重庆市黔江中学2022届高三上学期8月考试数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市黔江中学2022届高三上学期8月考试数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则实数的取值为（ ）
A. 1B. -1或2C. 2D. -1或1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用可得，则或，解出的值检验是否满足元素互异性即可.
【详解】因为所以，
当时，，，不满足元素互异性，不成立；
当时，或，
时，，不满足元素互异性，不成立；
时，，，满足条件，
所以，
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据集合的包含关系求参数，考查了元素的互异性，属于基础题.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式性质，做差法比较大小等，依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，当时，不等式不成立，故是假命题；
对于B选项，当时，不满足，故为假命题；
对于C选项，当时，，不满足，故为假命题.
对于D选项，由于，所以，即，故为真命题.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算能力，是基础题.
3. 已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先把化简，再判断其对应的点在第几象限.
【详解】∵，
∴它在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D
4. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合已知条件，利用抽象函数的定义域以及对数、分式的定义域求法求解即可.
【详解】因为函数的定义域是，
所以对于有：，
解得：且，
故函数的定义域是，
故选：B．
5. 已知的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次方程和不等式根与系数的关系确定a,b,c的关系，代入不等式得解集
【详解】已知的解集为，
则的两根为和2，
所以，即，
代入不等式，化简整理得，
因为，故，
不等式的解集为或.
故选：C
6. 已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，可得函数在R上单调递增，再利用分段函数及对数函数单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数的定义域为R，
由对任意，都有，得函数在R上单调递增，
于是，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
7. 若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合基本不等式的运算，由系数“1”的妙用可得，然后求解不等式，即可得到结果.
【详解】因为正实数，满足，所以，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，此时取得最小值4，
因为恒成立，所以，解得.
实数的取值范围为.
故选：B
8. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（ ）
A. 960B. 1024C. 1296D. 2021
【答案】C
【解析】
【分析】排课可分为以下两大类：（1）“丝”被选中，（2）“丝”不被选中，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】由题意，排课可分为以下两大类：
（1）“丝”被选中，不同的方法总数为种；
（2）“丝”不被选中，不同的方法总数为种．
故共有种．
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合，，下列从集合到集合各个对应关系是函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，由函数的定义，只需满足集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应即可，再结合选项逐一分析，即可得到结果.
【详解】选项A，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故A正确；
选项B，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故B正确；
选项C，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故C正确；
选项D，，集合中的1，在集合中没有元素与之对应，故D错误；
故选：ABC
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
C. 用相关指数来刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好
D. 在列联表中，的值越大，说明两个分类变量之间的关系越弱
【答案】AC
【解析】
【分析】对A：由方差的性质即可判断；对B：由回归直线的性质即可判断；对C：利用相关指数的性质即可判断；对D：由卡方的意义即可判断.
【详解】对A：将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据的波动性不变，
故方差不变，故A正确；
对B：回归直线恒过样本点的中心正确，但不一定会过样本点，
故B错误；
对C：用相关指数来刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好，
故C正确；
对D：在列联表中，的值越大，说明两个分类变量之间的关系越强，
故D错误.
故选：AC.
11. 若，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 展开式中二项式系数和为
C. 展开式中所有项系数和为
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于A，利用赋值法令，并结合题目条件，即可求出，从而可求出；对于B，根据二项展开式中二项式系数和为，即可判断B选项；对于C，由于已求出，利用赋值法，即可求出展开式中所有项系数和；对于D，对原式进行求导，再令，即可得出的结果.
【详解】解：对于A，令，可得，
即，
即，①
令，得，即，②
由于的展开式中，所以，③
所以①-②-③得：，
而，
所以，解得：，故A正确；
对于B，由于，则，
所以展开式中二项式系数和为，故B错误；
对于C，由于，则所有项系数为
，故C正确；
对于D，由于，则，
等式两边求导得：，
令，则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据二项式的系数和求参数，以及所有项的二项式系数和的求法，利用赋值法求各项系数和是解题的关键，考查学生运用和计算能力.
12. 已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.
【详解】因为的两根为，
所以，
从而．
令，
则，．
因为，
所以，
所以上恒成立，
从而在上单调递增．
又，
所以，
即的取值范围是，
故选：BC．
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数 ，利用导数求取值范围是解决本题的关键.
三、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 函数是上的减函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据为减函数需要满足求解即可.
【详解】因为函数是上的减函数，所以，即，
所以实数的取值范围，
故答案为：.
14. 若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由原命题为假命题，则命题的否定为真命题，再根据一元二次不等式恒成立求出参数的取值范围.
【详解】解：由题意，命题“，”为假命题，
则，为真命题，令，则对，恒成立，
因为的对称轴为，则在上单调递增，
则只需即可，即，解得，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.
15. 一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，记事件“取出一个蓝球，一个绿球”，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】事件“取出的两个球颜色不同”，包括一个黄球一个蓝球，
一个黄球一个绿球以及一个蓝球一个绿球，三种情况，
则,
事件“取出一个蓝球，一个绿球”，
则，
所以.
故答案为：
16. 三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现：任意一个三次函数都有“拐点”，任意一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.将这一发现作为条件，则对于函数，它的图象的对称中心为_______；_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】解方程可求得函数的对称中心坐标，计算出，利用倒序相加法可求得结果.
【详解】，，则.
令，得，
又，故函数的图象的对称中心为，
设为函数的图象上任意一点.
因为函数的图象的对称中心为，
所以，点P关于的对称点也在的图象上，
所以，，则，
因此，
.
故答案为：；.
四、解答题（本大题共6道小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
17. （1）已知函数是一次函数，且，求的解析式；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）设函数，结合等式，利用一次项系数和常数项分别相等列出方程组解出的值，即可得出函数的解析式；
（2）根据恒成立的要求对任意，恒成立，则求解即可.
【详解】（1）设，
则，
所以，解得：，
所以；
（2）令，因为，则有，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即最大值为，
又因为对任意，都有恒成立，即对任意，都有恒成立,
即，
所以实数的取值范围.
18. 已知集合A是函数的定义域，集合B是不等式的解集，．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】分析：（1）分别求函数的定义域和不等式的解集，从而确定集合A,B，由，得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到的取值范围；
（2）求出对应的的取值范围，由是的充分不必要条件得到对应的集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解的取值范围.
详解：（1）由题意得．
若，则必须满足，解得．
∴a的取值范围为．
（2）易得．
∵是q的充分不必要条件，
∴是的真子集，则，
解得，
∴a的取值范围是．
点睛：该题所涉及的考点有交集及其运算，充分不必要条件，复合命题的真假，解题的关键是先确定集合中的元素，再者就是两集合交集为空集时对应参数的取值范围，可以借助于数轴来完成.
19. 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；
（2）商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成.
【答案】（1）
（2）方案二，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由古典概型结合组合数公式求解；
（2）分别求解两方案的均值和方差比较可得结果
【小问1详解】
设顾客的奖励额为X,依题意得
【小问2详解】
根据方案一，设顾客的奖励额为其可能取值为30，，30m60，90
，，
根据方案二，设顾客的奖励额为其可能取值为40，60，80
，，
商场对奖励总额的预算是30000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二
20. 遵守交通规则，人人有责．“礼让行人”是我国《道路交通安全法》明文规定，也是全国文明城市测评中的重要内容．《道路交通安全法》第47条明确规定：“机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过道路，应当避让．否则扣3分罚200元”．下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程，并预测该路口2021年5月不“礼让行人”驾驶员的大约人数（四舍五入）；
（2）交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
能否据此判断有的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？
参考公式：
，其中．
【答案】（1），大约人数为78人；（2）没有的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．
【解析】
【分析】（1）本题可根据表中数据求出、，然后根据公式求出、，即可求出回归直线方程，最后令，即可得出结果；
（2）本题可求出，然后与表中数据进行对比，即可得出结果.
【详解】（1）由表中数据易知：，，
则，，
故所求回归直线方程为，
令，则人，
预测该路口5月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为78人.
（2）由表中数据可得：，
对比表中数据可知，没有的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关.
21. 已知函数，.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导，计算，，得到切线方程
（2）问题等价于在上恒成立，转化求，得解
【详解】（1）当时，，，
∴，，
∴所求切线方程为：，即.
（2）问题等价于在上恒成立，∴，
令，∴，
∵，令
在上单增，在上单减，
∴，
∴，
故，∴为上的减函数，
∴.
【点睛】本题考查切线方程及利用导函数研究不等式恒成立求解参数，属于基础题
22. 已知函数.
（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
（2）设函数，，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若函数的导函数为，证明：.
【答案】（1）或
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先讨论出函数的单调性，由零点存在原理分析函数恰有一个零点的条件可得答案.
（2）由题意可得，，不妨设，，则，将转化为，设，讨论出其单调性可证明.
【小问1详解】
函数的定义域为，
∴．
①当时，，所以在上单调递增，
取，则．
因为，所以，此时函数有一个零点．
②当时，令，解得．
当时，，所以在上单调递减．
当时，，所以在上单调递增．
当时，，当时，.
要使函数有一个零点，则，即，．
综上，若函数恰有一个零点，则或．
【小问2详解】
证明：，
，
又，，
不妨设，，即．
令，则，
因此在上单调递减，所以．
又，所以，
所以，即．月份
1
2
3
4
违章驾驶员人数
125
105
100
90
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过2年
10
20
驾龄2年以上
8
12
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879