数学八年级上册15.1 二次根式单元测试习题

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一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室八年级期中）下列根式中，最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的概念进行判断即可．
【详解】解：A、=3不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、不是最简二次根式，不符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意,
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式概念以及性质，理解概念是解答的关键．
2．（2022·广东·深圳市新安中学（集团）初中部八年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质及相关运算法则逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质及二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
3．（2022·山东淄博·八年级期末）已知，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据化简算式后结果为，将进行平方后结果为28，因为28在5的平方与6的平方之间，所以在5和6之间．
【详解】解：，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，二次根式取值估算，能够估算出无理数的取值范围是解决本题的关键．
4．（2021·安徽·九年级专题练习）现将某一长方形纸片的长增加3cm，宽增加6cm，就成为一个面积为128cm2的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（ ）
A．18cm2B．20cm2C．36cm2D．48cm2
【答案】B
【分析】利用算术平方根求出正方形的边长，进而求出原矩形的边长，即可得出答案．
【详解】∵一个面积为128cm2的正方形纸片，边长为：8cm，∴原矩形的长为：8（cm），宽为：8（cm），∴则原长方形纸片的面积为：520（cm2）．
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，根据题意得出原矩形的边长是解题的关键．
5．（2022·云南红河·八年级期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】代入选项，添加运算符然后化简，其结果不为有理数，即可选出答案
【详解】A．原式＝ ，结果为有理数；
B．原式＝ ，结果为有理数；
C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数；
D．原式＝ ，结果为有理数．
故选择C．
【点睛】本题考查根式的运算，灵活运用根式的运算法则为关键．
6．（2022·福建·漳州三中八年级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（ ）
A．aB．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得：，，从而可得，，然后利用二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简计算，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴



故选：D
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（2022·湖南益阳·八年级期末）设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，先求出，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵n为正整数，
∴
＝
＝
＝
＝
＝；
∴
＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+）
＝2021+1﹣
＝2021+1﹣
＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数化成，再化简，寻找抵消规律求和．
8．（2022·全国·八年级专题练习）如图．从一个大正方形中裁去面积为m2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
【答案】D
【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
【详解】解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，
∴大正方形边长为：，
∴大正方形面积为（5）2=50，
∴留下的阴影部分面积和为：50-8-18=24（cm2）
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．
9．（2022·全国·八年级专题练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把化为再结合从而可得答案．
【详解】解：∵，
，
，
而
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．
10．（2022·重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；
乙：设有理数，满足：，则；
丙：；
丁：已知，则；
戊：．
以上结论正确的有
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
【答案】B
【分析】读懂题意，利用分母有理化计算并判断即可．
【详解】解：
，
甲正确；
，
，
，
解得，
，乙错误；
，
，
，
丙正确；
已知，
，
，
，
则，
丁错误；
，
戊正确，
正确的有甲丙戊，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握分母有理化．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022·广东·深圳市高级中学八年级期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：，例如．那么____________．
【答案】##
【分析】根据新定义运算进行运算，即可求得．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式的性质，理解题意，正确进行运算是解决本题的关键．
12．（2022·江苏·八年级专题练习）已知长方形的面积为12，共中一边长为，则该长方形的另一边长为_______．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握二次根式的除法法则：．
13．（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期中）计算的结果是________．
【答案】##
【分析】根据积的乘方的逆运算和平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算和平方差公式，熟练掌握相关内容是解题的关键．
14．（2022·全国·八年级专题练习）如图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第n个三角形的面积记为，观察图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，推算出______．
【答案】
【分析】根据题中给出的规律即可得出结论；
【详解】解：根据题意，
∵OAn2=n，
∴OA100=
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，图形的变化规律，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图形的变化规律进行解题．
15．（2022·湖北武汉·七年级期中）请先计算下列四个式子的值：①；②；③；④；观察计算的结果，用发现的规律直接写出的值是 _____．
【答案】435
【分析】根据①；②；③；④，…，可得：，据此求出的值为多少即可．
【详解】解：①；
②；
③；
④，…，
∴，
∴．
故答案为：435．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及数字的变化规律的应用，熟练掌握二次根式的性质与化简是解题关键．
16．（2021·全国·九年级专题练习）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．
【答案】10
【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．
【详解】解：，
（为正整数），
，
，
，
，
则，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）先化简．再求代数式的值，其中
【答案】，
【分析】先运用分式加法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可化简，然后把x的值代入计算即可求解．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，二次根式化简，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
18．（2022·黑龙江·绥化市第五中学校九年级期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用二次根式的性质及化简，二次根式的乘法及除法，最后算加减法；
（2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加减法．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．（2022·新疆·昌吉州行知学校八年级期中）已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值：
(1)a2+2ab+b2
(2)a2b﹣ab2．
【答案】(1)12
(2)4
【分析】（1）先因式分解，再把，代入计算，即可得到答案；
（2）先因式分解，再把，代入计算，即可得到答案 .
（1）
解：∵，，
∴
；
（2）
解：
.
【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的乘法运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．
20．（2021·河南·新乡市第十中学七年级期中）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点A关于点B的对称点为C，点C表示的数为m．
(1)求m的值；
(2)化简：；
(3)若线段，求D点所表示的数．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据是的中点，列出式子求解即可；
（2）把的值代入，根据绝对值、整数指数幂分别求出每一部分的值即可；
（3）分两种情况进行讨论．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：，
．
（3）解：
设D点所表示的数为，
当在的右侧时，则有，
解得：；
当在的左侧时，则有，
解得：；
点所表示的数为或．
【点睛】本题考查的知识点是实数和数轴，绝对值、整数指数幂、二次根式加减法，解题的关键是能把语言叙述转化成数学式子，利用数形结合及分类讨论的思想求解．
21．（2022·河南·郑州市第七十三中学八年级期中）当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)__________的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：____________________；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)小亮
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的性质即可判断答案．
（2）根据二次根式的性质即可判断答案．
（3）根据的范围判断与的符号，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】（1）原式
，
，
，
原式，
故小亮的解法错误．
故答案为：小亮．
（2）．
故答案为：．
（3）原式
，
，
，，
原式
．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
22．（2022·广东·五华县水寨中学八年级期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程.
（1）；（2）
验证：（1）
；
（2）
.
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________； =___________；
(2)通过上述探究你能猜测出： =___________（n>0），并验证你的结论．
【答案】(1)，
(2)，验证过程见解析
【分析】（1）按照题干中两个等式及其验证过程的基本思路，猜想即可；
（2）先猜测出结果，再按照原题写出验证过程即可.
（1）
解：按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想，，验证如下：
，
；
故答案为：，
（2）
通过上述探究你能猜测出，
验证如下：
.
故答案为：；
【点睛】此题是二次根式运算的规律性题目，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
23．（2022·全国·八年级专题练习）【阅读学习】
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中，，，均为整数），则有．
∴，．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法．
【解决问题】
(1)当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得：______，______；
(2)利用（1）的结论，找一组正整数，使得成立，且的值最小．请直接写出，，，的值；
(3)若，且，，均为正整数，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)14或46
【分析】（1）利用完全平方公式计算，由此即可得；
（2）先根据（1）的结论可得，再根据都是正整数，且可得当时，的值最小，即的值最小，然后代入求出的值即可；
（3）先利用完全平方公式可得，，再根据均为正整数可得，或，，然后代入求出的值即可．
（1）解：，
，
，
∴，．
（2）解：由（1）可知，，，
，
都是正整数，且，
当时，的值最小，即的值最小，
则，，
综上，．
（3）解：∵，
∴，
∴，，即，
∵，均为正整数，
∴，或，，
当，时，，
当，时，，
综上，的值为14或46．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、二次根式乘法的应用，熟记完全平方公式是解题关键．