四川省广安市华蓥中学2023-2024学年高二上学期1月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省广安市华蓥中学2023-2024学年高二上学期1月月考数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知直线经过点和，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求解出斜率，然后根据求解出倾斜角.
【详解】设直线倾斜角为，
因为，
所以且，
所以，
故选：C.
2. 若直线与直线平行，则的值是（ ）
A. 1或B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.
【详解】由直线与直线平行，
可得，解得，所以实数的值为.
故选：C
3. 已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点在抛物线上及焦半径公式列方程组求出，进而可得准线方程.
【详解】由已知，解得，
故抛物线的准线方程为，
故选：A.
4. 如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出，，利用向量的夹角公式可得答案.
【详解】在直三棱柱中，平面，平面，
所以，，
平面，平面，所以，
所以互相垂直，
以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
设，
则，
可得，，
所以.
所以直线与直线夹角的余弦值为.
故选：C.

5. 我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ）
A. 6天 495人B. 7天 602人C. 8天 716人D. 9天 795人
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数列，解方程可得所求值．
【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，，
∴，，
∴天
则目前派出的人数为人，
故选：B．
6. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.
【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．
由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，
因此直线的倾斜角的取值范围是．
故选：C
7. 已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据点在椭圆上可得，继而根据，设，求出，代入中，即可求得答案.
【详解】由于点是椭圆上的动点，设，则，
又于点，则；
设，由，得，
则，代入，得，
即点的轨迹方程为，
故选：A
8. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由方程确定直线过定点，曲线是半圆，作出图形后，由图形易得参数范围．
【详解】由已知直线过定点，
曲线是以为圆心，2为半径的圆的左半部分弧，，
作出它们的图形，如图，
直线的斜率为，当直线斜率不存在时，它与该半圆相切，
由图可知，它们有两个交点时，，
故选：C．
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由已知等比数列判断选项中的数列是否为等比数列时，一般从举反例否定和按照等比数列定义推理两个角度进行即可.
【详解】不妨设等比数列的公比为.
对于A选项，不妨取数列展开为，则展开为，显然不是等比数列，故A项错误；
对于B选项，由则数列为等比数列，故B项正确；
对于C选项，由则数列为等比数列，故C项正确；
对于D选项，当时，数列为首项为0的常数列，显然不是等比数列，故D项错误.
故选：BC.
10. 下列说法中，正确是（ ）
A. 过两点的直线方程为
B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
C. 过点且与直线相互平行的直线方程是
D. 经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】由x2＝x1或y2＝y1时，式子无意义可判断A；求解直线与两个轴交点坐标，计算面积可判断B；设平行的直线为，代入点坐标求解可判断C；过原点的直线在两个坐标轴上截距也相等，分析可判断D.
【详解】对A，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故A不正确；
对B，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴交点坐标为，故围成的三角形的面积是×4×4＝8，故B正确；
对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确；
对D，斜率为-1以及过原点的直线在两个坐标轴上截距都相等，故经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误.
故选：BC.
11. 以下四个命题正确的是（ ）
A. 双曲线与椭圆的焦点不同
B. ，为椭圆的左、右焦点，则该椭圆上存在点满足
C. 曲线的渐近线方程为
D. 曲线，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项，求出双曲线和椭圆方程的焦点坐标，判断A错误；B选项，求出，故点的纵坐标为2或即可，根据椭圆上点的有界性判断B错误；C选项，根据双曲线渐近线方程公式求出答案；D选项，根据焦点所在位置得到不等式，求出，D正确.
【详解】A选项，双曲线，即，焦点在轴上，
由于，故其焦点为，，
而椭圆，焦点在轴上，且，
故焦点为，，故A错误；
B选项，椭圆，则，，即，
所以，，则，
要使，则，即，即点的纵坐标为2或即可，
而椭圆上的点纵坐标取值范围为，则不存在点满足，故B错误；
C选项，双曲线的渐近线方程为，故C正确；
D选项，曲线，若曲线是焦点在轴上的椭圆，
则，解得，故D正确.
故选：CD.
12. 在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）

A. 当时，的面积的最大值为
B. 当时，三棱雉的体积为定值
C. 当时，的最小值为
D. 当时，不存在点，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】当时，当点与重合时，证得，结合，可判定A正确；当时，得到点在上运动，根据，可判定B正确；设的中点为，的中点为，得到点在线段上运动，当点运动到线段的中点时，，求得，可判定C正确；当时，设的中点为，的中点为，得到点在上运动，当点与点重合时，证得；当点与点重合时， ，可判定D错误；
【详解】对于A中，当时，，则点在上运动，
则当点与重合时，则此时面积取得最大值，，
由于直三棱柱，则，为等腰直角三角形，则，
又由，面，则面，
因为面，所以，
则，故选项A正确；
对于B中，当时，则，点在上运动，则，
由于点到平面的距离为定值，点到线段的距离恒为，
则，则，故选项B正确；

对于C中，设的中点为，的中点为，当时，，
则点在线段上运动，
因为，，
所以当点运动到线段的中点时，，
此时，所以，故选项C正确；

对于D中，当时，，
设的中点为，的中点为，则点在上运动，
当点与点重合时，，，
因为，平面，则面，
又因为面，则，
当点与点重合时，面，即面，则，
故选项D错误；

故选：ABC.
【点睛】方法点睛：
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知是公比为2的等比数列，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式计算即可.
【详解】是公比为2的等比数列，
故答案为：.
14. 设椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于A，B两点，则的周长为________．
【答案】16
【解析】
【分析】，利用椭圆定义可求出的周长．
【详解】椭圆C：的长半轴长，
则的周长为．
故答案为：16.
15. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据，，三向量共面，由求解.
【详解】解：因为，，，且，，三向量共面，
所以，即，
所以，解得，
故答案为：1
16. 已知点，点P在抛物线上运动，点B在曲线上运动，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线的定义转化后求解
【详解】抛物线的焦点为，设点坐标，则
，
由题意当时，，
令，则，，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立
故的最小值为．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）；（2），最小值为–16．
【解析】
【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.
【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法
设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．
（2）[方法1]：邻项变号法
由可得．当，即，解得，所以的最小值为，
所以的最小值为．
[方法2]：函数法
由题意知，即，
所以的最小值为，所以的最小值为．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；
方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．
18. 已知动点与两个定点，的距离的比是2.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆；
（2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程.
【小问1详解】
设点，
动点与两个定点，的距离的比是，
，即，
则，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为；
【小问2详解】
由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线被曲线截得的弦长为，
圆心到直线的距离，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
化简得，解得或，
此时直线的方程为或.
综上，直线的方程是或.
19. 已知双曲线C和椭圆有公共焦点，且离心率为．
（1）经过点作直线l交椭圆交于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．
（2）求双曲线C的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用点差法求出直线l的斜率，进而得到直线方程；
（2）求出椭圆方程的焦点坐标，设出双曲线方程，结合离心率得到方程组，求出，求出双曲线方程.
【小问1详解】
设，
当时，此时不是AB的中点，不合要求，
故，
则，
两式相减得，
故，
因为，故，
又，所以，
所以直线l的方程为，即；
【小问2详解】
的焦点坐标为，
设双曲线C的方程为，
则，解得，
故双曲线方程为.
20. 第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；
（2）求这3人都参加市知识竞赛的概率；
（3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）计算出3人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）)计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式可求得所求事件的概率；
（3）计算出3人中有两人通过初赛的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率；
【小问1详解】
由题意可得：3人全通过初赛的概率为，
所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；
【小问2详解】
甲参加市知识竞赛的概率为，
乙参加市知识竞赛的概率为，
丙参加市知识竞赛的概率为，
所以这3人都参加市知识竞赛的概率为；
【小问3详解】
由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，
记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件，
则.
21. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点．
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）由题设证得，取AD的中点，连结PO，应用面面垂直的性质证平面，再由线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定证结论；
（2）取AB的中点，连结ON，则，构建空间直角坐标系，设，应用向量法，结合线面角大小列方程求，即可得结果.
【小问1详解】
因为，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
取AD的中点，连结PO，因为是正三角形，所以
又面面ABCD，面面，面，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
【小问2详解】
取AB的中点，连结ON，则，所以
以为正交基底建立空间直角坐标系，

则，
设，，则，
又，设平面的一个法向量为，
则，即，若，
取，
由直线AP与平面MBD所成角为，得，
化简得 解得或，
当或时，直线AP与平面所成角为.
22. 已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，再由当直线与轴垂直时，得到，代入椭圆的方程，求得，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，得到，，得到的面积为，结合对勾函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
解：由椭圆的右顶点，可得，
当直线与轴垂直时，且，
所以直线过点，可得，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，
联立方程组，整理得，且
所以，，
∴的面积为
，
令，则
又由对勾函数在上单调递增，则，
所以，从而，当且仅当时取等号，
故面积的取值范围为.
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.