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2023-2024学年广东省佛山市南海区高一上学期学业水平测试数学试题(含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区高一上学期学业水平测试数学试题(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=xx≥−1，B=−3,−2,−1,0,1,2，则(∁RA)∩B=( )
A. {−3,−2}B. {−3,−2,−1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}
2.已知a=lg30.3，b=30.3，c=0.30.5，则( )
A. a3.下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是( )
A. y=exB. y=x3C. y=−1xD. y=e|x|
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据为(510≈1.585)( )
A. 1.59B. 1.28C. 0.63D. 0.58
5.设f(x)=lg3(x−1),x<3,2x−1,x≥3,则f(2)+f(lg212)=( )
A. 6B. 7C. 11D. 12
6.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)=eax，若f(ln2)=−4，则a=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
7.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，f(3)=0.若f(x−1)>0，则x的取值范围是( )
A. (−∞,−2)B. (1,3)C. (−2,4)D. (4,+∞)
8.已知f(x)=x2−2x−1，g(x)=lgax(a>0且a≠1)，若对任意的x1∈[−1,2]，都存在x2∈[2,4]，使得f(x1)A. ( 22,1)B. (12,1)C. (1, 2)D. (1,2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c是实数，下列命题正确的是( )
A. a>b是a2>b2的充分不必要条件
B. a>b是a2>b2的既不充分也不必要条件
C. a>b是ac2>bc2的充分不必要条件
D. a>b是ac2>bc2的必要不充分条件
10.已知a>0，b>0，且a+b=2，则( )
A. a2+b2≥2B. 4a+2b≥6C. 2a−b>12D. lna+lnb≤0
11.已知函数f(x)=−x2+2,x≤1,x+1x−1,x>1,则( )
A. f[f(0)]=32
B. f(x)≥1
C. f(x)有唯一零点
D. 若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b−a的最大值是3+ 3
12.对于任意两个正数u，v(uA. L(14,12)=L(4,8)B. L(2100,3100)=100L(2,3)
C. L(uu,vu)>v−uD. 2L(u,v)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知命题p:∀x∈N，2x>x+1，则命题p的否定为 ．
14.函数y=lga(2x−3)+8的图象恒过定点P，P在幂函数f(x)的图象上，则f(3)= ．
15.已知函数f(x)=x2+2x−3,x⩽0,−2+lnx,x>0,若函数g(x)=f(x)−k有三个零点，写出满足条件的k的一个值 ．
16.已知函数f(x)=x|x|，若对任意x∈[t,t+2]，不等式f(x2+t)≤9f(x)恒成立，则实数t的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在 ①A∩(∁RB)=A， ②A∩B=⌀， ③A∩B=A这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：
已知集合A={x|a−1≤x≤2a+3}，B={x|x2+3x−28<0}，若 ，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数g(x)=2ax2−3ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值19，最小值5．
(1)求a，b的值;
(2)设f(x)=g(x)4x−6，x>32，求f(x)的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=12x−2x．
(1)求x>0时f(x)的解析式;
(2)若存在x∈[2,3]，使得f(x)+m⋅2−x≤4成立，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|．
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)若x∈(−12,12)
(ⅰ)判断f(x)在(−12,12)的单调性，并用定义加以证明;
(ⅱ)解不等式：f(x)21.(本小题12分)
当环境相对稳定时，初始温度为T0的物体，经过一段时间t后的温度为T可以用牛顿冷却定律来描述：T−Tc= (T0−Tc)⋅at，其中Tc为环境温度，a为环境参数.当室温保持为20℃时，李华在8点时用智能电热水壶烧1升水，开始时水温与室温一致，加热时水的温度与时间成一次函数，8分钟后水温达到100℃，水壶停止工作，壶中热水开始自然冷却，8点18分时，壶中水温为60℃．
(1)求8点起壶中水温T(单位：℃)关于时间t(单位：分钟)的函数T=f(t);
(2)若李华在水烧开时需离开一段时间，于是将智能电热水壶设定为保温状态，此时水壶会自动检测壶内水温，当水温高于临界值50℃时，加热设备不工作;当壶内水温不高于临界值50℃时，开始加热至80℃后停止，加热速度与正常烧水一致.李华离开后，壶中的水在几点几分开始第二次加热? (结果保留整数)(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)
22.(本小题12分)
我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，该性质可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数.已知函数g(x)=−5x+15x−1，ℎ(x)=a⋅2x．
(1)函数g(x)的图象是否有对称中心?请用题设定理证明;
(2)当x≠1时，记|g(x)|，ℎ(x)中较小者为f(x)，请讨论是否对任意a∈[1,5]，f(x)都有最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，属于基础题．
利用交集和补集运算即可求解．
【解答】
解：由题意，得∁RA={x|x<−1}
则(∁RA)∩B={−3,−2}，故选A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查根据对数函数和指数函数的性质比较大小，属于基础题．
依据对数函数和指数函数的性质，确定a、b、c的范围，然后判定选项．
【解答】
解：∵a=lg30.3b=30.3>30=1，
0∴a故选A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性奇偶性的判定，关键是熟悉常见函数的单调性、奇偶性．根据题意，依次分析选项，验证是否满足单调递增以及奇函数，即可得答案，属于基础题
【解答】
解：根据题意，若图象又关于原点对称，则函数是奇函数，依次分析选项：
对于A、y=e x是指数函数，不是奇函数，不符合题意，故A错；
对于B、y=x3在R上为增函数，且f(−x)=−f(x)，是奇函数，故B符合题意；
对于C、y=−1x是反比例函数，在其定义域上不是增函数，故C不符合题意；
对于D，y=e|x|是偶函数，故D不符合题意．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了对数运算的实际应用，也考查了运算求解能力，属于基础题．
把L=4.8代入L=5+lgV中，直接求解即可．
【解答】解：在L=5+lgV中，L=4.8，
所以4.8=5+lgV，即lgV=−0.2，
解得V=10−0.2=1100.2=1510=11.585≈0.63，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.63．
故选C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数的函数值的求法，考查运算求解能力，是基础题．
根据分段函数的解析式，分别求出f(2)与f(lg212)的值，由此能求出f(2)+f(lg212)．
【解答】
解：∵函数f(x)=lg3(x−1),x<3,2x−1,x≥3,，
∴f(2)=lg3(2−1)=0，lg212>lg28=3，
f(lg212)=2lg212−1=2lg212·2−1=6，
∴f(2)+f(lg212)=0+6=6．
故选A．
6.【答案】A
【解析】略
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性与奇偶性解不等式，属于基础题．
根据奇偶性和单调性的关系将不等式转化为f(|x−1|)>f(3)，|x−1|<3，解不等式即可．
【解答】
解：∵偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递减，f(3)=0，
∴若f(x−1)>0，则等价为f(|x−1|)>f(3)，
即|x−1|<3，得−3即不等式的解集为(−2,4).
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数的恒成立问题，考查了初等函数的最值问题，属于中档题．
求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答．
【解答】
解：当x∈[−1,2]时，f(x)=(x−1)2−2，则f(x)max=f(−1)=2，
因为对任意的x1∈[−1,2]，都存在x2∈[2,4]，使得f(x1)因此函数f(x)在[−1,2]上的最大值小于函数g(x)在[2,4]上的最大值，
而当0于是a>1，函数g(x)=lgax在[2,4]上单调递增，
则lga4>2，即1所以实数a的取值范围是(1,2)．
故选：D．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
举反例可判断命题A、B、C、D的正误．
【解答】解：A.当a=0，b=−1时，a>b，但a2b不是a2>b2的充分条件，因此不正确；
B.当a=0，b=−1时，a>b，但a2b不是a2>b2的充分条件，当a=−1，b=0时，a2>b2，但ab不是a2>b2的必要条件，因此正确；
C.由a>b，若c=0，则ac2=bc2，∴a>b不是ac2>bc2的充分条件，因此不正确；
D.由a>b，若c=0，则ac2=bc2，∴a>b不是ac2>bc2的充分条件，由ac2>bc2⇒a>b，∴a>b是ac2>bc2的必要条件，因此正确．
故选BD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，属于中档题．
利用基本不等式逐个判断即可．
【解答】
解：∵a>0，b>0，a+b=2，
对于A:a2+b2≥(a+b)22=2，当且仅当a=b=1时，取等号，故A正确；
对于B：4a+2b=12a+b(4a+2b)=126+4ba+2ab⩾126+2 4ba·2ab=3+2 2，
当且仅当a=4−2 2,b=2 2−2时，取等号，故B错误；
对于C，2a−b=22−2b<4，故C错误；
对于D:lna+lnb=lnab≤ln(a+b2)2=0，当且仅当a=b=1时，取等号，故D正确．
故选：AD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．
直接由分段函数解析式求f(f( 0))判断A；画出函数f(x)的图象，数形结合判断BCD．
【解答】
解：∵函数f(x)= −x2+2,x≤1x+1x−1,x>1,
对于A，f( 0)=− 0+2= 2，
f(f( 0))=f( 2)= 2+ 12−1= 32，故A正确；
作出函数f(x)的图象如图：
由图可知，B错误；C正确；
对于D，若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，
则b−a的最大值是 2+ 3−(−1)=3+ 3，故D正确．
故选ACD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数新定义问题，属于拔高题．
先又L(u,v)的定义，得到L(u,v)=L(1,v)−L(1,u)，再由题中给出的L(u,v)的性质，对照选项逐一判断即可．
【解答】
解：由于L(u,v)表示曲线y=1x与直线x=u，x=v，x轴围成的曲边梯形的面积，
故L(u,v)=L(1,v)−L(1,u)
从而L(14,12)=L(1,12)−L(1,14)=ln12−ln14
=ln2=ln8−ln4=L(1,8)−L(1,4)=L(4,8)，A正确；
L(2100,3100)=L(1,3100)−L(1,2100)=ln3100−ln2100
=100(ln3−ln2)=100(L(1,3)−L(1,2))=100L(2,3)，B正确；
L(uu,vu)=L(1,vu)−L(1,uu)=lnvu−lnuu=ulnv−ulnu=u(lnv−lnu)
取v=4，u=2，则L(uu,vu)=L(22,42)=2(ln4−ln2)
=2ln2⩽2=4−2=v−u，故C不正确；
2L(u,v)=2L(1,v)−2L(1,u)=2lnv−2lnu=2lnvu，其中vu>1
构造函数f(x)=x−1x−2lnx,x>1，
f′(x)=1+1x2−2x=x2−2x+1x2=(x−1)2x2>0
故f(x)在(1,+∞)单调递增，
又f(1)=1−1=0，故当x∈(1,+∞)时，f(x)>0恒成立，
从而f( vu)>0，即vu−uv−2lnvu>0，
即vu−uv>2lnvu=2L(u,v)，故D正确．
故选ABD．
13.【答案】∃x∈N，2x⩽x+1
【解析】【分析】
本题考查命题的否定、特称命题与全称命题的关系，属于基本知识的考查．
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】
解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
∴命题p的否定为“∃x∈N，2x⩽x+1”．
14.【答案】27
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．
利用y=lga1=0可得定点P，代入幂函数f(x)=xα即可．
【解答】
解：对于函数y=lga(2x−3)+8，令2x−3=1，解得x=2，此时y=8，
因此函数y=lga(2x−3)+8的图象恒过定点P(2,8)．
设幂函数f(x)=xα，∵P在幂函数f(x)的图象上，
∴8=2α，解得α=3．
∴f(x)=x3．
∴f(3)=33=27．
故答案为27．
15.【答案】−3(答案不唯一，落在区间(−4,−3]即可)
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的图象和函数零点、方程的根的个数，属于基础题．
利用分段函数的图象作出直线y=k和函数fx的图象，再利用函数零点、方程的根的个数，结合图象得结论．
【解答】
解：作直线y=k和函数fx的图象如下：
因为函数g(x)=f(x)−k有三个零点，所以直线y=k和函数fx的图象有三个不同的交点，
因此由图象知：k∈−4,−3，所以满足条件的k的一个值为−3．
16.【答案】[0, 3−1]
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查与一元二次不等式恒成立有关的问题，属于中档题．
首先判断fx为奇函数并且在R上单调递增；然后根据9fx=f3x，所以问题转化为不等式fx2+t⩽f3x，即x2+t⩽3x，亦即t⩽3x−x2在x∈[t,t+2]时恒成立，最后构造函数gx=3x−x2=−(x−32)2+94，根据二次函数的性质，通过讨论区间中点与对称轴的相对位置，求出gx的最小值，列出不等式(组)，分别求解，综合即可．
【解答】
解：因为函数fx=xx的定义域为R，并且f−x=−x−x=−xx=−fx，
所以fx为奇函数；
又当x∈[0,+∞)时，fx=x2，这时fx单调递增，所以fx在R上单调递增；
而9fx=f3x，所以由fx2+t⩽9fx，得fx2+t⩽f3x，
于是x2+t⩽3x，即t⩽3x−x2在x∈[t,t+2]时恒成立．
令gx=3x−x2=−(x−32)2+94，根据二次函数的性质知：
当t+t+22⩽32，即t⩽12时，gxmin=gt=3t−t2，
由t⩽12,t⩽3t−t2,解得：0⩽t⩽12;
当t+t+22>32，即t>12时，gxmin=gt+2=3t+2−t+22=−t2−t+2，
由t>12,t⩽−t2−t+2,解得：12综上所述，实数t的取值范围是[0, 3−1]．
17.【答案】解：若选择①A∩(∁RB)=A，
又因为B={x|x2+3x−28<0}=x|−7则A是∁RB的子集，∁RB=(−∞,−7]∪[4,+∞)，
当A=⌀时，a−1>2a+3，即a<−4时，，满足题意；
当A≠⌀时，则a⩾−4，a⩾−42a+3≤−7或a⩾−4a−1⩾4，解得a≥5，
综上可得，实数a的取值范围是(−∞,−4)∪[5，+∞)．
若选择②A∩B=⌀，
则当A=⌀时，即a−1>2a+3，即a<−4时，满足题意，
当A≠⌀时，则a⩾−4时，a⩾−42a+3≤−7或a⩾−4a−1⩾4，解得a≥5，
综上可得，实数a的取值范围是(−∞,−4)∪[5，+∞)．
若选择③A∩B=A，则A⊆B，
当a−1>2a+3，即a<−4时，A=⌀，满足题意；
当A≠⌀时，则a⩾−4时，a−1>−72a+3<4，解得−4⩽a<12；
综上可知，实数a的取值范围是(−∞,12)．
【解析】本题考查了交集、并集、补集的综合运算，涉及了分类讨论思想的应用，解题的关键是掌握集合交集、并集、补集的定义，属于中档题．
分别利用集合的交集、补集、并集的定义对a进行分类讨论，分别求解即可．
18.【答案】解：(1)函数g(x)开口方向向上，对称轴为x=34．
所以g(x)在[2,3]上单调递增，所以g(3)=19g(2)=5
于是9a+1+b=192a+1+b=5
解得a=2，b=0．
(2)由(1)可知g(x)=4x2−6x+1，所以f(x)=4x2−6x+14x−6．
因为x>32，所以4x−6>0．
f(x)=4x2−6x+14x−6=x+14x−6=14(4x−6)+14x−6+32≥2 14(4x−6)⋅14x−6+32=52．
当且仅当14(4x−6)=14x−6>0，即x=2时等号成立．
所以f(x)的最小值为52．
【解析】本题主要考查二次函数性质，基本不等式，属于中档题．
(1)由题意可得g(3)=19g(2)=5，可得a，b；
(2)由题意可得f(x)=4x2−6x+14x−6=14(4x−6)+14x−6+32，利用基本不等式可得f(x)的最小值．
19.【答案】解： (1)当x>0时，−x<0，则f(−x)=12−x−2−x=2x−12x．
又因为f(x)为偶函数，所以当x>0时f(x)=f(−x)=2x−12x．
(2)由(1)可知，当x∈[2,3]时，f(x)=2x−12x．
若存在x∈[2,3]，使得f(x)+m⋅2−x≤4成立，即2x−12x+m2x⩽4成立，即m⩽−22x+4⋅2x+1成立．
令t=2x，因为x∈[2,3]，所以t∈[4,8]，所以−22x+4⋅2x+1=−t2+4t+1．
令y=−t2+4t+1，则其开口方向向下，对称轴为t=2，所以函数y=−t2+4t+1在[4,8]上单调递减．
所以当t=4，即x=2时ymax=1．
于是m⩽1，所以实数m的取值范围是−∞,1．
【解析】略
20.【答案】解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠±12}.
因为∀x∈{x|x≠±12}，都有−x∈{x|x≠±12}，
且f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|=ln|2x−1|−ln|2x+1|=−f(x)．
所以函数f(x)为奇函数．
(2)(i)当x∈(−12,12)时，f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|=ln(2x+1)−ln(1−2x)=ln1+2x1−2x．
f(x)在(−12,12)上单调递增，理由如下：
∀x1，x2∈(−12,12)，且x11+2x11−2x1−1+2x21−2x2=(1+2x1)(1−2x2)−(1−2x1)(1+2x2)(1−2x1)(1−2x2)=4(x1−x2)(1−2x1)(1−2x2)，
因为−12所以−1<2x1<2x2<1，x1−x2<0，1−2x1>0，1−2x2>0，
所以4(x1−x2)(1−2x1)(1−2x2)<0，
即1+2x11−2x1<1+2x21−2x2．
于是ln1+2x11−2x1因此，f(x)在区间(−12,12)上单调递增．
(ii)f(x)是奇函数，不等式等价于f(x)<−f(x)+2ln5，
所以2f(x)<2ln5，即f(x)由(i)知f(x)在(−12,12)上单调递增，
所以−12所以原不等式的解集为{x|−12【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与证明，考查不等式的解法，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．
(1)利用函数奇偶性的定义法即可判断；
(2)(i)当x∈(−12,12)时，f(x)=ln1+2x1−2x，再利用函数单调性的定义法能进行证明；
(ii)f(x)是奇函数，不等式等价于f(x)<−f(x)+2ln5，即2f(x)<2ln5，即f(x)21.【答案】解：(1)①当0≤t≤8时，T=kt+20，
由t=8时T=100，则8k+20=100，
可得k=10，所以T=10t+20．
②当t>8时，由题意T−Tc=(T0−Tc)·at−8，
则60−20=(100−20)a18−8，可得a=12110，
从而T−20=(100−20)12t−810，即T=8012t−810+20．
综上所述，T=f(t)=10t+20,0⩽t⩽8,80·(12)t−810+20,t>8.
(2)设水从100℃降至50℃需要t分钟，由50−20=(100−20)⋅(12)t10，得
t10⋅(−lg2)=lg38=lg3−3lg2.
从而t=10⋅(3−lg3lg2)≈14.2，即水开后14.2分钟，水温降至50℃．
设水从50℃加热到80℃需要的时间为t1，则t1=80−5010=3．
设水从80℃降至50℃时需要的时间为t2，由50−20=(80−20)⋅(12)t10，得t2=10．
从烧开后到第二次加热需要t+t1+t2=14.2+3+10≈27分钟，所以8点35分时开始第二次加热．
【解析】本题考查分段函数的求解，函数与方程的应用，考查计算能力．属于中档题．
(1)由题意直接利用已知条件求解函数的解析式，
(2)结合指数函数的运算求解即可．
22.【答案】解：(1)法1:g(x)的图象有对称中心(1,−5)，证明如下．
设G(x)=g(x+1)+5，则G(x)=−5(x+1)+15(x+1)−1+5=10x．
因为G(−x)=10−x=−G(x)，所以G(x)为奇函数，由题设结论可知g(x)的图象有对称中心(1,−5)．
法2:设g(x)的图象有对称中心(a,b)，则G(x)=g(x+a)−b=−5x−5a+15x+a−1−b为奇函数．
于是G(x)+G(−x)=0，即(−5x−5a+15x+a−1−b)+(5x−5a+15−x+a−1−b)=0，即
5x+5a−15x+a−1+5x−5a+15x−a+1=−2b，于是(5x+5a−15)(x−a+1)+(5x−5a+15)(x+a−1)(x+a−1)(x−a+1)=−2b，化简可得10x2−10a2+40a−30x2−(a−1)2=−2b.于是10=−2b−10a2+40a−30=2b(a−1)2，解得a=1，b=−5．
所以g(x)的图象有对称中心(1,−5)．
(2)由−5x+15x−1>0得1g(x)=−5x+15x−1=−5(1−2x−1)，因为y=2x−1在(−∞,1)，(1,+∞)上单调递减，所以g(x)在(−∞,1)，(1,+∞)上单调递减，从而|g(x)|在(−∞,1)，(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减．
ℎ(x)=a⋅2x(1≤a≤5)在R上递增．
①当x<0时，|g(x)|=5(1−2x−1)>5，而ℎ(x)=a⋅2x ②当0≤x<1时，|g(x)|>|g(0)|=15，ℎ(x)<ℎ(1) ③当x≥3时，当x→+∞时，2x−1→0，所以|g(x)|→5，于是|g(x)|在[3,+∞)上的值域为[0,5)，而ℎ(x)>ℎ(3)>a⋅23≥8，所以f(x)=|g(x)|．
④当1m(3)=a⋅23+5(1−23−1)>0，所以存在唯一的x0∈(1,3)，使得m(x0)=0．
当x0≤x<3时，m(x)>0，ℎ(x)≥|g(x)|，所以f(x)=|g(x)|．
当1综上所述，f(x)=a⋅2x,x<1或1所以当x当x≥x0，若|g(x0)|≥5(1而|g(x0)|≥5⇔1当1≤a<54，|g(x0)|=a⋅2x0<54⋅22<5，此时f(x)在(−∞,1)∪(1,+∞)上的值域为[0,5)，所以f(x)没有最大值．
【解析】本题考查了函数的对称性、单调性及函数的值域问题，函数的单调性与奇偶性的综合应用，是困难题．
(1)设f(x)的对称中心为a,b，根据对称性得到关于a,b的方程，解方程即可得解；
(2)根据|g(x)|的取值情况求出f(x)的解析式，分情况讨论，从而可得出答案．
1.已知集合A=xx≥−1，B=−3,−2,−1,0,1,2，则(∁RA)∩B=( )
A. {−3,−2}B. {−3,−2,−1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}
2.已知a=lg30.3，b=30.3，c=0.30.5，则( )
A. a
A. y=exB. y=x3C. y=−1xD. y=e|x|
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据为(510≈1.585)( )
A. 1.59B. 1.28C. 0.63D. 0.58
5.设f(x)=lg3(x−1),x<3,2x−1,x≥3,则f(2)+f(lg212)=( )
A. 6B. 7C. 11D. 12
6.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)=eax，若f(ln2)=−4，则a=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
7.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，f(3)=0.若f(x−1)>0，则x的取值范围是( )
A. (−∞,−2)B. (1,3)C. (−2,4)D. (4,+∞)
8.已知f(x)=x2−2x−1，g(x)=lgax(a>0且a≠1)，若对任意的x1∈[−1,2]，都存在x2∈[2,4]，使得f(x1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c是实数，下列命题正确的是( )
A. a>b是a2>b2的充分不必要条件
B. a>b是a2>b2的既不充分也不必要条件
C. a>b是ac2>bc2的充分不必要条件
D. a>b是ac2>bc2的必要不充分条件
10.已知a>0，b>0，且a+b=2，则( )
A. a2+b2≥2B. 4a+2b≥6C. 2a−b>12D. lna+lnb≤0
11.已知函数f(x)=−x2+2,x≤1,x+1x−1,x>1,则( )
A. f[f(0)]=32
B. f(x)≥1
C. f(x)有唯一零点
D. 若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b−a的最大值是3+ 3
12.对于任意两个正数u，v(u
C. L(uu,vu)>v−uD. 2L(u,v)
13.已知命题p:∀x∈N，2x>x+1，则命题p的否定为 ．
14.函数y=lga(2x−3)+8的图象恒过定点P，P在幂函数f(x)的图象上，则f(3)= ．
15.已知函数f(x)=x2+2x−3,x⩽0,−2+lnx,x>0,若函数g(x)=f(x)−k有三个零点，写出满足条件的k的一个值 ．
16.已知函数f(x)=x|x|，若对任意x∈[t,t+2]，不等式f(x2+t)≤9f(x)恒成立，则实数t的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在 ①A∩(∁RB)=A， ②A∩B=⌀， ③A∩B=A这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：
已知集合A={x|a−1≤x≤2a+3}，B={x|x2+3x−28<0}，若 ，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数g(x)=2ax2−3ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值19，最小值5．
(1)求a，b的值;
(2)设f(x)=g(x)4x−6，x>32，求f(x)的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=12x−2x．
(1)求x>0时f(x)的解析式;
(2)若存在x∈[2,3]，使得f(x)+m⋅2−x≤4成立，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|．
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)若x∈(−12,12)
(ⅰ)判断f(x)在(−12,12)的单调性，并用定义加以证明;
(ⅱ)解不等式：f(x)
当环境相对稳定时，初始温度为T0的物体，经过一段时间t后的温度为T可以用牛顿冷却定律来描述：T−Tc= (T0−Tc)⋅at，其中Tc为环境温度，a为环境参数.当室温保持为20℃时，李华在8点时用智能电热水壶烧1升水，开始时水温与室温一致，加热时水的温度与时间成一次函数，8分钟后水温达到100℃，水壶停止工作，壶中热水开始自然冷却，8点18分时，壶中水温为60℃．
(1)求8点起壶中水温T(单位：℃)关于时间t(单位：分钟)的函数T=f(t);
(2)若李华在水烧开时需离开一段时间，于是将智能电热水壶设定为保温状态，此时水壶会自动检测壶内水温，当水温高于临界值50℃时，加热设备不工作;当壶内水温不高于临界值50℃时，开始加热至80℃后停止，加热速度与正常烧水一致.李华离开后，壶中的水在几点几分开始第二次加热? (结果保留整数)(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)
22.(本小题12分)
我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，该性质可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数.已知函数g(x)=−5x+15x−1，ℎ(x)=a⋅2x．
(1)函数g(x)的图象是否有对称中心?请用题设定理证明;
(2)当x≠1时，记|g(x)|，ℎ(x)中较小者为f(x)，请讨论是否对任意a∈[1,5]，f(x)都有最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，属于基础题．
利用交集和补集运算即可求解．
【解答】
解：由题意，得∁RA={x|x<−1}
则(∁RA)∩B={−3,−2}，故选A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查根据对数函数和指数函数的性质比较大小，属于基础题．
依据对数函数和指数函数的性质，确定a、b、c的范围，然后判定选项．
【解答】
解：∵a=lg30.3
0
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性奇偶性的判定，关键是熟悉常见函数的单调性、奇偶性．根据题意，依次分析选项，验证是否满足单调递增以及奇函数，即可得答案，属于基础题
【解答】
解：根据题意，若图象又关于原点对称，则函数是奇函数，依次分析选项：
对于A、y=e x是指数函数，不是奇函数，不符合题意，故A错；
对于B、y=x3在R上为增函数，且f(−x)=−f(x)，是奇函数，故B符合题意；
对于C、y=−1x是反比例函数，在其定义域上不是增函数，故C不符合题意；
对于D，y=e|x|是偶函数，故D不符合题意．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了对数运算的实际应用，也考查了运算求解能力，属于基础题．
把L=4.8代入L=5+lgV中，直接求解即可．
【解答】解：在L=5+lgV中，L=4.8，
所以4.8=5+lgV，即lgV=−0.2，
解得V=10−0.2=1100.2=1510=11.585≈0.63，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.63．
故选C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数的函数值的求法，考查运算求解能力，是基础题．
根据分段函数的解析式，分别求出f(2)与f(lg212)的值，由此能求出f(2)+f(lg212)．
【解答】
解：∵函数f(x)=lg3(x−1),x<3,2x−1,x≥3,，
∴f(2)=lg3(2−1)=0，lg212>lg28=3，
f(lg212)=2lg212−1=2lg212·2−1=6，
∴f(2)+f(lg212)=0+6=6．
故选A．
6.【答案】A
【解析】略
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性与奇偶性解不等式，属于基础题．
根据奇偶性和单调性的关系将不等式转化为f(|x−1|)>f(3)，|x−1|<3，解不等式即可．
【解答】
解：∵偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递减，f(3)=0，
∴若f(x−1)>0，则等价为f(|x−1|)>f(3)，
即|x−1|<3，得−3
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数的恒成立问题，考查了初等函数的最值问题，属于中档题．
求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答．
【解答】
解：当x∈[−1,2]时，f(x)=(x−1)2−2，则f(x)max=f(−1)=2，
因为对任意的x1∈[−1,2]，都存在x2∈[2,4]，使得f(x1)
而当0
则lga4>2，即1
故选：D．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
举反例可判断命题A、B、C、D的正误．
【解答】解：A.当a=0，b=−1时，a>b，但a2
B.当a=0，b=−1时，a>b，但a2
C.由a>b，若c=0，则ac2=bc2，∴a>b不是ac2>bc2的充分条件，因此不正确；
D.由a>b，若c=0，则ac2=bc2，∴a>b不是ac2>bc2的充分条件，由ac2>bc2⇒a>b，∴a>b是ac2>bc2的必要条件，因此正确．
故选BD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，属于中档题．
利用基本不等式逐个判断即可．
【解答】
解：∵a>0，b>0，a+b=2，
对于A:a2+b2≥(a+b)22=2，当且仅当a=b=1时，取等号，故A正确；
对于B：4a+2b=12a+b(4a+2b)=126+4ba+2ab⩾126+2 4ba·2ab=3+2 2，
当且仅当a=4−2 2,b=2 2−2时，取等号，故B错误；
对于C，2a−b=22−2b<4，故C错误；
对于D:lna+lnb=lnab≤ln(a+b2)2=0，当且仅当a=b=1时，取等号，故D正确．
故选：AD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．
直接由分段函数解析式求f(f( 0))判断A；画出函数f(x)的图象，数形结合判断BCD．
【解答】
解：∵函数f(x)= −x2+2,x≤1x+1x−1,x>1,
对于A，f( 0)=− 0+2= 2，
f(f( 0))=f( 2)= 2+ 12−1= 32，故A正确；
作出函数f(x)的图象如图：
由图可知，B错误；C正确；
对于D，若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，
则b−a的最大值是 2+ 3−(−1)=3+ 3，故D正确．
故选ACD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数新定义问题，属于拔高题．
先又L(u,v)的定义，得到L(u,v)=L(1,v)−L(1,u)，再由题中给出的L(u,v)的性质，对照选项逐一判断即可．
【解答】
解：由于L(u,v)表示曲线y=1x与直线x=u，x=v，x轴围成的曲边梯形的面积，
故L(u,v)=L(1,v)−L(1,u)
从而L(14,12)=L(1,12)−L(1,14)=ln12−ln14
=ln2=ln8−ln4=L(1,8)−L(1,4)=L(4,8)，A正确；
L(2100,3100)=L(1,3100)−L(1,2100)=ln3100−ln2100
=100(ln3−ln2)=100(L(1,3)−L(1,2))=100L(2,3)，B正确；
L(uu,vu)=L(1,vu)−L(1,uu)=lnvu−lnuu=ulnv−ulnu=u(lnv−lnu)
取v=4，u=2，则L(uu,vu)=L(22,42)=2(ln4−ln2)
=2ln2⩽2=4−2=v−u，故C不正确；
2L(u,v)=2L(1,v)−2L(1,u)=2lnv−2lnu=2lnvu，其中vu>1
构造函数f(x)=x−1x−2lnx,x>1，
f′(x)=1+1x2−2x=x2−2x+1x2=(x−1)2x2>0
故f(x)在(1,+∞)单调递增，
又f(1)=1−1=0，故当x∈(1,+∞)时，f(x)>0恒成立，
从而f( vu)>0，即vu−uv−2lnvu>0，
即vu−uv>2lnvu=2L(u,v)，故D正确．
故选ABD．
13.【答案】∃x∈N，2x⩽x+1
【解析】【分析】
本题考查命题的否定、特称命题与全称命题的关系，属于基本知识的考查．
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】
解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
∴命题p的否定为“∃x∈N，2x⩽x+1”．
14.【答案】27
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．
利用y=lga1=0可得定点P，代入幂函数f(x)=xα即可．
【解答】
解：对于函数y=lga(2x−3)+8，令2x−3=1，解得x=2，此时y=8，
因此函数y=lga(2x−3)+8的图象恒过定点P(2,8)．
设幂函数f(x)=xα，∵P在幂函数f(x)的图象上，
∴8=2α，解得α=3．
∴f(x)=x3．
∴f(3)=33=27．
故答案为27．
15.【答案】−3(答案不唯一，落在区间(−4,−3]即可)
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的图象和函数零点、方程的根的个数，属于基础题．
利用分段函数的图象作出直线y=k和函数fx的图象，再利用函数零点、方程的根的个数，结合图象得结论．
【解答】
解：作直线y=k和函数fx的图象如下：
因为函数g(x)=f(x)−k有三个零点，所以直线y=k和函数fx的图象有三个不同的交点，
因此由图象知：k∈−4,−3，所以满足条件的k的一个值为−3．
16.【答案】[0, 3−1]
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查与一元二次不等式恒成立有关的问题，属于中档题．
首先判断fx为奇函数并且在R上单调递增；然后根据9fx=f3x，所以问题转化为不等式fx2+t⩽f3x，即x2+t⩽3x，亦即t⩽3x−x2在x∈[t,t+2]时恒成立，最后构造函数gx=3x−x2=−(x−32)2+94，根据二次函数的性质，通过讨论区间中点与对称轴的相对位置，求出gx的最小值，列出不等式(组)，分别求解，综合即可．
【解答】
解：因为函数fx=xx的定义域为R，并且f−x=−x−x=−xx=−fx，
所以fx为奇函数；
又当x∈[0,+∞)时，fx=x2，这时fx单调递增，所以fx在R上单调递增；
而9fx=f3x，所以由fx2+t⩽9fx，得fx2+t⩽f3x，
于是x2+t⩽3x，即t⩽3x−x2在x∈[t,t+2]时恒成立．
令gx=3x−x2=−(x−32)2+94，根据二次函数的性质知：
当t+t+22⩽32，即t⩽12时，gxmin=gt=3t−t2，
由t⩽12,t⩽3t−t2,解得：0⩽t⩽12;
当t+t+22>32，即t>12时，gxmin=gt+2=3t+2−t+22=−t2−t+2，
由t>12,t⩽−t2−t+2,解得：12
17.【答案】解：若选择①A∩(∁RB)=A，
又因为B={x|x2+3x−28<0}=x|−7
当A=⌀时，a−1>2a+3，即a<−4时，，满足题意；
当A≠⌀时，则a⩾−4，a⩾−42a+3≤−7或a⩾−4a−1⩾4，解得a≥5，
综上可得，实数a的取值范围是(−∞,−4)∪[5，+∞)．
若选择②A∩B=⌀，
则当A=⌀时，即a−1>2a+3，即a<−4时，满足题意，
当A≠⌀时，则a⩾−4时，a⩾−42a+3≤−7或a⩾−4a−1⩾4，解得a≥5，
综上可得，实数a的取值范围是(−∞,−4)∪[5，+∞)．
若选择③A∩B=A，则A⊆B，
当a−1>2a+3，即a<−4时，A=⌀，满足题意；
当A≠⌀时，则a⩾−4时，a−1>−72a+3<4，解得−4⩽a<12；
综上可知，实数a的取值范围是(−∞,12)．
【解析】本题考查了交集、并集、补集的综合运算，涉及了分类讨论思想的应用，解题的关键是掌握集合交集、并集、补集的定义，属于中档题．
分别利用集合的交集、补集、并集的定义对a进行分类讨论，分别求解即可．
18.【答案】解：(1)函数g(x)开口方向向上，对称轴为x=34．
所以g(x)在[2,3]上单调递增，所以g(3)=19g(2)=5
于是9a+1+b=192a+1+b=5
解得a=2，b=0．
(2)由(1)可知g(x)=4x2−6x+1，所以f(x)=4x2−6x+14x−6．
因为x>32，所以4x−6>0．
f(x)=4x2−6x+14x−6=x+14x−6=14(4x−6)+14x−6+32≥2 14(4x−6)⋅14x−6+32=52．
当且仅当14(4x−6)=14x−6>0，即x=2时等号成立．
所以f(x)的最小值为52．
【解析】本题主要考查二次函数性质，基本不等式，属于中档题．
(1)由题意可得g(3)=19g(2)=5，可得a，b；
(2)由题意可得f(x)=4x2−6x+14x−6=14(4x−6)+14x−6+32，利用基本不等式可得f(x)的最小值．
19.【答案】解： (1)当x>0时，−x<0，则f(−x)=12−x−2−x=2x−12x．
又因为f(x)为偶函数，所以当x>0时f(x)=f(−x)=2x−12x．
(2)由(1)可知，当x∈[2,3]时，f(x)=2x−12x．
若存在x∈[2,3]，使得f(x)+m⋅2−x≤4成立，即2x−12x+m2x⩽4成立，即m⩽−22x+4⋅2x+1成立．
令t=2x，因为x∈[2,3]，所以t∈[4,8]，所以−22x+4⋅2x+1=−t2+4t+1．
令y=−t2+4t+1，则其开口方向向下，对称轴为t=2，所以函数y=−t2+4t+1在[4,8]上单调递减．
所以当t=4，即x=2时ymax=1．
于是m⩽1，所以实数m的取值范围是−∞,1．
【解析】略
20.【答案】解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠±12}.
因为∀x∈{x|x≠±12}，都有−x∈{x|x≠±12}，
且f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|=ln|2x−1|−ln|2x+1|=−f(x)．
所以函数f(x)为奇函数．
(2)(i)当x∈(−12,12)时，f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|=ln(2x+1)−ln(1−2x)=ln1+2x1−2x．
f(x)在(−12,12)上单调递增，理由如下：
∀x1，x2∈(−12,12)，且x1
因为−12
所以4(x1−x2)(1−2x1)(1−2x2)<0，
即1+2x11−2x1<1+2x21−2x2．
于是ln1+2x11−2x1
(ii)f(x)是奇函数，不等式等价于f(x)<−f(x)+2ln5，
所以2f(x)<2ln5，即f(x)
所以−12
(1)利用函数奇偶性的定义法即可判断；
(2)(i)当x∈(−12,12)时，f(x)=ln1+2x1−2x，再利用函数单调性的定义法能进行证明；
(ii)f(x)是奇函数，不等式等价于f(x)<−f(x)+2ln5，即2f(x)<2ln5，即f(x)
由t=8时T=100，则8k+20=100，
可得k=10，所以T=10t+20．
②当t>8时，由题意T−Tc=(T0−Tc)·at−8，
则60−20=(100−20)a18−8，可得a=12110，
从而T−20=(100−20)12t−810，即T=8012t−810+20．
综上所述，T=f(t)=10t+20,0⩽t⩽8,80·(12)t−810+20,t>8.
(2)设水从100℃降至50℃需要t分钟，由50−20=(100−20)⋅(12)t10，得
t10⋅(−lg2)=lg38=lg3−3lg2.
从而t=10⋅(3−lg3lg2)≈14.2，即水开后14.2分钟，水温降至50℃．
设水从50℃加热到80℃需要的时间为t1，则t1=80−5010=3．
设水从80℃降至50℃时需要的时间为t2，由50−20=(80−20)⋅(12)t10，得t2=10．
从烧开后到第二次加热需要t+t1+t2=14.2+3+10≈27分钟，所以8点35分时开始第二次加热．
【解析】本题考查分段函数的求解，函数与方程的应用，考查计算能力．属于中档题．
(1)由题意直接利用已知条件求解函数的解析式，
(2)结合指数函数的运算求解即可．
22.【答案】解：(1)法1:g(x)的图象有对称中心(1,−5)，证明如下．
设G(x)=g(x+1)+5，则G(x)=−5(x+1)+15(x+1)−1+5=10x．
因为G(−x)=10−x=−G(x)，所以G(x)为奇函数，由题设结论可知g(x)的图象有对称中心(1,−5)．
法2:设g(x)的图象有对称中心(a,b)，则G(x)=g(x+a)−b=−5x−5a+15x+a−1−b为奇函数．
于是G(x)+G(−x)=0，即(−5x−5a+15x+a−1−b)+(5x−5a+15−x+a−1−b)=0，即
5x+5a−15x+a−1+5x−5a+15x−a+1=−2b，于是(5x+5a−15)(x−a+1)+(5x−5a+15)(x+a−1)(x+a−1)(x−a+1)=−2b，化简可得10x2−10a2+40a−30x2−(a−1)2=−2b.于是10=−2b−10a2+40a−30=2b(a−1)2，解得a=1，b=−5．
所以g(x)的图象有对称中心(1,−5)．
(2)由−5x+15x−1>0得1
ℎ(x)=a⋅2x(1≤a≤5)在R上递增．
①当x<0时，|g(x)|=5(1−2x−1)>5，而ℎ(x)=a⋅2x
④当1
当x0≤x<3时，m(x)>0，ℎ(x)≥|g(x)|，所以f(x)=|g(x)|．
当1
【解析】本题考查了函数的对称性、单调性及函数的值域问题，函数的单调性与奇偶性的综合应用，是困难题．
(1)设f(x)的对称中心为a,b，根据对称性得到关于a,b的方程，解方程即可得解；
(2)根据|g(x)|的取值情况求出f(x)的解析式，分情况讨论，从而可得出答案．
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