2023-2024学年北京房山区高二上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年北京房山区高二上学期期末数学试题及答案，共7页。
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是(1, 3 ) ，则 z 的共轭复数 z 
（A） 1  3 i
1  3 i
（B） 1  3 i
1  3 i
在三棱柱 ABC  A1B1C1 中， D 为棱 B1C1 的中点.设 AB  a, AC  b,
AD 
{a, b, c} 表示向量 AD ，则
AA1  c ，用基底
1 a + 1
22
b + c
a  b  c
1 a  1 b + c（D）  1 a + b+ c
222
两条直线l1 : x  2 y  4  0 与l2 : x  2 y 1  0 之间的距离是
5
（A） 5（B）1（C）
（D） 3 5
5
设直线l 的方向向量为a ，两个不同的平面 ,  的法向量分别为n, m ，则下列说法中错
误的是
（A）若n  m ，则  
若an ，则l  
若nm ，则


若a  n ，则l
如图，四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， AD  2 AB ， PA  平面 ABCD ，下列叙述中错误的是
（A） AB平面 PCD（B） PB  BC
PC  BD
平面 PAD  平面 ABCD
已知 M 为抛物线C : x2  2 p y( p  0) 上一点， M 到C 的焦点 F 的距离为6 ，到 x 轴的距离为 4 ，则 p 
（A） 6（B） 4（C） 2（D）1
下列双曲线中以 y  2x 为渐近线的是
2
（A） x2  y  1
x2
（B）
 y2  1
44
x2
（C） y2  1
y2  x  1
2
34
已知点 A(1, 0) ， B(1, 0) ，若直线 y  kx  2 上存在点 P ，使得APB  90 ，则实数
k 的取值范围是
（A） (,  3]
（B） [ 3, )
（C） [
3, 3]
x2y2
（D） (, 
3] [ 3, )
已知双曲线Q 与椭圆 E :
 1有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，这两
2521
条曲线在第一象限的交点为 P ， △PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，则双曲线Q 的标准方程为
2
（A） x
3
 y2  1
y2
x2
（B）
9
 y2 
1
5
2
（C） x2  1
3
（D） y2  x  1
3
如图，在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， P 为线段 A1C1 的中点， Q 为线段 BC1
上的动点，
则下列结论正确的是
BD
存在点Q ，使得 PQ
存在点Q ，使得 PQ  平面 AB1C1D
三棱锥Q  APD 的体积是定值（D）存在点Q ，使得 PQ 与 AD 所成角为 π
6
第二部分（非选择题 共 100 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
若直线 2x  (1 a) y  a  0 与直线 ax  y  2  0 垂直，则 a 的值为 ．
复数 z  (2  i)2 的实部是 ．
12
已知圆C : x2  ( y 1)2  1, C
: (x 
2  y2  r 2 (r  0) .则圆C 的圆心坐标为 ；
1
若圆C1 与圆C2 内切，则 r  ．
如图，在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，直线 AB1 与直线 D1C1 所成角的大小为 ；平面 ABCD 与平面 ACB1 夹角的余弦值为 ．
已知直线l1 : 3x  y 1  0, l2 : x  y  5  0, l3 : x  ay  3  0 ，则l1 与 l2 的交点坐标为 ；若直线
l1, l2 , l3 不能围成三角形，写出一个符合要求的实数 a 的值 ．
已知曲线W : x2  y2  m , W : x4  y2  m (m  0) ，给出下列四个命题：
12
①曲线W1 关于 x 轴、 y 轴和原点对称；
②当 m  1时，曲线W1,W2 共有四个交点；
③当 m  2 时，曲线W2 围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3 ；
④当0  m  1 时，曲线W1 围成的区域面积大于曲线W2 围成的区域面积．其中所有真命题的序号
是 ．
三、解答题共 5 小题，共 70 分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题 14 分）
已知复数 z 1 2i ．
（Ⅰ）求| z | ；
若 z z，求 z ；
13  4i1
若| z2 | 5 ，且 zz2 是纯虚数，求 z2 .
（18）（本小题 13 分）
已知△ABC 的三个顶点分别为 A(1, 3), B(3,1), C(1, 0) .
设线段 AB 的中点为M ，求中线CM 所在直线的方程；
求 AB 边上的高线的长.
（19）（本小题 13 分）
已知直线l : y  x  2 与抛物线C : y2  8x 相交于 A, B 两点.
写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程；
求弦长 AB .
（20）（本小题 15 分）
如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， △ ADE 是等边三角形，平面 ADE 平面
ABCD ， EFAB ， EF  1, AB  2 ， O 是 AD 的中点．
求证： EO  平面 ABCD ；
求直线 AB 与平面 BCF 所成角的大小；
求三棱锥 E  BCF 的体积.
（21）（本小题 15 分）
2
已知椭圆C : x
a2
y2

b21 (ab0) 的一个焦点为(2 ，0) ，一个顶点为(0, 2) .
求椭圆C 的方程和离心率；
已知直线l 与椭圆C 相切于点 M ，直线l 交 y 轴于点 N ， O 为坐标原点，
| OM || ON | ，求△OMN 的面积.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
C
B
A
D
C
B
一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）
二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）
参考答案
（11） 1
3
(0,1) ; 3（14） 45 ;3
3
（15） (1, 4) ;答案不唯一（只需写出1,  1 , 1 中的一个即可） （16）①②③
2 3
三、解答题（共 5 小题，共 70 分）
（17）（本小题 14 分）
12  (2)2
5
（Ⅰ） | z | =.
z1 2i(1 2i)(3  4i)3  4i  6i + 8i2
5 10i12
（Ⅱ） z1  3  4i  3  4i  (3  4i)(3  4i) 
设 z2  a  bi ，
32  (4i)2
 i .
2555
a2  b2
则| z2 |
，所以 a2  b2  5 ①
5
zz2  (1 2i)(a  bi)  (a  2b)  (b  2a)i ，
因为 zz2 是纯虚数，所以 a  2b  0, b  2a  0 ②
由①②联立，解得
a  2

b  1
a  2

或
b  1.
所以 z2  2  i 或 z2  2  i .
（18）（本小题 13 分）
（Ⅰ）设 M 的坐标为(x , y ) ，则 x
 1  3  2, y
 3 1  2 ，即M (2, 2) .
0 00202
所以 k
 2  0  2 ，

MC2  (1)3
则中线CM 所在直线方程为 y  2 (x 1) ，即2x  3y  2  0 .
3
（Ⅱ）
kAB
 1 3  1 .
3 1
则直线 AB 的方程为 y  3  1(x 1) ，即 x  y  4  0
△ABC 中， AB 边上的高线的长就是点C 到直线 AB 的距离,
| 1 0  4 |
2
所以 h  5 2 .
2
（19）（本小题 13 分）
由抛物线C 的方程可知 p  4 ，抛物线开口向右，
所以 抛物线C 的焦点坐标为(2, 0) ，准线方程为 x  2 .
将 y  x  2 代入 y2  8x ，整理得 x2 12x  4  0 .
设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，则 x1  x2  12, x1x2  4 ，所以
(x  x )2  ( y  y )2
12
12
2(x  x )2
12
AB 
(x  x )2  4x x
12
1 2
 2 
122  4  4
 2 
 16
（20）（本小题 15 分）
3
因为△ ADE 是等边三角形， O 是 AD 的中点，所以 EO  AD ，且 EO .
又平面 ADE 平面 ABCD ，平面 ADE 平面 ABCD  AD ，
所以 EO  平面 ABCD .
记 BC 的中点为Q ，易知 EO, OA, OQ 两两互相垂直，
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O  xyz .
则 A(1, 0, 0), B(1, 2, 0), C(1, 2, 0), E(0, 0, 3), F (0,1, 3) ，
所以 CB  (2, 0, 0), BF  (1, 1, 3), AB  (0, 2, 0) .
设平面 BCF 的一个法向量为 n  (x，y，z) ，
n  CB  0,2x  0,

则所以
n  BF  0.x  y 3z  0.
令 z  1 ，得 y 3 ，此时 n  (0, 3,1) .
AB, n  
AB  n  0  0  2  3  0 1
AB n
2  0  3+1
设直线 AB 与平面 BCF 所成角为 ，则
sin  cs = 3
2
所以直线 AB 与平面 BCF 所成角为  .
3
EF  n
n
设点 E 到平面 BCF 的距离为 h ,
则 h 

= 3 .
0  0 1 3  0 1
0  3 1
2
( 3)2 12
由平面几何知识，易知在直角梯形 EFQO 中QF  2 ，
所以V
 1 Sh  1  1  BC  FQ  h  1  1  2 2 3  3 .

EBCF
3 BCF
3 23 223
（21）（本小题 15 分）
2
由题意可得c  2, b ,
所以 a2  c2  b2  6 .
x2y2
所以椭圆C 的方程为
 1 .
62
2
6
离心率e  c  6 .
a3
易知直线l 斜率存，
设直线l 的方程为 y  kx+m ，代入椭圆方程
(1 3k 2 )x2  6kmx  3m2  6  0 .
因为 直线l 与椭圆C 有唯一交点 M ， 所以  (6km)2  4(1  3k 2 )(3m2  6)  0 .
x2y2

1 ，整理得
62
整理得
m2  6k 2  2  0 .
设 M (x , y ) ，则2x
 6km ，
000
3km
1 3k 2
2
3k 2mm
所以 x0 
1 3k 2
， y0  kx0  m  
1 3k
 m 
.
1 3k 2
因为| OM || ON | ，
所以 (
3km
)2  (
m)2  m2 .
1 3k 2
整理得 k 2  1 .
3
1 3k 2
所以 m2  6k 2  2  4 .
所以 S 1 | ON |  | x
| 1 
3km
23 3  4
 3 .
 1 3

△OMN2
02 1  3k 22
1  3  1
3