+浙江省金华市义乌市绣湖中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+浙江省金华市义乌市绣湖中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
3．（3分）一个不透明的布袋里装有4个黑球、1个白球、3个红球，它们除颜色外其余都相同．从布袋里任意摸出1个球，是黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，点A，B在以CD为直径的半圆上的中点，连结BD，若∠EDC＝25°，则∠ACD的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
5．（3分）若二次函数y＝ax2+1的图象经过点P（1，2），则该图象必经过点（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，1）
6．（3分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝4，以点C为圆心，BC分别交于点E与点D，则BE的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线（ ）
A．或5B．C．﹣1或2D．或2
8．（3分）如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝02+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根；④a＞．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上的一点，若CF、CE恰好与正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为（ ）
A．B．5
C．D．以上都不对
10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（ ）
A．B．3πC．5πD．
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数y＝（x﹣3）2+5的顶点坐标是 ．
12．（4分）从，，，π四个实数，任取一个数是有理数的概率为 ．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，若CE＝2BE，△CEF的面积等于8 ．
14．（4分）如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，∠ADO＝30°，反比例函数y＝经过CD的中点M ．
15．（4分）若实数a，b满足a+b2＝3，则a2+8b2的最小值为 ．
16．（4分）综合实践课上，小聪把一张长方形纸片ABCD沿着虚线EB剪开，如图①所示，纸片Rt△CB′E′较小锐角的顶点E′在DE上，较长直角边与斜边分别交边AB于点G，且B′E′⊥AB为初始位置，把Rt△CB′E′沿着DE方向平移，如图③，直到点H与点B重合停止．为了探求BH与AG之间的变化关系，请用含m的代数式表示BH．
（1）在平移过程中，BH＝ ，
（2）在旋转过程中，BH＝ ．
三、解答题（本大题有8个小题。共66分）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+|2﹣|﹣2cs45°+（π﹣3.14）0．
18．（6分）一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球（只有颜色不同），从中随机摸出1个球后放回搅匀，再次随机摸出一个球
19．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
（1）直接写出m的值，并求该二次函数的解析式；
（2）当1＜x＜5时，求函数值y的取值范围．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥BC，BE⊥AB．
（1）求证：△DEB∽△BAC；
（2）若BE＝2，AC＝3，△BDE的面积为1
21．（8分）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，月销售量就减少10千克．
（1）写出月销售量y（单位：千克）与售价x（单位：元/千克）之间的函数关系式．
（2）在月销售成本不超过10000元的情况下，当售价定为多少元时可获得最大利润？并求出最大利润．
22．（10分）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离BC＝160cm．设花洒臂与墙面的夹角为α，且花洒臂长AB＝30cm．假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面距离CD＝120cm处淋浴．
（1）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE．
（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合
①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；
②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中
（参考数据：≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）
23．（10分）定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为 ；
（2）若抛物线y＝x2﹣bx（b＞0）是“美丽抛物线”，求b的值；
（3）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B（1，2），与x轴交于A，C，连接OB，在抛物线找一点Q，求Q点的横坐标．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，0），5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D．
（1）△AOD与△COB相似吗？为什么？
（2）如图2，弦DE交x轴于点P，且BP：DP＝3：2；
（3）如图3，过点D作⊙M的切线，交x轴于点Q．点G是⊙M上的动点是否变化？若不变，请求出比值，请说明理由．
2023-2024学年浙江省金华市义乌市绣湖中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据比例的性质，把乘积式写成比例式即可；
【解答】解：∵2x＝3y（y≠2），
∴＝，
故选：D．
【点评】本题考查比例的性质、解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（3分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
【分析】根据二次函数的性质求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣5）2+3
∴当x＝5时，y有最小值7．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．
3．（3分）一个不透明的布袋里装有4个黑球、1个白球、3个红球，它们除颜色外其余都相同．从布袋里任意摸出1个球，是黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据概率的计算公式，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，从布袋里任意摸出1个球，
故选：A．
【点评】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键．
4．（3分）如图，点A，B在以CD为直径的半圆上的中点，连结BD，若∠EDC＝25°，则∠ACD的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】连接AD，由圆周角定理得到∠DAC＝90°，∠CDE＝∠EDA＝25°，由直角三角形的性质即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：连接AD，
∵CD是圆的直径，
∴∠DAC＝90°，
∵B是的中点，
∴∠CDE＝∠EDA＝25°，
∴∠ADC＝50°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，关键是掌握圆周角定理．
5．（3分）若二次函数y＝ax2+1的图象经过点P（1，2），则该图象必经过点（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，1）
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+1的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（5，2），2）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．
6．（3分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝4，以点C为圆心，BC分别交于点E与点D，则BE的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3；
根据勾股定理，得AB＝5．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，
由垂径定理可得M为AE的中点，
∵S△ABC＝•AC•BC＝，且AC＝3，AB＝5，
∴CM＝，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM3，即9＝AM2+（）2，
解得：AM＝，
∴AE＝2AM＝，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣＝．
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线（ ）
A．或5B．C．﹣1或2D．或2
【分析】根据已知条件得出∠B＝∠C＝36°，再根据AP是∠BAC的三等分线，求出∠BAP的度数与AC＝PC＝2，再根据AA证出△BAP∽△BCA，＝，从而得出＝，最后代值计算即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AP是∠BAC的三等分线，
∴∠BAP＝36°，∠CAP＝72°，
∴∠CPA＝72°，
∴AC＝PC＝2，
在△BAP与△BCA中，
，
∴△BAP∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴BP2+2BP﹣4＝8，
∴BP＝﹣1或3（舍去）．
当∠BAP＝72°，∠CAP＝36°时，
AB＝PB＝2，
故选C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及黄金分割，掌握相似三角形的判断以及等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝02+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根；④a＞．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴以及与y轴的交点即可判断①；利用抛物线的对称轴即可判断②；由抛物线与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，即可判断③；由对称轴方程得到b＝﹣2a，由x＝﹣1时，y＝0得到即a﹣b+c＝0，则c＝﹣3a，所以﹣3a＜﹣1，则可判断③．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＞7，故①正确．
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝6，
∴2a+b＝0，故②正确．
∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，
∴抛物线y＝ax6+bx+c与直线y＝﹣1一定有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+4＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵x＝﹣＝7，
∴b＝﹣2a，
∵x＝﹣1时，y＝4，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
而c＜﹣1，
∴﹣3a＜﹣2，
∴a＞，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题，也考查了二次函数的性质．
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上的一点，若CF、CE恰好与正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为（ ）
A．B．5
C．D．以上都不对
【分析】连接OC，则根据正方形的性质可推出∠ECF＝∠BCE＝∠BCD＝30°，在RT△BCE中，设BE＝x，则CE＝2x，利用勾股定理可得出x的值，也即可得出CE的长度．
【解答】解：连接OC，则∠DCO＝∠BCO，
∴∠DCO﹣∠FCO＝∠BCO﹣∠ECO，即∠DCF＝∠BCE，
又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，
∴∠BCE＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠BCE＝∠BCD＝30°，
在RT△BCE中，设BE＝x，
得CE5＝BC2+BE2，即6x2＝x2+22，
解得BE＝，
∴CE＝2x＝．
故选：C．
【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据切线的性质得到∠BCE＝∠ECF＝∠DCF＝∠BCD＝30°，有一定难度．
10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（ ）
A．B．3πC．5πD．
【分析】先设Rt△ABC的三边长为a，b，c，其中c为斜边，设⊙O的半径为r，根据图形找出a，b，c，r的关系，用含c的式子表示S1和S2，即可求出比值．
【解答】解：如图，取AB的中点为O，连接OE，OD，
设AB＝c，AC＝b，
则a2+b2＝c8，①
取AB的中点为O，
∵△ABC是直角三角形，
∴OA＝OB＝OC，
∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，
∴O为圆心，
由勾股定理得：
，②
由①②得a＝b，
∴，
∴，，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键在找到圆心，依据的知识点是直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即斜边的中点为圆心，用字母表示多条边，然后找它们的关系是中考经常考的类型，平时要多加练习此类题型．
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数y＝（x﹣3）2+5的顶点坐标是 （3，5） ．
【分析】根据解析式得出开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，5），即可求解．
【解答】解：关于二次函数y＝（x﹣8）2+5，
∴顶点坐标为（6，5），
故答案为：（3，5）．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
12．（4分）从，，，π四个实数，任取一个数是有理数的概率为 ． ．
【分析】先判断有理数有2个，无理数有2个，再根据概率的公式计算即可得出答案．
【解答】解：∵在，，，π四个实数中和，共2个和π，
∴任取一个数是有理数的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率的计算，掌握无理数的概念是解题的关键．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，若CE＝2BE，△CEF的面积等于8 18 ．
【分析】先证明△ADF∽△CEF，再根据相似三角形的性质求得结果．
【解答】解：∵CE＝2BE，
∴设BE＝x，则CE＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8x，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∵△CEF的面积等于8，
∴S△ADF＝S△ACD＝＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
14．（4分）如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，∠ADO＝30°，反比例函数y＝经过CD的中点M +6 ．
【分析】作CE⊥y轴于点E，先证明△CDE≌△DAO，得到DE＝AO＝2，DO＝2＝CE，再根据M是CD的中点，即可得到M（，1+2），最后根据反比例函数y＝经过CD的中点M，即可得到k的值．
【解答】解：如图，作CE⊥y轴于点E．
∵正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴，
∴∠CED＝∠DOA＝90°，∠DCE＝∠ADO，
∴△CDE≌△DAO（AAS），
∴DE＝AO＝2，
又∵∠ODA＝30°，
∴Rt△AOD中，AD＝2AO＝3＝CE，
∴EO＝2+7，
∴C（2，2+2），2），
∵M是CD的中点，
∴M（，1+2），
∵反比例函数y＝经过CD的中点M，
∴k＝（1+8+5，
故答案为：+6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，30°角的直角三角形的性质，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
15．（4分）若实数a，b满足a+b2＝3，则a2+8b2的最小值为 9 ．
【分析】把a+b2＝3，化成b2＝3﹣a，代入a2+8b2，得出a2+8b2＝（a﹣4）2+8，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵实数a，b满足a+b2＝3，
∴b8＝3﹣a≥0，则a≤8
∴a2+8b3＝a2+8（4﹣a）＝a2﹣8a+24＝（a﹣3）2+8，
当a＝2时，a2+8b6有最小值为9，
故答案为9．
【点评】本题考查了二次函数的性质，由b2＝3﹣a，代替代数式中的b2，得到关于a的二次函数是解题的关键．
16．（4分）综合实践课上，小聪把一张长方形纸片ABCD沿着虚线EB剪开，如图①所示，纸片Rt△CB′E′较小锐角的顶点E′在DE上，较长直角边与斜边分别交边AB于点G，且B′E′⊥AB为初始位置，把Rt△CB′E′沿着DE方向平移，如图③，直到点H与点B重合停止．为了探求BH与AG之间的变化关系，请用含m的代数式表示BH．
（1）在平移过程中，BH＝ ﹣m ，
（2）在旋转过程中，BH＝ ．
【分析】（1）解Rt△E′GH，求得GH，进而得出结果；
（2）先拜表示出EG的长，进而根据△EGH∽△BGE得出GH的长，进一步得出结果．
【解答】解：（1）在Rt△E′GH中，E′H＝AD＝3，
∴GH＝3×＝，
∴BH＝AB﹣AG﹣GH＝9﹣﹣m＝，
故答案为：﹣m；
（2）如图1，
当m＜3时，
作ER⊥AB于R，
在Rt△ERG中，ER＝AD＝8，
∴EG2＝9+（3﹣m）2＝m2﹣2m+18，
∵∠ERH＝∠B，∠EGH＝∠EGB，
∴△EGH∽△BGE，
∴EG2＝GH•BG，
∴GH＝＝，
∴BH＝BG﹣GH＝8﹣m﹣＝，
如图2，
当m≥4时，
方法同上得出，
BH＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
三、解答题（本大题有8个小题。共66分）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+|2﹣|﹣2cs45°+（π﹣3.14）0．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、乘方和绝对值，然后计算乘法，最后合并同类项，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣1）2021+|2﹣|﹣2cs45°+（π﹣3.14）2
＝﹣1+2﹣﹣2×
＝1﹣﹣+1
＝2﹣3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（6分）一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球（只有颜色不同），从中随机摸出1个球后放回搅匀，再次随机摸出一个球
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出先后摸出的两球颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，先后摸出的两球颜色不同的情况有4种情况，
∴先后摸出的两球颜色不同的概率为：．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
（1）直接写出m的值，并求该二次函数的解析式；
（2）当1＜x＜5时，求函数值y的取值范围．
【分析】（1）利用抛物线的对称性得到m的值，再设交点式y＝a（x+1）（x﹣4），然后把（0，4）代入求出a的值即可；
（2）利用配方法得到y＝（x﹣）2+，根据二次函数的性质得到当x＝时，y有最大值，再计算出x＝5时，y＝﹣6，然后利用二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）m＝4，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），
把（0，4）代入得3＝a×（0+1）×（2﹣4），
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+5）（x﹣4），
即y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵y＝﹣x2+4x+4＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，y有最大值，
当x＝5时，y＝﹣25+15+4＝﹣6，
∴当4＜x＜5时，函数值y的取值范围为﹣6＜y≤．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥BC，BE⊥AB．
（1）求证：△DEB∽△BAC；
（2）若BE＝2，AC＝3，△BDE的面积为1
【分析】（1）根据DE∥BC可得∠EDB＝∠CBA，即可求证△DEB≌△BAC；
（2）先求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBA，
∵∠C＝90°，BE⊥AB，
∴∠C＝∠EBD，
∴△DEB≌△BAC；
（2）解：由（1）可得△DEB≌△BAC，
∴，
∵S△BDE＝1，
∴，
解得：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
21．（8分）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，月销售量就减少10千克．
（1）写出月销售量y（单位：千克）与售价x（单位：元/千克）之间的函数关系式．
（2）在月销售成本不超过10000元的情况下，当售价定为多少元时可获得最大利润？并求出最大利润．
【分析】（1）依据题意，由月销售利润＝每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入即可；
（2）依据题意，利用二次函数性质，结合月销售成本不超过10000元，即可求出最值．
【解答】解：（1）由题意得，月销售量为500﹣10（x﹣50）＝（1000﹣10x）千克，
∴y＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000．
∴月销售利润y与售价x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+1400x﹣40000．
（2）由题意得，y＝﹣10x7+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000．
又月销售成本不超过10000元，
∴40[500−（x−50）×10]≤10000．
∴x≥75．
∵﹣10＜0，
∴当x≥75时，y随x的增大而减小．
∴当x＝75时，y有最大值．
∴当售价定为75元时，会获得最大利润．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
22．（10分）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离BC＝160cm．设花洒臂与墙面的夹角为α，且花洒臂长AB＝30cm．假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面距离CD＝120cm处淋浴．
（1）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE．
（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合
①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；
②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中
（参考数据：≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）
【分析】（1）过点A作AG⊥CB的延长线于点G，交DE的延长线于点H，利用含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
（2）①由平行四边形的判定与性质即可知道BF＝DE；
②由勾股定理可求出BD的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出∠1与∠2的度数，从而可求出α的度数．
【解答】解：（1）过点A作AG⊥CB的延长线于点G，交DE的延长线于点H，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴四边形GCDH为矩形，
∴GH＝CD＝120，DH＝CG，
在Rt△ABG中，
∠ABG＝α＝30°，AB＝30，
∴AG＝15，
∴AH＝120﹣15＝105，
∵AE⊥AB，
∴∠EAH＝30°，
又∠H＝90°，
∴EH＝AHtan30°＝35，
∴ED＝HD﹣HE＝160+15﹣35
（2）①BF＝DE；
②如图，
在Rt△BCD中，
BD＝＝200，
∴sin∠8＝＝0.6，
∴∠3≈36.9°，
在Rt△BAD中，AB＝30．
∴sin∠2＝＝＝7.15，
∴∠2≈8.3°，
∴∠3≈90°﹣8.3°＝81.4°，
∴α＝180°﹣∠1﹣∠4≈180°﹣36.9°﹣81.4°＝61.6°．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
23．（10分）定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为 （3，2）或（3，﹣2） ；
（2）若抛物线y＝x2﹣bx（b＞0）是“美丽抛物线”，求b的值；
（3）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B（1，2），与x轴交于A，C，连接OB，在抛物线找一点Q，求Q点的横坐标．
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线x＝＝3，然后根据“美丽抛物线的”的定义求出顶点坐标，然后求解即可；
（2）先求出抛物线与x轴的两个交点，顶点坐标，然后根据“美丽抛物线的“定义求解即可；
（3）过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，先求出A（﹣1，0），C（3，0），然后求出抛物线解析式，然后求出OM＝，BM＝＝，即可得到tan∠ABO＝＝，即tan∠QCA＝，设Q（m，﹣m2+m+），则an∠QCA＝＝，然后解方程求解即可得到答案．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴的两个交点为（1，0），6），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝3，
∴由“美丽抛物线的“定义可知，抛物线的顶点到x轴的距离＝
∴抛物线顶点的坐标为（3，4）或（3，
故答案为：（3，4）或（3；
（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣bx＝x（x﹣b）＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（6，0），0），﹣），
∴由“美丽抛物线”的定义可知＝，
解得：b＝2或﹣2；
∵b＞6，
∴b＝2；
（3）如图，过点B作BE⊥AC于E，
由题意得△ABC为等腰直角三形，AB＝BC，
∴AE＝CE＝BE，
∵B（1，7），
∴AE＝CE＝BE＝2，OE＝1，
∵AO＝7，OC＝3，
∴A（﹣1，2），0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把B（1，2）代入抛物线解析式得6＝a（1+1）×（4﹣3），
解得：a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣（x+1）（x﹣6）＝﹣x6+x+，
∵AB＝＝5＝，△ABO的面积＝B＝AB•OM，
∴OM＝，
∴BM＝＝，
∴tan∠ABO＝＝，即tan∠QCA＝，
设Q（m，﹣m2+m+），则an∠QCA＝＝，
解得：m＝3（舍去）或m＝﹣或m＝﹣，
∴Q点的横坐标为﹣或﹣．
【点评】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的解析式，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于用三角函数处理角相等．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，0），5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D．
（1）△AOD与△COB相似吗？为什么？
（2）如图2，弦DE交x轴于点P，且BP：DP＝3：2；
（3）如图3，过点D作⊙M的切线，交x轴于点Q．点G是⊙M上的动点是否变化？若不变，请求出比值，请说明理由．
【分析】（1）如图1，根据对顶角相等得到∠AOD＝∠COB，根据圆周角定理得到∠ADO＝∠OBC，则可判断△AOD∽△COB；
（2）连接AE、BE、MD，如图2，先计算出OD＝2，再利用勾股定理计算出OD＝4，AD＝2，接着证明△PBE∽△PDA，利用相似比可计算出BE＝3，然后根据勾股可计算出AE＝，再利用正切的定义得到tan∠ABE＝，于是得到tan∠EDA＝；
（3）如图3，连接MD、MG，根据切线的性质得∠MDQ＝90°，由∠ODM＝∠OQD，则可判断Rt△ODM∽Rt△OQD，利用相似比可计算出OQ＝，讨论：当G点与A点重合时，易得＝＝；当G点与B点重合时，＝；
当G点不与A、B重合时，先证明△MOD∽△MDQ得到即MD2＝MO•MQ，由于MD＝MG，则MG2＝MO•MQ，加上∠OMG＝∠GMQ，则可判断△MOG∽△MGQ，利用相似比可得＝＝，于是得到的值不变，比值为．
【解答】解：（1）△AOD与△COB相似．理由如下：
如图1，
∵∠AOD＝∠COB，∠ADO＝∠OBC，
∴△AOD∽△COB；
（2）连接AE、BE，如图2，
∵点M的坐标为（7，0），
∴OA＝2，
在Rt△ODM中，OD＝，
在Rt△OAD中，AD＝，
∵∠PEB＝∠PAD，∠PBE＝∠PDA，
∴△PBE∽△PDA，
∴＝＝，
∴BE＝×2，
在Rt△ABE中，
AE＝＝＝，
∴tan∠ABE＝＝＝，
∵∠EDA＝∠ABE，
∴tan∠EDA＝；
（3）如图3，连接MD，
∵DQ为切线，
∴MD⊥QD，
∴∠MDQ＝90°，
∵∠ODM＝∠OQD，
∴Rt△ODM∽Rt△OQD，
∴OD：OQ＝OM：OD，即4：OQ＝3：4，
∴OQ＝，
当G点与A点重合时，＝＝＝；
当G点与B点重合时，＝＝＝；
当G点不与A、B重合时，
∵∠OMD＝∠DMQ，
∴△MOD∽△MDQ，
∴MO：MD＝MD：MQ，即MD2＝MO•MQ，
而MD＝MG，
∴MG4＝MO•MQ，
∵∠OMG＝∠GMQ，
∴△MOG∽△MGQ，
∴＝＝，
综上所述，的值不变．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和切线的性质；灵活应用相似三角形的判定与性质，会利用相似比和勾股定理计算线段的长．
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