度I40的______ 倍.
15.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD垂直于斜边BC，且垂足为D，设BD及CD的长度分别为a和b(a≠b)，E是BC的中点，点B绕点E顺时针旋转90°后得到点F，过D点作DH垂直于AE，且垂足为H.有以下三个命题：
①由图知AD②由图知AH③由图知FE以上三个命题中真命题的是______ .(写出所有正确命题的序号)
16.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上存在x0∈[a,b]满足f(x0)=f(b)−f(a)b−a，则x0称为函数y=f(x)在区间[a,b]上的一个均值点.已知函数y=32x−3x+1−m在[0,1]上存在均值点，则实数m的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示.已有材料可建成的围墙总长度为30米，宽为x米，居室总面积y平方米．
(1)若居室总面积不少于48平方米，求x的取值范围；
(2)当宽x为多少米时，才能使所建造的居室总面积最大？
18.(本小题16分)
已知a为实数，集合A={x|ax<1}，B={x||x−1|<2}．
(1)求集合A、B；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
19.(本小题16分)
已知平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，角α始边与x轴的正半轴重合，终边与一次函数y=−x+1的图像交于点P(m,n)．
(1)当m=−2时，求sinα⋅csα的值；
(2)若sin(π2+α)cs(π−α)tan(3π2−α)ct(π+α)=−14，求点P的坐标．
20.(本小题16分)
已知函数y=bx+12x+a.(b>0且b≠1)
(1)若a=b=2，求函数的值域；
(2)若a=0，是否存在正数b，使得函数是偶函数，请说明理由．
(3)若a>0，b=4，且函数在[−1,+∞)上是严格增函数，求实数a的取值范围．
21.(本小题16分)
定义：给定函数y=f(x)，若存在实数m、n，当f(1−x)、f(x+1)、f(x)有意义时，f(1−x)+mf(x+1)=nf(x)总成立，则称函数y=f(x)具有“m*n性质”．
(1)判别函数y=2x−3是否具有“m*n性质”，若是，写出m、n的值，若不是，说明理由；
(2)求证：函数y=lgax(a>0且a≠1)不具有“m*n性质”；
(3)设定义域为R的奇函数y=f(x)具有“1*0性质”，且当x∈(0,1]时，y=−2x,x∈(0,12]−1+ 1−4(x−1)2,x∈(12,1]..若对x∈[−4,4]，函数y=f(x)−tx有5个零点，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意自变量x只能有唯一的y与x对应，
选项A中，出现了两个不同的y和x对应，不满足唯一性，而选项B，C，D符合函数的定义．
故选：A．
根据函数的定义求解即可．
本题考查函数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为x2>x1>0，所以x2x1>1，又α∈(0,π)，
所以sinα>0，故(x2x1)sinα>1，故A错误，C正确；
因为x1>x2>0，所以0又α∈(0,π)，当α∈(0,π2)时，csα>0，此时(x2x1)csα<1，
当α=π2时，csα=0，此时(x2x1)csα=1，
当α∈(π2,π)时，csα<0，此时(x2x1)csα>1，故B和D均错误．
故选：C．
利用指数函数的性质及三角函数在(0,π)上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一判断即可．
本题考查了指数幂大小的比较，已知角或角的范围确定三角函数式的符号，考查了转化思想，属中档题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可得：当0≤x<2时，y=0，
当2≤x<4时，y=1，
当4≤x<6时，y=2，
当6≤x<8时，y=3，
当x=8时，y=4，
即从当天开始生产的时刻起经过的时间x(单位：h)与装配完成的车辆数y(单位：辆)之间的函数表达式为y=[x2],x∈[0,8]．
故选：A．
先阅读题意，然后求解析式即可．
本题考查了函数解析式的求法，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意得a>1，b>1，c>1，a+b>c，
①：( a+ b)2=a+b+2 ab>a+b>c，
所以 a+ b> c，①正确；
②因为a+b>c，但ab与c的大小无法判断，
而lg2a+lg2b=lg2ab，与lg2c的大小无法确定，②错误．
故选：A．
由已知结合三角形的三边关系及对数的运算性质进行检验即可．
本题主要考查了命题的真假关系的判断，属于基础题．
5.【答案】{x|x=2n,n∈Z}
【解析】【分析】
本题考查了集合的表示方法，属于基础题．
根据描述法的定义即可求出．
【解答】
解：描述法为：{x|x=2n,n∈Z}．
故答案为：{x|x=2n,n∈Z}．
6.【答案】(−1,+∞)
【解析】解：根据题意得x+1>0，解得x>−1，
∴函数的定义域A=(−1,+∞)，
故答案为：(−1,+∞)．
根据对数函数真数大于0，列出x+1>0，再解出不等式．
本题考查了对数函数定义域的求法，即令真数大于零进行求解即可．
7.【答案】y=x32
【解析】解：将(3,3 3)代入函数得3 3=3α，解得α=32，
所以此幂函数的表达式是y=x32．
故答案为：y=x32．
将(3,3 3)代入函数求得α即可得出．
本题考查幂函数，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】 13
【解析】解：∵方程x2+x−3=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=−1，x1⋅x2=−3，
则|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1⋅x2= 1+12= 13，
故答案为： 13．
由题意，利用韦达定理，变形求得结果．
本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．
9.【答案】a34
【解析】解： a a=(a⋅a12)12=(a32)12=a34．
故答案为：a34．
根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可．
本题考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
10.【答案】充分不必要
【解析】解：四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的四个角都是直角，即α⇒β，
若四边形ABCD的四个角都是直角，这个四边形可能是长方形，不一定是正方形，
即β推不出α，则α是β的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
根据充分不必要条件的定义判断即可．
本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题．
11.【答案】[−3,1)
【解析】解：不等式5x+3x−1≤3，即2x+6x−1≤0，即(2x+6)(x−1)≤0x−1≠0，求得−3≤x<1，
可得不等式的解集为[−3,1)．
故答案为：[−3,1)．
由题意，把分式不等式转化为不等式组，从而求出它的解集．
本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
12.【答案】800π3
【解析】解：AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，
则AD=10cm，
则贴纸部分的面积为：12×2π3×(302−102)=800π3cm2．
故答案为：800π3．
根据已知条件，结合扇形的面积公式，即可求解．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
13.【答案】 22
【解析】解：∵12(a+2b)是a、2b的算术平均值，则有12(a+2b)=1，即a+2b=2，
∴a+2b≥2 2ab，
即2≥2 2ab，ab≤12，当且仅当a=2b，且a+2b=2，即a=1，b=12时取等号．
故答案为： 22．
利用基本不等式，结合几何平均值和算术平均值的定义，即可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
14.【答案】100
【解析】解：由题意可得60=10lgI60I0，40=10lgI40I0，
则60−40=10lgI60I0−10lgI40I0，
即lgI60I40=2，
即I60I40=100．
故答案为：100．
先阅读题意，然后结合对数的运算求解．
本题考查了对数的运算，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
15.【答案】①②③
【解析】解：由题意，由三角形相似可得ADBD=CDAD，即AD= ab，
易知AE=12BC=a+b2，又a≠b，
所以由AD在△ADE中，易知DE=a−b2，
所以可得DH=AD⋅DEAE= ab⋅a−b2a+b2=a−ba+b⋅ ab，
由三角形相似可得AHDH=ADDE，
所以AH=AD⋅DHDE=a−ba+b⋅ ab⋅ aba−b2=2aba+b，
由AH易知FE=BE=a+b2，利用勾股定理可得
FD= FE2+DE2= (a+b2)2+(a−b2)2= a2+b22，
所以由FE故答案为：①②③．
根据图形由直角三角形相似可分别计算出各边长，可得AD= ab,AE=a+b2,AH=2aba+b，FD= a2+b22，利用图形中线段长度的大小关系即可得出结论．
本题考查基本不等式及其应用，属中档题．
16.【答案】[−174,−2]
【解析】解：根据题意由y=32x−3x+1−m，可得f(1)−f(0)1−0=−m−(1−3−m)1−0=2；
又因为函数y=32x−3x+1−m在[0,1]上存在均值点，即方程32x−3x+1−m=2在[0,1]上有解，
设t=3x∈[1,3]，则有t2−3t−m=2在[1,3]上有解；
即m=t2−3t−2，
因此函数y=m与y=t2−3t−2(t∈[1,3])图象有交点，
而二次函数y=t2−3t−2(t∈[1,3])对称轴为t=32，其在[1,3]上的值域为[−174,−2]，
所以可得实数m的取值范围是[−174,−2]．
故答案为：[−174,−2]．
先求出f(1)−f(0)1−0=2，由此列方程，再利用换元法以及函数与方程的思想求得实数m的取值范围．
本题属于新概念题，考查了转化思想、二次函数的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设两间相邻的长方形居室的长为y，
则y=30−3x，
由题意可知：30−3x>0x>0，
即0又xy>48，
即x(30−3x)>48，
即x2−10x+16<0，
即2即x的取值范围为(2,8)；
(2)设所建造的居室总面积为S(x)，
则S(x)=x(30−3x)=−3(x−5)2+75，
又0则当x=5时，S(x)取最大值75，
即当宽为5米时，所建造的居室总面积最大．
【解析】(1)设两间相邻的长方形居室的长为y，则y=30−3x，由题意可得xy>48，即x(30−3x)>48，然后求解即可；
(2)设所建造的居室总面积为S(x)，则S(x)=x(30−3x)=−3(x−5)2+75，0本题考查了函数解析式的求法，重点考查了二次函数最值的求法，属中档题．
18.【答案】解：(1)集合A={x|ax<1}，
当a=0时，集合A=R，
当a>0时，A={x|x<1a}，
当a<0时，A={x|x>1a}；
B={x||x−1|<2}={x|−1(2)A∪B=A，
则B⊆A，
当a=0时，显然符合题意，
当a>0时，1a≥3，解得0当a<0时，1a≤−1，解得−1≤a<0，
综上所述，实数a的取值范围为[−1,13].
【解析】(1)结合绝对值不等式的解法，并对a分类讨论，即可求解；
(2)结合并集的定义，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查集合运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)m=−2时，n=−(−2)+1=3，
所以r=|OP|= (−2)2+32= 13，
sinα=3 13，csα=−2 13，
所以sinα⋅csα=3 13×−2 13=−613；
(2)因为sin(π2+α)cs(π−α)tan(3π2−α)ct(π+α)=−14，
所以csα⋅(−csα)ctα⋅ctα=−14，
即cs2αcs2αsin2α14，
解得sinα=±12，
因为α∈(0,2π)，所以α=π6，或α=5π6，或α=7π6，或α=11π6；
当α=π6时，由y= 33xy=−x+1，求得点P的坐标为(3− 32, 3−12)；
当α=5π6或α=7π6时，α的终边与直线y=−x+1没有交点；
当α=11π6时，由y=− 33xy=−x+1，求得点P的坐标为(3+ 32,− 3+12)；
综上，P(3− 32, 3−12)或(3+ 32,− 3+12).
【解析】(1)利用直线方程求出点P的坐标，计算sinα和csα，再求出sinα⋅csα；
(2)利用诱导公式化简求出csα，求出α∈(0,2π)时α的值，再直线方程求点P的坐标．
本题考查了三角函数的定义与运算问题，是中档题．
20.【答案】解：(1)若a=b=2可得函数y=2x+12x+2=2x+2−12x+2=1−12x+2，由指数函数值域易知2x+2∈(2,+∞)，所以12x+2∈(0,12)，因此可得1−12x+2∈(12,1)，即该函数的值域为(12,1)．
(2)若a=0，则函数y=bx+12x，显然定义域为R，
假设存在正数b，使得函数是偶函数，即满足bx+12x=b−x+12−x，
又易知b−x+12−x=1bx+112x=(1+bx)⋅2xbx，即可得(1+bx)⋅2xbx=bx+12x，即bx=4x，
解得b=4，
此时y=4x+12x=2x+12x为偶函数，符合题意，
所以存在正数b=4，使得函数是偶函数．
(3)若a>0，b=4，则y=4x+12x+a，
取∀x1，x2∈[−1,+∞)，且x1则y1−y2=4x1+12x1+a−4x2+12x2+a=(2x1−2x2)[2x1+x2−1+a(2x1+2x2)](2x1+a)(2x2+a)，
若函数在[−1,+∞)上是严格增函数，则可知y1−y2<0，
由于a>0，所以(2x1+a)(2x2+a)>0，
又易知2x1−2x2<0，所以2x1+x2−1+a(2x1+2x2)>0在[−1,+∞)上恒成立即可，
即a>−2x1+x2+12x1+2x2，因此求得(−2x1+x2+12x1+2x2)max即可，
因此−2x1+x2+1≤0可不予考虑，只需考虑−2x1+x2+1>0时成立即可；
当−2x1+x2+1>0，易知−2x1+x2+12x1+2x2≤−2x1+x2+12 2x1⋅2x2=−2x1+x2+12 2x1+x2=12(− 2x1+x2+1 2x1+x2)，显然y=− 2x+1 2x为减函数，所以12(− 2x1+x2+1 2x1+x2)≤12(− 2−2+1 2−2)=34；当且仅当x1=x2=−1时，等号才成立，显然取不到等号，
因此a≥34．
即实数a的取值范围为[34,+∞)．
【解析】(1)利用分离常数法由指数函数值域即可求出该函数值域为(12,1)．
(2)由函数奇偶性定义即可解得b=4．
(3)利用函数单调性定义并根据基本不等式计算即可求得实数a的取值范围是[34,+∞)．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
21.【答案】解：(1)函数y=2x−3具有“m*n性质”，
因为f(1−x)+mf(x+1)=nf(x)，且f(x)=2x−3，
则2(1−x)−3+m[2(x+1)−3]=n(2x−3)，整理得2(m−n−1)x−(m−3n+1)=0，
令m−n−1=0m−3n+1=0，解得m=2，n=1，
所以函数y=2x−3具有“m*n性质”，此时m=2，n=1；
(2)证明：假设函数y=lgax(a>0且a≠1))具有“m*n性质”，
则lga(1−x)+mlga(1+x)=nlgax，
则1−x>01+x>0x>0，解得0整理得lga[(1−x)(1+x)m]=lgaxn，则(1−x)(1+x)m=xn，
取x=14，12，可得34×(54)m=(14)n12×(32)m=(12)n，解得m=lg953；
取x=19，13，可得89×(109)m=(19)n23×(43)m=(13)n，解得m=lg852；
显然lg953≠lg852，即对任意x∈(0,1)，
所以不存在实数m、n使得(1−x)(1+x)m=xn恒成立，
假设不成立，所以函数y=lgax(a>0且a≠1)不具有“m*n性质”；
(3)y=f(x)具有“1*0性质”，
则f(1−x)+f(1+x)=0，可知y=f(x)关于点(1,0)对称，
可得f(−x)+f(x+2)=0，即f(x+2)=−f(−x)，
又因为y=f(x)为定义域为R的奇函数，则−f(−x)=f(x)，
可得f(x+2)=f(x)，即函数y=f(x)的周期为2，
令y=f(x)−tx=0，则f(x)=tx，
由题意可得：y=f(x)与y=tx在[−4,4]内有5个不同的交点，
又因为y=tx为奇函数，可知(0,0)为y=f(x)与y=tx的一个交点，
由对称性可知：y=f(x)与y=tx在(0,4]内有2个不同的交点，
作出y=f(x)在[0,4]内的图象，

当y=tx过(32,1)时，可得t=23；
当y=tx过(52,−1)时，可得t=−25；
当y=tx过(72,1)时，可得t=27；
结合图象可知：实数t的取值范围为(27,23)∪{−25}.
【解析】(1)根据题意代入f(x)=2x−3，整理得2(m−n−1)x−(m−3n+1)=0，取系数为0即可得解；
(2)根据题意代入y=lgax，整理得(1−x)(1+x)m=xn，取值解m即可判断；
(3)根据题意分析函数的对称性和周期性，根据题意结合奇偶性可知y=f(x)与y=tx在(0,4]内有2个不同的交点，数形结合即可得答案．
本题属于新概念题，考查了对数函数的性质及运算，考查了转化思想及数形结合思想，正确理解题意及作出图象是关键，属于难题．