云南省昆明市+呈贡区云南师大附中呈贡校区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷+

这是一份云南省昆明市+呈贡区云南师大附中呈贡校区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷+，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2022年我国GDP是121.02万亿元（人民币），121.02万亿用科学记数法表示为（ ）
A．12102×1014B．1.2102×1013
C．1.2102×1014D．1.2102×1015
2．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a
B．（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3
C．（x+2y）2＝x3+4xy+4y2
D．（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣6b2
3．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≤1C．x＞1D．x≠1
4．（3分）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．（3分）南宋杰出数学家秦九韶（出生于安岳县龙台镇），今年是他诞辰810周年及其巨著《数书九章》成书770周年，他的“三斜求积”术与西方数学家海伦公式如出一辙：
S＝，其中p＝．（海伦）
S＝，其中a≥b≥c．（秦九韶）
（S表示三角形的面积，a、b、c分别为三角形三边长）在世界数学史上，人们为了纪念这两位伟大的数学家，特将这两个公式命名为“秦九韶﹣海伦”公式．已知平行四边形的两邻边和一条对角线分别为7、8，9，则根据公式可以求出这个平行四边形的面积为（ ）
A．24B．26C．28D．30
6．（3分）不改变分式的值，下列分式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE、CE、BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠DCEB．DF＝CFC．∠AEB＝∠BCDD．∠AEC＝∠CBD
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AB＝10，AD＝2，则CD的长度是（ ）
A．2B．3C．4.8D．4
9．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的四条边相等
C．如果两个角是直角，那么它们相等
D．平行四边形的一组对边相等
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
11．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1B．C．2D．2
12．（3分）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每题2分，共8分。
13．（2分）分解因式：mn2﹣4mn+4m＝ ．
14．（2分）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是6，8，3，4，则最大正方形E的面积是 ．
15．（2分）三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是 三角形（直角、锐角、钝角）．
16．（2分）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝2，∠ABC的平分线交AD边于点E，则DE的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，17-21题每题6分，22-23题每题7分，24题12分。
17．（6分）计算：（﹣）﹣2+|1﹣|﹣+（π﹣2023）0．
18．（6分）化简求值：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），x＝﹣．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝+1．
20．（6分）解方程：．
21．（6分）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A，B两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使BC＝6米；②在AC的一侧选点D，恰好使BD＝8米，CD＝10米；③测得AD＝17米．请根据他们的操作过程，求出A，B两点间的距离．
22．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．
23．（7分）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
24．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t（0≤t≤5）秒．
（1）若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5s，求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，当t为何值时？以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形；
（3）若G、H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）2022年我国GDP是121.02万亿元（人民币），121.02万亿用科学记数法表示为（ ）
A．12102×1014B．1.2102×1013
C．1.2102×1014D．1.2102×1015
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：121.02万亿＝121020000000000＝1.2102×1014．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a
B．（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3
C．（x+2y）2＝x3+4xy+4y2
D．（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣6b2
【分析】直接利用合并同类项法则，多项式乘多项式，完全平方公式和平方差公式进行运算，进而得出答案..
【解答】解：A：2a+3a＝（2+3）a＝5a，故选项A不符合题意；
B：（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣3x+3＝x2﹣4x+3，故选项B不符合题意；
C：（x+2y）2＝x3+4xy+4y2，故选项C不符合题意；
D：（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣9b2≠a2﹣6b2，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项法则，多项式乘多项式，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是正确掌握运算法则．
3．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≤1C．x＞1D．x≠1
【分析】分母不为零，分式有意义，依此求解．
【解答】解：由题意得x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：D．
【点评】考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
4．（3分）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
5．（3分）南宋杰出数学家秦九韶（出生于安岳县龙台镇），今年是他诞辰810周年及其巨著《数书九章》成书770周年，他的“三斜求积”术与西方数学家海伦公式如出一辙：
S＝，其中p＝．（海伦）
S＝，其中a≥b≥c．（秦九韶）
（S表示三角形的面积，a、b、c分别为三角形三边长）在世界数学史上，人们为了纪念这两位伟大的数学家，特将这两个公式命名为“秦九韶﹣海伦”公式．已知平行四边形的两邻边和一条对角线分别为7、8，9，则根据公式可以求出这个平行四边形的面积为（ ）
A．24B．26C．28D．30
【分析】平行四边形其中一条对角线可将平行四边形的面积平均分成两部分，根据题意给出的公式可求出其中一个三角形的面积即可得出答案．
【解答】解：平行四边形的两邻边和一条对角线可构造成一个三角形，
该三角形的边长为7、8、9，
∴由题意给出的公式可知：P＝＝12，
∴该三角形的面积为：＝12，
∴该平行四边形的面积为：24，
故选：A．
【点评】本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解题目给出的公式以及平行四边形的性质，本题属于中等题型．
6．（3分）不改变分式的值，下列分式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：（A）≠，故A错误；
（B）≠，故B错误；
（D）原式＝＝，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
7．（3分）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE、CE、BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠DCEB．DF＝CFC．∠AEB＝∠BCDD．∠AEC＝∠CBD
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到∠DEF＝∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF＝BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBF，求得∠CBF＝∠BCD，求得CF＝BF，同理，EF＝DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，推出∠BDE＝∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴BD∥CE，
∴BCED为平行四边形，故A正确；
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBF，
在△DEF与△CBF中，，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴EF＝BF，
∵DF＝CF，
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BCD，
∴∠CBF＝∠BCD，
∴CF＝BF，
同理，EF＝DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；
∵AE∥BC，
∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠AEC＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AB＝10，AD＝2，则CD的长度是（ ）
A．2B．3C．4.8D．4
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得CE＝AB＝AE＝5，则DE＝AE﹣AD＝3，再由勾股定理求出CD的长即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，AB＝10，
∴CE＝AB＝AE＝5，
∴DE＝AE﹣AD＝5﹣2＝3，
∵CD为AB边上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠CDE＝90°，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝＝＝4，
即CD的长度是4，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
9．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的四条边相等
C．如果两个角是直角，那么它们相等
D．平行四边形的一组对边相等
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：A、矩形的对角线相等的逆命题是对角线相等的四边形是矩形，逆命题是假命题，不符合题意；
B、菱形的四条边相等的逆命题是四条边相等的四边形是菱形，逆命题是真命题，符合题意；
C、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，逆命题是假命题，不符合题意；
D、平行四边形的一组对边相等的逆命题是一组对边相等的四边形是平行四边形，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【分析】根据矩形的性质和含30°的直角三角形的性质得出AC＝BD＝16，进而求出BD＝2BO，再依据中位线的性质推知MN＝BO．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，∠ACB＝30°，AB＝8，
∴BD＝AC＝2AB＝2×8＝16，
∴BD＝2BO，即2BO＝16．
∴BO＝8．
又∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN是△CBO的中位线，
∴MN＝BO＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
11．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，利用数形结合的思想解答．
12．（3分）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A．B．C．D．
【分析】作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是6和3，
则所走的最短线段是＝3；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是5和4，
所以走的最短线段是＝；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和2，
所以走的最短线段是＝；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
所以它需要爬行的最短路线的长是，
故选：B．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．
二、填空题：本题共4小题，每题2分，共8分。
13．（2分）分解因式：mn2﹣4mn+4m＝ m（n﹣2）2 ．
【分析】首先提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：mn2﹣4mn+4m
＝m（n2﹣4n+4）
＝m（n﹣2）2．
故答案为：m（n﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
14．（2分）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是6，8，3，4，则最大正方形E的面积是 125 ．
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可知
SE＝SF+SG
＝SA+SB+SC+SD
＝62+82+32+42
＝125；
故答案为：125．
【点评】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
15．（2分）三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是 直角 三角形（直角、锐角、钝角）．
【分析】先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab，
∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形．
故答案为直角．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式．
16．（2分）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝2，∠ABC的平分线交AD边于点E，则DE的长为 3﹣ ．
【分析】由黄金矩形的定义得AD＝BC＝2，AB＝BC＝﹣1，∠A＝∠ABC＝90°，再证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝AB＝﹣1，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是黄金矩形，AB＜BC，BC＝2，
∴AD＝BC＝2，AB＝BC＝﹣1，∠A＝∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝﹣1，
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．也考查了矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质．
三、解答题：本题共8小题，17-21题每题6分，22-23题每题7分，24题12分。
17．（6分）计算：（﹣）﹣2+|1﹣|﹣+（π﹣2023）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝4+﹣1﹣2+1
＝4﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）化简求值：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），x＝﹣．
【分析】对（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）先去括号，再合并同类项，化简后将代入化简后的式子，即可求得值．
其中（2x﹣1）2利用完全平方公式去括号，（3x+1）（3x﹣1）利用平方差公式去括号．
【解答】解：原式＝4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x
＝（4﹣9+5）x2﹣（4+5）x+（1+1）
＝﹣9x+2
当时，原式＝﹣9×+2＝3．
【点评】同学们要注意对于整式的求值，首先利用平方差公式、完全平方式、立方公式等去括号，再合并同类项，最后代入求值．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝+1．
【分析】首先计算括号里面的分式的减法，再计算括号外的除法，化简后，再代入x的值计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，关键是掌握分式的加、减、乘、除对应法则．
20．（6分）解方程：．
【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
【解答】解：原方程去分母得：2＝2x﹣1﹣5，
移项，合并同类项得：﹣2x＝﹣8，
系数化为1得：x＝4，
检验：将x＝4代入（4x﹣2）得16﹣2＝14≠0，
故原分式方程的解为x＝4．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21．（6分）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A，B两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使BC＝6米；②在AC的一侧选点D，恰好使BD＝8米，CD＝10米；③测得AD＝17米．请根据他们的操作过程，求出A，B两点间的距离．
【分析】先判定三角形BCD为直角三角形，推出三角形ABD为直角三角形，再根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：∵BC＝6米，BD＝8米，CD＝10米，
∴BC2+BD2＝100＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝17米，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝＝15（米），
∴A，B两点间的距离为15米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形BCD是直角三角形是解题的关键．
22．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．
【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，进而利用菱形的判定得出平行四边形ADCE是菱形；
（2）根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，解直角三角形得到CE＝CD＝3，根据菱形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝60°，
∵CD＝AD＝6，
∴CF＝CD＝3，
∵四边形ADCE是菱形，
∴CE＝CD＝6，
∴EF＝3．
【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
23．（7分）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
【分析】①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得分式方程，解之即可；
②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件，由题意得不等式，从而得解．
【解答】解：①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：
＝
解得x＝90
经检验，x＝90符合题意
∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．
②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件
由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050
解得5≤y≤10
∴共有6种选购方案．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的整数解的问题．本题中等难度．
24．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t（0≤t≤5）秒．
（1）若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5s，求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，当t为何值时？以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形；
（3）若G、H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC，证明△AFG≌△CEH，根据全等三角形的性质得到GF＝HE，利用内错角相等得GF∥HE，根据平行四边形的判定可得结论；
（2）如图1，连接GH，分AC﹣AE﹣CF＝8、AE+CF﹣AC＝8两种情况，列方程计算即可；
（3）连接AG、CH，判定四边形AGCH是菱形，得到AG＝CG，根据勾股定理求出BG，得到AB+BG的长，根据题意解答．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10cm，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝AB，CH＝CD，
∴AG＝CH，
∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，
∴AE＝CF，
∴AF＝CE，
∴△AGF≌△CHE（SAS），
∴GF＝HE，∠AFG＝∠CEH（或得∠EFG＝∠FEH），
∴GF∥HE，
∴以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；
（2）如图1，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴GH＝BC＝8cm，
∴当EF＝GH＝8cm时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①若AE＝CF＝2t，则EF＝10﹣4t＝8，解得：t＝0.5，
②若AE＝CF＝2t，则EF＝2t+2t﹣10＝8，解得：t＝4.5，
即当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形；
（3）如图2，连接AG、CH，
∵四边形GEHF是菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，
∵AF＝CE
∴OA＝OC，
∴四边形AGCH是菱形，
∴AG＝CG，
设AG＝CG＝x，则BG＝8﹣x，
由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，
即62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，
∴BG＝8﹣＝，
∴AB+BG＝6+＝，
t＝÷2＝，
即t为秒时，四边形EGFH是菱形．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．