2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高三上学期期末数学试题(含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高三上学期期末数学试题(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=xx2+2x−3<0，集合B=−3,1,2，则A∩B=( )
A. −3,2B. −3,0,1C. 0D. ⌀
2.复数z=i1+i在复平面上对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在等比数列an中，a3=2，a4=4，则首项等于
( )
A. 2B. 1C. 12D. 13
4.若平面向量a，b满足|a|=2，b=4，且a⋅b=4，则向量a与b夹角的大小是
( )
A. π3B. π4C. π6D. 2π3
5.设函数fx=xx−2x，则fx( )
A. 是偶函数，且在1,+∞上单调递增B. 是奇函数，且在−1,1上单调递减
C. 是偶函数，且在−∞,−1上单调递增D. 是奇函数，且在−∞,−1上单调递减
6.若函数fx=sinωx+π6ω>0在0,π3上单调，则ω的取值范围是
( )
A. 1,+∞B. 1,+∞C. 0,1D. 0,1
7.若x=3为函数fx=12x2−ax−3lnx的极值点，则函数fx的最小值为
( )
A. −12B. −32C. −32−3ln3D. 3−3ln3
8.圣·索菲亚教堂(英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为30 3−30m,在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为.(sin15∘= 6− 24)( )
A. 30mB. 60mC. 30 3mD. 60 3m
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量a=2,4，b=−2,1，则
( )
A. a⊥bB. a//bC. a+b=5D. a−b=5
10.设等差数列an的前n项和为Sn，若a4+2a8=a6，则下列结论正确的是
( )
A. a7=0B. S7最大C. S5=S9D. S13=0
11.已知函数fx=3sinxcsx− 3sin2x，则下列说法正确的是
( )
A. 函数fx的最小正周期为π
B. 函数fx的图象关于点−π12,− 32对称
C. 函数fx为偶函数
D. 若函数fx图象向左平移φ个单位长度后关于y轴对称，则φ可以为2π3
12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是线段C1D1上的动点，则下列说法正确的是
( )
A. 平面BB1P⊥平面ABCD
B. BP最小值为2 2
C. 若直线B1P与BD1所成角的余弦值为 155，则D1P=12
D. 若P是C1D1的中点，则AA1到平面BB1P的距离为4 55
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数fx=sinx+csx，则f′π4= ．
14.若数列an是等比数列，且a1a7a13=8，则a3a11= ．
15.已知A1,−3，O为坐标原点，点B(异于O点)在直线y=2x上，则OA⋅OBOB= ．
16.已知函数fx=sinωx−1(ω>0)图象上相邻两对称轴的距离为π，则函数y=fx的图象与函数y=1x−1(−2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在递增的等比数列an中，a1⋅a2=8，a1+a2=6，其中n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=2an+3，求数列bn的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ccsAacsC−c2b−c=0．
(1)求角A；
(2)若a=2，求BC边上高的最大值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E是PD的中点，AB=1，AD=PA=2．
(1)求PC与AE所成角的大小；
(2)求PC与平而ACE所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
已知an为等差数列，bn=an−6,n为奇数2an,n为偶数，记Sn，Tn分别为数列an，bn的前n项和，S4=32，T3=16．
(1)求an的通项公式；
(2)求数列bn的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，ED⊥平面ABCD，FB//ED，AD=ED=2，BF=1，∠BAD=60∘．
(1)若G是BC的中点，证明：平面DFG⊥平面ADE；
(2)求二面角A−EF−C的正弦值．
22.(本小题12分)
已知函数fx=ax+1ex+12x2．
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点−1,f−1处的切线方程；
(2)若函数fx有两个不同零点x1,x2，求a的取值范围，并证明x1+x2>0．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】先化简集合A，再利用集合的交集运算求解．
【详解】由x2+2x−3<0，得x+3x−1<0，解得−3所以A=x−3所以A∩B=⌀．
故选：D
2.【答案】A
【解析】【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．
【详解】∵复数i1+i=1−i1−i×i1+i=1+i2，∴复数对应的点的坐标是(12,12)，
∴复数i1+i在复平面内对应的点位于第一象限，故选 A．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据等比数列基本量关系求解即可．
【详解】a4a3=2，∴q=2，a3=a1q2，∴a1=24=12．
故选：C
4.【答案】A
【解析】【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可．
【详解】设向量a与b的夹角是θ，
则csθ=a⋅bab=42×4=12．
又因为0≤θ≤π，所以θ=π3．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，画函数图象，然后结合图象得函数的单调区间．
【详解】因为函数fx=xx−2x的定义域为R，且f−x=−xx+2x=−xx−2x=−fx，
所以fx是奇函数，又fx=xx−2x=x2−2x,x≥0−x2−2x，作出函数fx图象如下图：
由图知，函数fx在−∞,−1和1,+∞上单调递增，在−1,1上单调递减．
故选：B
6.【答案】D
【解析】【分析】由0【详解】解：因为0所以π6<ωx+π6<π3ω+π6，
因为fx在0,π3单调，
所以π3ω+π6≤π2，
∴0<ω≤1，
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】先由x=3为函数fx=12x2−ax−3lnx的极值点求得a，再利用导数法求解．
【详解】f′x=x−a−3x，
因为x=3是函数fx的极值点，
所以f′3=3−a−1=0，则a=2，
所以f′x=x−2−3x=x−3x+1x，
当x∈0,3时，f′x<0，当x∈3,+∞时，f′x>0，
所以函数fx在0,3上单调递减，在3,+∞上单调递增，
所以fxmin=f3=−32−3ln3．
故选：C
8.【答案】D
【解析】【分析】在△ACM中，利用正弦定理，得CM=AMsin15∘sin30∘，再结合锐角三角函数的定义，求得AM，CD，得解．
【详解】由题意知，∠CAM=45∘，∠AMC=180∘−15∘−60∘=105∘，
所以∠ACM=180∘−105∘−45∘=30∘，
在Rt▵ABM中，AM=ABsin∠AMB=ABsin15∘，
在△ACM中，由正弦定理得，AMsin30∘=CMsin45∘，
所以CM=AMsin45∘sin30∘=ABsin45∘sin15∘⋅sin30∘，
在Rt▵DCM中，CD=CM⋅sin60∘=AB⋅sin45∘⋅sin60∘sin15∘⋅sin30∘=30 3−30× 22× 32 6− 24×12=60 3米，
所以小明估算索菲亚教堂的高度为60 3米．
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示可判断AB正误；由向量模长坐标运算可知CD正误．
【详解】对于A，∵a⋅b=2×−2+4×1=0，∴a⊥b， A正确；
对于B，∵2×1≠4×−2，∴a与b不平行， B错误；
对于C，∵a+b=0,5，∴a+b= 02+52=5， C正确；
对于D，∵a−b=4,3，∴a−b= 42+32=5， D正确．
故选：ACD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】由已知条件可得a1+6d=0，然后逐个分析判断即可
【详解】因为a4+2a8=a6，所以a1+3d+2(a1+7d)=a1+5d，得a1+6d=0，即a7=0，则 A正确．
当a1<0时，d>0，则S6，S7最小，故 B错误．
因为a1+6d=0，所以a1=−6d，所以Sn=−6nd+n(n−1)d2=n2d−13nd2，
对称轴为n=132，所以S5=S8，则 C错误．
因为S13=13a7=0，所以 D正确．
故选：AD
11.【答案】ABD
【解析】【分析】对于A，利用辅助角公式和周期公式即可判断；对于B，求出fx后利用对称中心点的计算即可判断；对于C，利用偶函数的判断标准判断即可；对于D，根据三角函数变换法则进行变换后，利用关于y轴对称进行判断即可．
【详解】因为fx=3sinxcsx− 3sin2x=32sin2x+ 32cs2x− 32= 3sin2x+π6− 32，
所以fx的最小正周期为T=2π2=π，故 A正确；
当x=−π12时，2x−π6=0，
所以函数fx的图象关于点−π12,− 32对称， B正确；
易知函数fx的定义域为R，
又f−x= 3sin−2x+π6− 32= 3sin2x−π6+ 32
≠ 3sin2x+π6− 32=fx，
所以函数fx不是偶函数，故 C错误；
函数fx的图象向左平移φ个单位长度后得到的图象对应的函数为gx= 3sin2x+φ+π6− 32= 3sin2x+2φ+π6− 32，
由题意，函数gx的图象关于y轴对称，
所以2φ+π6=kπ+π2，k∈Z，即φ=kπ2+π6，k∈Z，
当k=1时，φ=π2+π6=2π3，故 D正确．
故选：ABD
12.【答案】ABD
【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A；结合正方体结构特征判断当点P与C1重合时，BP取最小值，即可判断B；建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间角的向量求法可判断C；将线面距离转化为点面距离，根据空间距离的向量求法求得点A到平面BB1P的距离，即可判断D．
【详解】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为BB1⊥平面ABCD，BB1⊂平面BB1P，
所以平面BB1P⊥平面ABCD，故 A正确；
连接BC1，由D1C1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，得D1C1⊥BC1，
故在中，当点P与C1重合时，BP取最小值2 2，故 B正确；
如图，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，
则B2,2,0，B12,2,2，D10,0,2，设P0,m,2，0≤m≤2，
则B1P=−2,m−2,0，BD1=−2,−2,2，
假设存在点P，使直线B1P与BD1所成角的余弦值为 155，
则cs⟨B1P,BD1⟩=B1P⋅BD1B1PBD1=8−2m 4+m−22⋅2 3= 155，
解得m=−2(舍去)，或m=1，此时点P是C1D1中点，D1P=1，故 C错误；
由AA1//BB1且AA1⊄平面BB1P，BB1⊂平面BB1P，知AA1//平面BB1P，
则AA1到平面BB1P的距离，即为A到平面BB1P的距离；
P是C1D1的中点，故P0,1,2，AB=0,2,0，B1P=−2,−1,0，BB1=0,0,2，
设平面BB1P的法向量为m=x,y,z，则m⋅B1P=0m⋅BB1=0，即2x+y=02z=0,
取x=1，则y=−2，z=0，故m=1,−2,0，
所以点A到平面BB1P的距离为AB⋅mm=4 5=4 55，
即AA1到平面BB1P的距离为4 55， D正确．
故选：ABD
13.【答案】0
【解析】【分析】求出f′x，代值计算可得出f′π4的值．
【详解】因为fx=sinx+csx，则f′x=csx−sinx，故f′π4=csπ4−sinπ4=0．
故答案为：0．
14.【答案】4
【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可．
【详解】根据等比数列的性质，有a1a13=a72，
则a1a7a13=a73=8，解得a7=2，
所以a3a11=a72=4．
故答案为：4．
15.【答案】± 5
【解析】【分析】由点B(异于O点)在直线y=2x上设出其坐标，然后得出向量坐标，由数量积公式和模长公式求得答案．
【详解】点B(异于O点)在直线y=2x上，可设Bm,2m，m≠0，
可得OA=1,−3，OB=m,2m，
则OA⋅OB=m−6m=−5m，且OB= 5m，
所以OA⋅OBOB=−5m 5m=± 5，
故答案为：± 5．
16.【答案】4
【解析】【分析】由题意可知y=fx和y=1x−1(−2【详解】由题知，函数fx的最小正周期为2π，2πω=2π，所以ω=1，
则fx=sinx−1.又f1=sin0=0，
所以y=fx的图象关于点1,0中心对称，
作出y=fx和y=1x−1(−2可知两函数图象共有4个交点，且关于点1,0中心对称，
将4个交点从左到右设为x1,x2，x3,x4，
则x1+x4=2，x2+x3=2
故这4个交点的横坐标之和为：2×2=4．
故答案为：4
17.【答案】【小问1详解】
由a1⋅a2=8,a1+a2=6，等比数列an是递增数列，得a1=2,a2=4，
因此数列an的公比q=a2a1=2，则an=a1qn−1=2n，
所以数列an的通项公式是an=2n．
【小问2详解】
由(1)得，bn=2an+3=2n+1+3，
Tn=b1+b2+⋯+bn=4(1−2n)1−2+3n=2n+2+3n−4．

【解析】【分析】(1)根据给定条件，求出an的首项、公比即可作答．
(2)利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答．
18.【答案】【小问1详解】
由正弦定理及ccsAacsC−c2b−c=0，得sinCcsAsinAcsC−sinC2sinB−sinC=0．
因为sinC≠0，所以2sinBcsA−sinCcsA−sinAcsC=0，
所以2sinBcsA−sinA+C=0，所以2sinBcsA−sinB=0．
因为sinB≠0，所以csA=12.因为0【小问2详解】
由(1)及余弦定理得：b2+c2=4+bc≥2bc，所以bc≤4，
所以S▵ABC=12bcsinA≤ 3，当且仅当b=c=2时等号成立，
设BC边上的高为ℎ，又因为S△ABC=12a⋅ℎ=ℎ，所以ℎ≤ 3．
即BC边上高的最大值为 3．

【解析】【分析】(1)用正弦定理边化角即可求解；
(2)用余弦定理结合基本不等式即可求解．
19.【答案】【小问1详解】
AB⊥AD，又PA⊥底面ABCD，AD、AB⊂底面ABCD，PA⊥AD，PA⊥AB，
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，B1,0,0，C1,2,0，P0,0,2，E0,1,1，
所以PC=1,2,−2，AE=0,1,1，所以PC⋅AE=1×0+2×1−2×1=0，
所以PC⊥AE，即PC与AE所成角的大小为π2；
【小问2详解】
由(1)知PC=1,2,−2，AC=1,2,0，AE=0,1,1．
设平面ACE的一个法向量为n=x,y,z，则n⋅AC=0n⋅AE=0⇒x+2y=0y+z=0,
取y=1，则x=−2，z=−1，
所以n=−2,1,−1是平面ACE的一个法向量，
设PC与平面ACE所成角为θ，
则sinθ=csPC,n=PC⋅nPC⋅n=23× 6= 69，
所以PC与平面ACE所成角的正弦值为 69．

【解析】【分析】(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出PC、AE，利用PC⋅AE=0可得答案；
(2)求出平面ACE的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案．
20.【答案】【小问1详解】
设等差数列an的公差为d，而bn=an−6,n=2k−12an,n=2k,k∈N∗,
则b1=a1−6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3−6=a1+2d−6，
于是S4=4a1+6d=32T3=4a1+4d−12=16，解得a1=5,d=2，an=a1+(n−1)d=2n+3，
所以数列an的通项公式是an=2n+3；
【小问2详解】
方法1：由(1)知，Sn=n(5+2n+3)2=n2+4n，bn=2n−3,n=2k−14n+6,n=2k,k∈N∗,
当n为偶数时，bn−1+bn=2(n−1)−3+4n+6=6n+1，
Tn=13+(6n+1)2⋅n2=32n2+72n，
当n为奇数时，Tn=Tn+1−bn+1=32(n+1)2+72(n+1)−[4(n+1)+6]=32n2+52n−5．
所以Tn=32n2+72n,n为偶数32n2+52n−5,n为奇数．
方法2：由(1)知，Sn=n(5+2n+3)2=n2+4n，bn=2n−3,n=2k−14n+6,n=2k,k∈N∗,
当n为偶数时，
Tn=(b1+b3+⋯+bn−1)+(b2+b4+⋯+bn)=−1+2(n−1)−32⋅n2+14+4n+62⋅n2=32n2+72n，
当n为奇数时，若n≥3，则Tn=(b1+b3+⋯+bn)+(b2+b4+⋯+bn−1)
=−1+2n−32⋅n+12+14+4(n−1)+62⋅n−12=32n2+52n−5，
显然T1=b1=−1满足上式，因此当n为奇数时，Tn=32n2+52n−5．
Tn=32n2+72n,n为偶数32n2+52n−5,n为奇数．

【解析】【分析】(1)设等差数列an的公差为d，用a1、d表示Sn及Tn，即可求解作答；
(2)方法1，利用(1)的结论求出Sn、bn，再分奇偶求和求出Tn即可；方法2，利用(1)的结论求出Sn、bn，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出Tn即可．
21.【答案】【小问1详解】
证明：连接BD，因为四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60∘，
所以▵ABD与▵BCD为等边三角形．
又BC中点为G，所以DG⊥BC.因为AD/​/BC，所以DG⊥AD，
因为ED⊥平面ABCD，DG⊂平面ABCD，所以DG⊥ED．
又ED∩AD=D，ED,AD⊂平面ADE，所以DG⊥平面ADE．
因为DG⊂平面DFG，所以平面DFG⊥平面ADE．
【小问2详解】
解：连接AC，BD，设BD，AC交于点O，取EF中点H，连接OH，所以OH//ED，OH⊥底面ABCD．
以O为原点，以OA，OB，OH分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A 3,0,0，C− 3,0,0，F0,1,1，E0,−1,2，
所以FA= 3,−1,−1，EA= 3,1,−2，FC=− 3,−1,−1，EC=− 3,1,−2，
设平面EFA的一个法向量为m=x1,y1,z1，
则m⋅FA=0,m⋅EA=0,⇒ 3x1−y1−z1=0, 3x1+y1−2z1=0,
令x1= 3，得m= 3,1,2；
设平面EFC的一个法向量为n=x2,y2,z2，
则n⋅FC=0,n⋅EC=0,⇒ 3x2+y2+z2=0, 3x2−y2+2z2=0,
令x2= 3，得n= 3,−1,−2；
所以csm,n=3−1−4 8× 8=14，
所以二面角A−EF−C的正弦值为 1−142= 154．

【解析】【分析】(1)由线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直；
(2)建立空间直角坐标系，用向量法结合坐标运算即可求解．
22.【答案】【小问1详解】
当a=1时，fx=x+1ex+12x2⇒f′x=x−xex，易知f−1=12,f′−1=e−1，
所以曲线y=fx在点−1,f−1处的切线方程为：y−12=e−1x+1⇒e−1x−y+e−12=0；
【小问2详解】
由已知可得f′x=x−axex=x⋅ex−aex，
①若a<0，则x>0⇒f′x>0，x<0⇒f′x<0，
即y=fx在0,+∞上单调递增，−∞,0上单调递减，fx≥f0=a，
又f−1=12>0,f0<0,x→+∞时，y=fx→+∞，所以函数存在两个零点；
②若a=0时，fx=12x2，显然不符合题意；
③若a>0时，令f′x=0⇒x=0,x=lna，
当a>1时，令f′x>0⇒x<0或x>lna，令f′x<0⇒0即y=fx在0,lna上单调递减，−∞,0和lna,+∞上单调递增，
函数极小值为flna=12lna2+lna+1>0，函数极大值为f0=a>0，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当a=1时，f′x≥0，则y=fx单调递增，至多一个零点，不符合题意；
当1>a>0时，令f′x>0⇒x>0或xlna，
即y=fx在lna,0上单调递减，−∞,lna和0,+∞上单调递增，
函数极大值为flna=12lna+12+12>0，函数极小值为f0=a>0，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
综上所述，a<0时函数有两个零点x1,x2，则x1,x2一正一负，
不妨令x1<0令gx=ex−e−x⇒g′x=ex+e−x>0，即y=gx在R上单调递增，
所以x>0⇒gx>g0=0，x<0⇒gx故x>0时，有F′x<0，x<0时，有F′x>0，
即Fx≤F0=0，所以fx≤f−x，
则fx1=fx2≤f−x2，
又因为y=fx在−∞,0上单调递减，故x1>−x2⇒x1+x2>0，证毕．
【点睛】第二问关键是分类讨论，通过判断单调性及极值、最值研究函数的零点个数，证明x1+x2>0可利用构造差函数Fx=fx−f−x，通过证明fx≤f−x来判定极值点偏移问题．

【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义计算即可；
(2)利用导数研究函数单调性及最值，分类讨论即可判定a的取值范围，构造差函数证明即可．