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北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.12 正方形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）
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这是一份北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.12 正方形的性质与判定（拓展篇）（专项练习），共61页。试卷主要包含了单选题，正方形重叠部分面积问题，正方形最值问题，平直直角坐标系中的正方形问题，正方形的旋转问题等内容，欢迎下载使用。
类型一、正方形折叠问题
1．如图，正方形ABCD中AB＝6，点E在CD上，且CD＝3DE，将沿AE对折至，延长边EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（ ）个
A．2B．3C．4D．5
2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE交BC于点E，交BO于点F，连接FH，下列结论∶①AD=DF；② 四边形BEHF为菱形；③；④．其中正确的结论有 ( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．如图，正方形纸片的边长为12，点F是上一点，将沿折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点E．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①PB平分∠APG；②PH=AP+CH；③BM=BP，④若BE=，AP=1，则S四边形BEPM=，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
类型二、正方形重叠部分面积问题
5．如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1B．2C．D．4
6．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是( )
A．B．C．1-D．-1
7．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A．cm2B．cm2C． cm2D．（）ncm2
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1和S2，比较S1与S2的大小（ ）
A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．不能确定
类型三、正方形最值问题
9．如图，正方形的周长为24，为对角线上的一个动点，是的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
11．如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
12．如图，矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
类型四、平直直角坐标系中的正方形问题
13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣）B．（，﹣1）C．（﹣1，）D．（﹣，1）
14．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（ ）
A．6B．5C．4D．3
15．如图①，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y=x-1沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m（米），平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，点E为对角线的交点，点F与点E关于y轴对称，则点F的坐标为（ ）
A．B．C．D．
类型五、正方形的旋转问题
17．已知正方形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边OB上一点，且点M的坐标为（a，b）．将正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转2022秒后，点M的坐标为（ ）
A．（b，a）B．（-a，b）C．（-b，a）D．（-a，-b）
18．如图，正方形OABC中，点，点D为AB边上一个动点，连接CD，点P为CD的中点，绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB的延长线上时，点D的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，4），（4，0），将线段AB绕点B顺时针旋转60°至BC的位置，点A的对应点为点C，则点C的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
20．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以点C为旋转中心，把△CDB逆时针旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（－2，0）B．（2，10）C．（3，10）D．（－5，7）
二、填空题
类型一、正方形折叠问题
21．如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为______．
22．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝8，则折痕GH的长度为________．
23．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC，DH，DF，若AB=3，BE=1，则DH=_________．
24．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为边AB上一点且AE长为1，P为射线BC上一点．把△EBP沿EP折叠，点B落在点处．若点到直线AD的距离为3，则BP长为______．
类型二、正方形重叠部分面积问题
25．如图，正方形的对角线、相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．设两个正方形重合部分的面积为，正方形的面积为，通过探索，我们发现：无论正方形绕点怎样转动，始终有______．
26．如图，正方形的对角线交于点，点是正方形的一个顶点，正方形和正方形的边长分别为和，两个正方形重叠的面积是_________．
27．如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm2．
28．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）．
类型三、正方形最值问题
29．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是______．
30．如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______．
31．如图，正方形ABCD的边长为cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以0.5cm/s的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为______cm．
32．在正方形ABCD中，，点E、F分别为AD、AB上一点，且，连接BE、CF，则的最小值是______．
类型四、平直直角坐标系中的正方形问题
33．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标为，顶点的横坐标为，点是的中点，则侧_________．
34．将正方形AOCB和正方形A1CC1B1按如图所示方式放置，点A（0，1）和点A1在直线y＝x+1上，点C和点C1在x轴上，若平移直线y＝x+1至经过点B1，则直线向右平移的距离为 ___．
35．在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标是________．
36．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2022的坐标为_____________．
类型五、正方形的旋转问题
37．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________．
38．如图，正方形的边长为2，将正方形绕点O顺时针旋转得到正方形，连接，当点恰好落在直线上时，线段的长度是______
39．如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线AC上的一个动点，点E是BC中点，连接PE，并将PE绕点P逆时针旋转120°得到PF，连接EF，则EF的最小值是_________．
40．如图，正方形ABCD和Rt△CEF，AB＝10，CE＝CF＝6，连接BF，DE，在△CEF绕点C旋转过程中，当∠CDE最大时，S△BCF＝___．
三、解答题
41．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H．
(1)求证：△HCE是等腰三角形．
(2)若，求HD的长度．
42．一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设．
（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______．
（2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______．
（3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证．
43．如图，正方形ABCD中，点E是边AD上的动点（不与点A，D重合），连结BE，CE．
(1)试问是否存在某个点E使EB平分∠AEC？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△BEC周长的最小值为4，求此时AE的长．
参考答案
1．B
【分析】
先根据正方形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后利用直角三角形全等的判定定理即可判断①；先根据全等三角形的性质可得，设，则，再在中，利用勾股定理求出的值，由此即可判断②；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，根据平角的定义可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可判断③；根据线段的长度可得，再根据三角形的面积公式可得，由此即可判断④；根据线段的长度分别求出和的值，由此即可判断⑤．
解：四边形是正方形，且，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
在和中，，
，结论①正确；
，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
，结论②正确；
，
，
又，
，
，结论③正确；
，
，
，
，
，结论④错误；
，
，
，
，结论⑤错误；
综上，正确结论的个数是3个，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题关键．
2．A
【分析】
①利用折叠的性质得出，进而得出，利用三角形内角和得出，从而证明；②根据折叠得出，，只要再证明就能得出BEHF是菱形；③由题意得，根据角度得到为等腰直角三角形，得出与的数量关系，以及与的数量关系，最后根据等量关系进行比例化简即可；④利用角平分线的性质得出，再利用三角形面积公式得出．
解：①∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
故①正确；
②∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形BEHF是菱形，故②正确；
③∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，
∴，
∴
故④正确；
综上所述①②③④正确；
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、折叠的性质，勾股定理等等，解题的关键是根据折叠的性质得出边角相等．
3．C
【分析】
由“ASA”可证△ADE≌△DCF，可得AE=DF=5，进而利用三角形的面积公式可求DO的长，即可求解．
解：设CF与DE交于点O，
将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，
GO=DO， CF⊥DG，
四边形ABCD是正方形，
AD=CD，∠A=∠ADC=90°=∠FOD， ，
∠CFD+∠FCD=90°=∠CFD+∠ADE，
∠ADE=∠FCD，
在△ADE和△DCF中，
( ASA )，
AE=DF=5，
AE=5， AD=12，
DE=，
CF⊥DG， ，
，
，
DO==GO，
EG=
故答案为：C
【点拨】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明△ADE≌△DCF是解题的关键．
4．B
【分析】
根据折叠的性质，，，从而得到，根据直角三角形两锐角互余，得到，即可判定①；过点B作BQ⊥PH，利用全等三角形的判定与性质，得到，，即可判定②；通过证明为等腰直角三角形，即可判定③；根据求得对应三角形的面积，即可判定④．
解：由题意可得：，，
∴，，
∴，
由题意可得：，
∴，
∴PB平分∠APG；①正确；
过点B作BQ⊥PH，如下图：
∴
在和中，
∴
∴
∵四边形ABCD为正方形
∴，
又∵
∴，
∴
∴，②正确；
由折叠的性质可得：EF是PB的中垂线，
∴
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
∴BM=BP，③正确；
若BE=，AP=1，则，
在中，
∴，，
∴，
∴，
，④错误，
故选B，
【点拨】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
5．B
【分析】
连接，，易证，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．
解：连接，，如图所示：
三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点，
，，
，
四边形是正方形，
，
在和中
，
两个正方形阴影部分的面积，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，
．
故选：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的综合，把阴影部分进行合理转移，得出两个正方形阴影部分的面积是正方形面积的是解决本题的难点．
6．D
【分析】
根据旋转的性质及正方形的性质分别求得与的面积，从而不难求得重叠部分的面积.
解：绕顶点顺时针旋转，
，
，
，
，
，
，
正方形重叠部分的面积是.
故选：.
【点拨】本题综合考查了三角形的面积求法、正方形的性质、旋转的性质等知识点的应用，主要培养学生综合运用性质进行推理的能力.
7．B
【分析】
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．
解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）=cm2．
故选：B．
【点拨】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
8．C
解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ANH和△HDG都为等腰直角三角形，
∴AN=NH，DH=DG，∠ANH=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°=，即AH=NH，同理可得：NH=HG=GD，
∴AH=NH=2HD，又AD=AH+HD=6，
∴HD==2，
∴HG2=22+22，即HG=2；
∴S1的面积为HG2=8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MB，
∴M为AB的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3=9，
∴S1＜S2．
故选C．
9．A
【分析】
由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果；
解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.
∵正方形的周长为24
∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=6，CE=CD=3，
∴.
故选A.
【点拨】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键
10．A
【分析】
过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，
∵AP′=P′D’，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=4，
∴P′D′=，
即DQ+PQ的最小值为，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
11．D
【分析】
连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
解：连接AC，作
∵是正方形且边长为4，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，∴，解得：，
设，则，
∵，∴，解得：
∴，
故选：D
【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG．
12．B
【分析】
作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，证得DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F、P、D′四点共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′-EF即可得出结果．
解：作点关于的对称点，连接，，如图所示：
矩形中，，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是定值，
当、、、四点共线时，定值最小，最小值，
的最小值为，
故选：B
【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．
13．D
【分析】
首先作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，利用“一线三垂直”模型证明≅，即可求出点C的坐标．
解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC=∠ADO=90°，
∴∠COE+∠ECO=90°，
∵A的坐标为（1，），
∴AD=，OD=1，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∴∠AOD=∠OCE，
在和中，
∵
∴≅（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴C（-，1），
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形的综合以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的性质，证出全等三角形是解题的关键．
14．B
【分析】
过点作轴于点，则点到轴的距离为，通过证明得到，利用点，的坐标可求，的长，则结论可求．
解：过点作轴于点，如图，
则点到轴的距离为．
点的坐标为，点的坐标为，
，．
轴，
．
．
四边形是正方形，
，．
．
．
在和中，
，
．
．
．
点到轴的距离是5．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了图形的坐标与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
15．B
【分析】
连接AC，根据直线与坐标轴的交点得出直线与AC平行，因此当直线向上平移到A点时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大b=AC，由图②可知此时a=5，由速度求出AB的长再根据勾股定理即可解答；
解：如图连接AC，
由y=x-1可得，当x=0时，y=-1，当y=0时，x=1，
∴直线与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，
∴直线与x轴的夹角是45°，
∵正方形ABCD中，AD∥BC∥x轴，∠ACB=45°，
∴直线l与AC平行，
∴当直线向上平移到A点时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大b=AC，
由图②可知，当a=5时，直线平移到A点，
∴AB=1×5=5米
∴b=AC=米，
故选： B．
【点拨】本题考查了一次函数的平移，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，根据题意弄懂图象所表达的含义是解题关键．
16．D
【分析】
过点D作DH⊥y轴于H，根据正方形的性质得到AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，根据余角的性质得到∠ADH＝∠BAO，根据全等三角形的性质得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，求得E（3，3），于是得到答案．
解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
过D作DH⊥y轴于H，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，
∵∠AHD＝∠AOB＝90°，
∴∠DAH+∠AHD＝∠AHD+∠BAO＝90°，
∴∠ADH＝∠BAO，
∴△ADH≌△BAO（AAS），
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，
∴OH＝6，
∴D（2，6），
∵点E是BD的中点，点B的坐标为（4，0），
∴点E的坐标是（，）,
∴E（3，3），
∵点F与点E关于y轴对称，
点F的坐标为（﹣3，3），
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关于y轴对称的点的坐标，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．C
【分析】
先确定此时点M对应的位置即点所在的位置，如图，过点M，分别作ME⊥x轴于点E，⊥x轴于点F，证明，得到，由此求解即可．
解：∵正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，
∴旋转8秒恰好旋转360°．
∵2022÷8=252……6，
∴旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次．
∵6×45°=270°，
∴此时点M对应的位置即点所在的位置，
如图，过点M，分别作ME⊥x轴于点E，⊥x轴于点F，
∴，
∴∠EOM+∠EMO=90°，
∵四边形OBCD是正方形，
∴∠BOD=90°，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，
∵点M的坐标为（a，b），
∴，
又点在第二象限，
∴旋转2022秒后，点M的坐标为（﹣b，a）．
故选C．
【点拨】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2022秒后点M的位置是解题的关键．
18．C
【分析】
如图，过作，交轴于点 过作轴于 过作平行于轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，证明设再求解Q的坐标，再代入直线OB的解析式即可．
解：如图，过作，交轴于点 过作轴于 过作平行于轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，
正方形OABC中，点，
设 而点P为CD的中点，
设OB的解析式为 而
解得：
OB的解析式为：
解得：
故选C
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正比例函数的性质，正方形的性质，求解是解本题的关键．
19．B
【分析】
过点C作轴于点D，作轴于点E，连接AC，OC．设AB与OC交于点F．由题意易证为等边三角形，从而易证，得出，进而可知矩形ODCE为正方形，结合题意可得出， 即证明，得出，，从而可求出，，进而可求出，最后即可求出，即得出C点坐标．
解：如图，过点C作轴于点D，作轴于点E，连接AC，OC．设AB与OC交于点F．
由题意可知，，
∴为等边三角形，
∴．
由所作辅助线可知四边形ODCE为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴矩形ODCE为正方形，
∴，．
∵点A，B的坐标分别为（0，4），（4，0），
∴．
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴C(，)．
故选B．
【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质以及勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
20．B
【分析】
画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知B′D′和B′C的长，由此判断点D′的坐标．
解：如图，△CDB绕点C逆时针旋转90°后得△CD′B′，
∴B′D′=BD，B′C=BC，
∵四边形OABC是正方形，D（5，3），
∴BC=5，BD=2，
∴B′O=B′C+CO=10，B′D′=2，
∴点D′的的坐标为（2，10）．
故选：B．
【点拨】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21．
【分析】
过点G作GH⊥AD于H，根据翻折变换的性质可得GF⊥AE，然后求出∠GFH=∠D，再利用“角角边”证明△ADE和△GHF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=AE，再利用勾股定理列式求出AE，从而得解．
解：如图，过点G作GH⊥AD于H，则四边形ABGH中，HG=AB，
由翻折变换的性质得GF⊥AE，
∵∠AFG+∠DAE=90°，∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AFG=∠AED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∴HG=AD，
在△ADE和△GHF中，
，
∴△ADE≌△GHF（AAS），
∴GF=AE，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CD=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE，
∴GF的长为2．
故答案为：．
【点拨】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
22．
【分析】
连接CE，过点G作GJ⊥CD于J，根据正方形和折叠的性质得到条件，证明△EFC≌△GJH，得到EC=GH，再根据正方形的性质和勾股定理，结合AD=8即可求出结果．
解：连接CE，过点G作GJ⊥CD于J，设EC和GH交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠B=∠BCD=90°，
∴四边形BCJG为矩形，
∴GJ=BC=EF，
由折叠可得：E，C关于GH对称，
∴EC⊥GH，AB=EF=CD，
∴∠OHC+∠OCH=90°，
又∠OCH+∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠GHJ，
在△EFC和△GJH中，
，
∴△EFC≌△GJH（AAS），
∴EC=GH，
∵AD=8，
∴EF=8，CF=4，
∴GH=CE==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．
【分析】
由折叠的性质得出∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称，证出∠EAH=∠BAD=∠GHA=45°，设DF交AH于点N，由折叠性质可知AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH，得出∠DHF=90°，连接BD，证明△ABE≌△BCM，得出BE=CM，根据三角形BDM的面积可求出答案．
解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，
∴∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称，
∴AG⊥BF，
∴∠AGF=90°，
∵AH平分∠DAF，
∴∠FAH=∠FAD，
∴∠EAH=∠GAF+∠FAH=∠BAF+∠FAD=（∠BAF+∠FAD）=∠BAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAH=∠BAD=45°，
∴△AGH是等腰三角形，
∴∠EAH=∠GHA=45°，
如图，设DF交AH于点N，
∵AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH，
∴AH⊥DF，FN=DN，
∴DH=HF，∠FNH=∠DNH=90°，
又∵∠GHA=45°，
∴∠NFH=45°=∠NDH=∠DHN，
∴∠DHF=90°，
连接BD，
由折叠可知AE⊥BF，
∴∠ABG+∠CBM=90°，∠ABG+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBM，
∴Rt△ABE≌Rt△BCM，
∴BE=CM=1，AE=BM，
∴DM=2，
∴S△BDM=DM•BC=3，
∵AE2=AB2+BE2，
∴，
∴AE=BM=，
S△BDM=BM•DH=3，
∴DH=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．或15
【分析】
过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，进而得出四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形．再分两种情况进行讨论：①如图1，若点B'在AD下方；②如图2，若点B'在AD上方，分别根据Rt△PB'N中，B'P2=PN2+B'N2，即可得到BP的值．
解：过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，
∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABNM是矩形
同理可得：四边形AEHM是矩形．
①如图：
若点B'在AD下方，则B'M=3cm，B'N=3cm，
∵MH=AE=1（cm），
∴B'H=2（cm），
由折叠可得，EB'=EB=5（cm），
∴Rt△EB'H中，EH=cm，
∴BN=AM=EH=cm，
设BP=t cm，
∴PB'=t cm，PN=（-t）cm，
∵Rt△PB'N中，B'P2=PN2+B'N2，
∴t2=（-t）2+32，
解得：t=；
②如图：
若点B'在AD上方，则B'M=3cm，B'N=9cm，
同理可得，EH=3cm，
设BP=t cm，
∴B'P=t cm，PN=（t-3）cm，
∵Rt△PB'N中，B'P2=PN2+B'N2，
∴t2=（t-3）2+92，
解得：t=15．
综上所述，BP的值为或15．
【点拨】本题主要考查了折叠问题，勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
25．
【分析】
由正方形性质可证△AOE≌△BOF（ASA）由S四边形EOFB=S△EOB+S△BOF= S△EOB+S△AOE=S△AOB即可．
解：∵正方形的对角线、相交于点，
∴OA=OB，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，
又∵点又是正方形的一个顶点，
∴∠A1OC1=90°，
∴∠AOE+∠EOB=∠EOB+∠BOF=90°，
∴∠AOE =∠FOB，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S1=S四边形EOFB=S△EOB+S△BOF= S△EOB+S△AOE=S△AOB=．
故答案为．
【点拨】本题考查正方形的性质，三角形全等判定，四边形面积转化为三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定，四边形面积转化为三角形面积是解题关键．
26．
【分析】
根据题意得出△AMO≌△BNO（ASA），则两个正方形重叠的面积等于△ABO的面积＝S正方形ABCD，进而得出答案．
解：∵四边形ABCD和四边形EFGO都是正方形，
∴∠2＝∠5＝45°，∠1+∠3＝∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，
∴在△AMO和△BNO中
，
∴△AMO≌△BNO（ASA），
∴两个正方形重叠的面积等于△ABO的面积＝S正方形ABCD＝1．
故答案为：1cm2．
【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△AMO≌△BNO是解题关键．
27．
解：如下图，过点O作OE⊥GH于点E，OF⊥HM于点F，
由已知条件易得∠EOF=∠GOM=90°，OE=OF，∠OEG=∠OFM=90°，
∴∠EOG=∠FOM，
∴△EOG≌△FOM，
∴S四边形OGHM=S正方形OEHF=，
∵n个相同的正方形会形成（n-1）个阴影部分，
∴n个相同的正方形形成的阴影部分的面积之和为：.
故答案为：.
【点拨】将一个直角的顶点放到正方形对角线的交点处，则这个直角和正方形重叠部分的面积是正方形面积的四分之一.
28．
【分析】
如图，连接AE、AF，先证明△GAE≌△HAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案．
解：如图，连接AE、AF，
∵点A为大正方形的中心，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG=∠GEF－∠AEF=45°，
∴∠AEG=∠AFE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=∠EAF=90°，
∴∠GAE=∠HAF，
在△GAE与△HAF 中，
∴△GAE≌△HAF（ASA），
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴同理可得：，
即，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键．
29．
【分析】
根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠DCF，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DCG=∠DAG，从而得到∠ABE=∠DAG，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH= AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DCG=∠DAG，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO= AB=2，
在Rt△AOD中，，
根据三角形的三边关系，OH+DH>OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值=OD-OH=．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
30．
【分析】
延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OC，可证得四边形AOEH是平行四边形，OE=AH，可得当点E、点G在OC上时，最小，即最小，再根据勾股定理即可求得．
解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG，
，，
，
又，
四边形AOEH是平行四边形，
，
当点E、点G在OC上时，最小，即最小，
，
，
，
，
故的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形及正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．
31．
【分析】
连接BD，交EF于点O．取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
解：连接BD，交EF于点O．取OB中点M，连接 MA，MG，
在正方形ABCD中，AB=CD，，
，
，
，
，
在中，
在中，，
连接AC，则于点O，
在中，，
，
AG≥AM-MG=，
当A，M，G三点共线时，AG最小=cm，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．
32．
【分析】
如图所示，作D关于直线AB的对称点，连接，先证明△ABE≌△ADF得到BE=DF，则，从而推出当C、F、三点共线时，有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为，由此求解即可．
解：如图所示，作D关于直线AB的对称点，连接，
∴，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠ADC=90°，
又∵∠FAD=∠EAB，AF=AE，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，
∴，
∴，
∴当C、F、三点共线时，有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为，
在Rt△中，，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
33．
【分析】
作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，首先根据题意证明出，然后利用勾股定理求出AD的长度，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
解：如图所示，作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，
∵BF⊥AF，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
由题意可得，四边形DOAH和四边形OGFA都是矩形，
∵正方形的顶点坐标为，
∴DH=GF=OA=3，
∵顶点的横坐标为，
∴，
∴BF=BG+GF=4，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，，
∴．
故答案为：．
【点拨】此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定定理．
34．2
【分析】
先求出点C的坐标为（1，0），从而求出点A1的坐标为（1，2），得到A1C＝2，再由四边形A1CC1B1为正方形，点C，C1在x轴上，得到A1B1＝A1C＝2，A1B1∥x轴，由此即可得到答案．
解：∵四边形AOCB为正方形，点A（0，1），
∴OC＝OA＝1．
∴点C的坐标为（1，0）
又∵四边形A1CC1B1是正方形，
∴点A1的横坐标为1，
∵点A1在直线y＝x+1上，
∴点A1的坐标为（1，2），
∴A1C＝2．
又∵四边形A1CC1B1为正方形，点C，C1在x轴上，
∴A1B1＝A1C＝2，A1B1∥x轴，
∴若平移直线y＝x+1经过点B1，则直线y＝x+1向右平移2个单位长度．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像平移问题，正方形的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
35．
【分析】
先求出AB，再利用正方形的性质确定C点坐标，由于2020=4×505，所以第2020次旋转结束时，正方形ABCD回到初始位置，再旋转2次，得出C的坐标便是答案值．
解：∵A(4，3)，B(4，-3)，
∴AB=3-(-3)=6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB=6，
∴C(10，-3)，
∵△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，
∴每4次一个循环，
∵2022=4×505+2，
∴第2020次旋转结束时，正方形ABCD回到初始位置，从初始位置再旋转两次，就到第2022次旋转到的位置，
∴点C的坐标为(-10，3)．
故答案为：(-10，3)．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转，正方形的性质，解答本题的关键是找出C点坐标变化的规律．
36．
【分析】
首先求出B1、B2、B4、B8的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2022的坐标，从而确定其纵坐标．
解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=2，
∴B2点坐标为（-2，2），
同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），
B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），
B6（8，-8），B7（16，0），
B8（16，16），B9（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2022＝8×252+6，
∴B2022（21011，﹣21011）．
故答案为：（21011，﹣21011）．
【点拨】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
37．
解：如图所示，连接EG，
由旋转可知△ABF≌△ADE，
∴DE=BF，AE=AF，
∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG=FG，
设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=BF+BG=8-x，
∵∠C=90°，
∴CE2+CG2=EG2
即x2+22=(8−x)2
解得x=，
∴CE的长为，
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定理列方程.
38．或
【分析】
分当点恰好落在线段的延长线上时，当点恰好落在线段上时，两种情况讨论求解即可．
解：如图1所示，当点恰好落在线段的延长线上时，连接OB，过点O作于E，
∴，
∵四边形OABC和四边形都是正方形，
∴，
∴
∴，
∴；
如图2所示，当点恰好落在线段上时，连接OB，过点O作于E，
同理可求出 ，
∴；
综上所述，或，
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，正确画出图形作出辅助线是解题的关键．
39．##
【分析】
当EP⊥AC时，EF有最小值，过点P作PM⊥EF于点M，由直角三角形的性质求出PE的长，由旋转的性质得出PE=PF，∠EPF=120°，求出PM的长，则可得出答案．
解：如图，当EP⊥AC时，EF有最小值，
过点P作PM⊥EF于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∵E为BC的中点，BC=1，
∴CE=，
∴PE=CE=，
∵将PE绕点P逆时针旋转120°得到PF，
∴PE=PF，∠EPF=120°，
∴∠PEF=30°，
∴PM=PE=
由勾股定理得EM=，
∴EF=2EM=，
∴EF的最小值是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
40．24
【分析】
由题意可得点E在以C为圆心，6为半径的圆上，则当DE为此圆的切线时，∠CDE最大，即DE⊥CE，由“AAS”可证△BCH≌△DCE，可得BH＝DE＝8，即可求解．
解：如图，作BH⊥CF于H，
在△CEF绕点C旋转过程中，点E在以C为圆心，6为半径的圆上，
∴当DE为此圆的切线时，∠CDE最大，即DE⊥CE，
∴∠DEC＝90°，
∴8，
∵∠ECH＝∠DCB＝90°，
∴∠DCE＝∠BCH，
在△BCH和△DCE中，
，
∴△BCH≌△DCE（AAS），
∴BH＝DE＝8，
∴S△BCF6×8＝24，
故答案为：24．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
41．(1)见分析 (2)
【分析】
（1）由折叠的性质得，再根据平行线的性质可得，即可求证；
（2）根据折叠的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求解即可．
(1)
证明：由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴△HCE是等腰三角形
(2)
解：∵正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，
由折叠的性质得，，
在Rt△CGH中，设，则
∴，
解得，
∴
【点拨】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活利用相关性质进行求解．
42．（1），（2），（3），验证见分析．
【分析】
（1）如图（1）中，由题目已知条件可得,，根据勾股定理即可得到的值，再根据是的中点，得出，即可求出重叠部分的面积；
（2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形，边长为，面积为；
（3）如图（3）中，过点M作、的垂线、，垂足为、，求得≌，则阴影部分的面积等于正方形的面积．
解：（1）如图（1）中，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴=，
∵，
∴，
∴重叠部分的面积为：
（2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形，
∴边长为：，
∴面积为：
（3）如图（4），过点分别作，的垂线、，垂足分别为、，
∵是斜边的中点，，
∴，，
∴，
∵，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴阴影部分的面积等于正方形的面积，
∵正方形的面积是，
∴阴影部分的面积是．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
43．(1)不存在，理由见分析； (2)
【分析】
（1）先假设EB平分∠AEC，可以得到BC＝EC，与题中条件相矛盾，由此可以得到EB不会平分∠AEC；
（2）作点C关于AD的对称点M， 连结BM交AD于N，由可以得到当B、E、M三点共线时，此时的△BEC周长最小，先求出正方形的边长，进而就可以求出AE的值．
(1)
解：EB不会平分∠AEC，
理由：正方形ABCD中，
∵DC//AB，
∴∠AEB＝∠EBC，
若EB平分∠AEC，
则∠AEB＝∠BEC，
可得∠EBC＝∠BEC，
∴BC＝EC，
而BC＝CD＜EC，两者矛盾，
∴EB不会平分∠AEC；
(2)
作点C关于AD的对称点M，连结BM交AD于N，
，
要使△BEC周长的最小，也就是要的和最小，
∵BC为定值，
∴只需的和最小即可，即的和最小，
，
∴当B、E、M三点共线时，（即图中点E与点N重合），
此时的和最小，
此时△BEC周长的最小值＝BM＋BC，
设BC＝x，则CM＝2x，
∵BM2＝BC2＋CM2，
∴BM＝，
∴，
∴，即正方形的边长为，
，
，
∴＝＝，
∴此时的．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，其中，正确添加辅助线，得到当B、E、M三点共线时，此时的△BEC周长最小是解题的关键．
类型一、正方形折叠问题
1．如图，正方形ABCD中AB＝6，点E在CD上，且CD＝3DE，将沿AE对折至，延长边EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（ ）个
A．2B．3C．4D．5
2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE交BC于点E，交BO于点F，连接FH，下列结论∶①AD=DF；② 四边形BEHF为菱形；③；④．其中正确的结论有 ( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．如图，正方形纸片的边长为12，点F是上一点，将沿折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点E．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①PB平分∠APG；②PH=AP+CH；③BM=BP，④若BE=，AP=1，则S四边形BEPM=，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
类型二、正方形重叠部分面积问题
5．如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1B．2C．D．4
6．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是( )
A．B．C．1-D．-1
7．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A．cm2B．cm2C． cm2D．（）ncm2
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1和S2，比较S1与S2的大小（ ）
A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．不能确定
类型三、正方形最值问题
9．如图，正方形的周长为24，为对角线上的一个动点，是的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
11．如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
12．如图，矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
类型四、平直直角坐标系中的正方形问题
13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣）B．（，﹣1）C．（﹣1，）D．（﹣，1）
14．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（ ）
A．6B．5C．4D．3
15．如图①，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y=x-1沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m（米），平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，点E为对角线的交点，点F与点E关于y轴对称，则点F的坐标为（ ）
A．B．C．D．
类型五、正方形的旋转问题
17．已知正方形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边OB上一点，且点M的坐标为（a，b）．将正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转2022秒后，点M的坐标为（ ）
A．（b，a）B．（-a，b）C．（-b，a）D．（-a，-b）
18．如图，正方形OABC中，点，点D为AB边上一个动点，连接CD，点P为CD的中点，绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB的延长线上时，点D的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，4），（4，0），将线段AB绕点B顺时针旋转60°至BC的位置，点A的对应点为点C，则点C的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
20．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以点C为旋转中心，把△CDB逆时针旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（－2，0）B．（2，10）C．（3，10）D．（－5，7）
二、填空题
类型一、正方形折叠问题
21．如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为______．
22．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝8，则折痕GH的长度为________．
23．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC，DH，DF，若AB=3，BE=1，则DH=_________．
24．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为边AB上一点且AE长为1，P为射线BC上一点．把△EBP沿EP折叠，点B落在点处．若点到直线AD的距离为3，则BP长为______．
类型二、正方形重叠部分面积问题
25．如图，正方形的对角线、相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．设两个正方形重合部分的面积为，正方形的面积为，通过探索，我们发现：无论正方形绕点怎样转动，始终有______．
26．如图，正方形的对角线交于点，点是正方形的一个顶点，正方形和正方形的边长分别为和，两个正方形重叠的面积是_________．
27．如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm2．
28．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）．
类型三、正方形最值问题
29．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是______．
30．如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______．
31．如图，正方形ABCD的边长为cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以0.5cm/s的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为______cm．
32．在正方形ABCD中，，点E、F分别为AD、AB上一点，且，连接BE、CF，则的最小值是______．
类型四、平直直角坐标系中的正方形问题
33．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标为，顶点的横坐标为，点是的中点，则侧_________．
34．将正方形AOCB和正方形A1CC1B1按如图所示方式放置，点A（0，1）和点A1在直线y＝x+1上，点C和点C1在x轴上，若平移直线y＝x+1至经过点B1，则直线向右平移的距离为 ___．
35．在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标是________．
36．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2022的坐标为_____________．
类型五、正方形的旋转问题
37．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________．
38．如图，正方形的边长为2，将正方形绕点O顺时针旋转得到正方形，连接，当点恰好落在直线上时，线段的长度是______
39．如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线AC上的一个动点，点E是BC中点，连接PE，并将PE绕点P逆时针旋转120°得到PF，连接EF，则EF的最小值是_________．
40．如图，正方形ABCD和Rt△CEF，AB＝10，CE＝CF＝6，连接BF，DE，在△CEF绕点C旋转过程中，当∠CDE最大时，S△BCF＝___．
三、解答题
41．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H．
(1)求证：△HCE是等腰三角形．
(2)若，求HD的长度．
42．一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设．
（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______．
（2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______．
（3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证．
43．如图，正方形ABCD中，点E是边AD上的动点（不与点A，D重合），连结BE，CE．
(1)试问是否存在某个点E使EB平分∠AEC？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△BEC周长的最小值为4，求此时AE的长．
参考答案
1．B
【分析】
先根据正方形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后利用直角三角形全等的判定定理即可判断①；先根据全等三角形的性质可得，设，则，再在中，利用勾股定理求出的值，由此即可判断②；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，根据平角的定义可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可判断③；根据线段的长度可得，再根据三角形的面积公式可得，由此即可判断④；根据线段的长度分别求出和的值，由此即可判断⑤．
解：四边形是正方形，且，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
在和中，，
，结论①正确；
，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
，结论②正确；
，
，
又，
，
，结论③正确；
，
，
，
，
，结论④错误；
，
，
，
，结论⑤错误；
综上，正确结论的个数是3个，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题关键．
2．A
【分析】
①利用折叠的性质得出，进而得出，利用三角形内角和得出，从而证明；②根据折叠得出，，只要再证明就能得出BEHF是菱形；③由题意得，根据角度得到为等腰直角三角形，得出与的数量关系，以及与的数量关系，最后根据等量关系进行比例化简即可；④利用角平分线的性质得出，再利用三角形面积公式得出．
解：①∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
故①正确；
②∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形BEHF是菱形，故②正确；
③∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴，
∴，
∴
故④正确；
综上所述①②③④正确；
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、折叠的性质，勾股定理等等，解题的关键是根据折叠的性质得出边角相等．
3．C
【分析】
由“ASA”可证△ADE≌△DCF，可得AE=DF=5，进而利用三角形的面积公式可求DO的长，即可求解．
解：设CF与DE交于点O，
将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，
GO=DO， CF⊥DG，
四边形ABCD是正方形，
AD=CD，∠A=∠ADC=90°=∠FOD， ，
∠CFD+∠FCD=90°=∠CFD+∠ADE，
∠ADE=∠FCD，
在△ADE和△DCF中，
( ASA )，
AE=DF=5，
AE=5， AD=12，
DE=，
CF⊥DG， ，
，
，
DO==GO，
EG=
故答案为：C
【点拨】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明△ADE≌△DCF是解题的关键．
4．B
【分析】
根据折叠的性质，，，从而得到，根据直角三角形两锐角互余，得到，即可判定①；过点B作BQ⊥PH，利用全等三角形的判定与性质，得到，，即可判定②；通过证明为等腰直角三角形，即可判定③；根据求得对应三角形的面积，即可判定④．
解：由题意可得：，，
∴，，
∴，
由题意可得：，
∴，
∴PB平分∠APG；①正确；
过点B作BQ⊥PH，如下图：
∴
在和中，
∴
∴
∵四边形ABCD为正方形
∴，
又∵
∴，
∴
∴，②正确；
由折叠的性质可得：EF是PB的中垂线，
∴
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
∴BM=BP，③正确；
若BE=，AP=1，则，
在中，
∴，，
∴，
∴，
，④错误，
故选B，
【点拨】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
5．B
【分析】
连接，，易证，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．
解：连接，，如图所示：
三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点，
，，
，
四边形是正方形，
，
在和中
，
两个正方形阴影部分的面积，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，
．
故选：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的综合，把阴影部分进行合理转移，得出两个正方形阴影部分的面积是正方形面积的是解决本题的难点．
6．D
【分析】
根据旋转的性质及正方形的性质分别求得与的面积，从而不难求得重叠部分的面积.
解：绕顶点顺时针旋转，
，
，
，
，
，
，
正方形重叠部分的面积是.
故选：.
【点拨】本题综合考查了三角形的面积求法、正方形的性质、旋转的性质等知识点的应用，主要培养学生综合运用性质进行推理的能力.
7．B
【分析】
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．
解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）=cm2．
故选：B．
【点拨】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
8．C
解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ANH和△HDG都为等腰直角三角形，
∴AN=NH，DH=DG，∠ANH=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°=，即AH=NH，同理可得：NH=HG=GD，
∴AH=NH=2HD，又AD=AH+HD=6，
∴HD==2，
∴HG2=22+22，即HG=2；
∴S1的面积为HG2=8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MB，
∴M为AB的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3=9，
∴S1＜S2．
故选C．
9．A
【分析】
由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果；
解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.
∵正方形的周长为24
∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=6，CE=CD=3，
∴.
故选A.
【点拨】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键
10．A
【分析】
过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，
∵AP′=P′D’，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=4，
∴P′D′=，
即DQ+PQ的最小值为，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
11．D
【分析】
连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
解：连接AC，作
∵是正方形且边长为4，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，∴，解得：，
设，则，
∵，∴，解得：
∴，
故选：D
【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG．
12．B
【分析】
作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，证得DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F、P、D′四点共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′-EF即可得出结果．
解：作点关于的对称点，连接，，如图所示：
矩形中，，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是定值，
当、、、四点共线时，定值最小，最小值，
的最小值为，
故选：B
【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．
13．D
【分析】
首先作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，利用“一线三垂直”模型证明≅，即可求出点C的坐标．
解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC=∠ADO=90°，
∴∠COE+∠ECO=90°，
∵A的坐标为（1，），
∴AD=，OD=1，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∴∠AOD=∠OCE，
在和中，
∵
∴≅（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴C（-，1），
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形的综合以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的性质，证出全等三角形是解题的关键．
14．B
【分析】
过点作轴于点，则点到轴的距离为，通过证明得到，利用点，的坐标可求，的长，则结论可求．
解：过点作轴于点，如图，
则点到轴的距离为．
点的坐标为，点的坐标为，
，．
轴，
．
．
四边形是正方形，
，．
．
．
在和中，
，
．
．
．
点到轴的距离是5．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了图形的坐标与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
15．B
【分析】
连接AC，根据直线与坐标轴的交点得出直线与AC平行，因此当直线向上平移到A点时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大b=AC，由图②可知此时a=5，由速度求出AB的长再根据勾股定理即可解答；
解：如图连接AC，
由y=x-1可得，当x=0时，y=-1，当y=0时，x=1，
∴直线与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，
∴直线与x轴的夹角是45°，
∵正方形ABCD中，AD∥BC∥x轴，∠ACB=45°，
∴直线l与AC平行，
∴当直线向上平移到A点时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大b=AC，
由图②可知，当a=5时，直线平移到A点，
∴AB=1×5=5米
∴b=AC=米，
故选： B．
【点拨】本题考查了一次函数的平移，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，根据题意弄懂图象所表达的含义是解题关键．
16．D
【分析】
过点D作DH⊥y轴于H，根据正方形的性质得到AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，根据余角的性质得到∠ADH＝∠BAO，根据全等三角形的性质得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，求得E（3，3），于是得到答案．
解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
过D作DH⊥y轴于H，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，
∵∠AHD＝∠AOB＝90°，
∴∠DAH+∠AHD＝∠AHD+∠BAO＝90°，
∴∠ADH＝∠BAO，
∴△ADH≌△BAO（AAS），
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，
∴OH＝6，
∴D（2，6），
∵点E是BD的中点，点B的坐标为（4，0），
∴点E的坐标是（，）,
∴E（3，3），
∵点F与点E关于y轴对称，
点F的坐标为（﹣3，3），
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关于y轴对称的点的坐标，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．C
【分析】
先确定此时点M对应的位置即点所在的位置，如图，过点M，分别作ME⊥x轴于点E，⊥x轴于点F，证明，得到，由此求解即可．
解：∵正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，
∴旋转8秒恰好旋转360°．
∵2022÷8=252……6，
∴旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次．
∵6×45°=270°，
∴此时点M对应的位置即点所在的位置，
如图，过点M，分别作ME⊥x轴于点E，⊥x轴于点F，
∴，
∴∠EOM+∠EMO=90°，
∵四边形OBCD是正方形，
∴∠BOD=90°，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，
∵点M的坐标为（a，b），
∴，
又点在第二象限，
∴旋转2022秒后，点M的坐标为（﹣b，a）．
故选C．
【点拨】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2022秒后点M的位置是解题的关键．
18．C
【分析】
如图，过作，交轴于点 过作轴于 过作平行于轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，证明设再求解Q的坐标，再代入直线OB的解析式即可．
解：如图，过作，交轴于点 过作轴于 过作平行于轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，
正方形OABC中，点，
设 而点P为CD的中点，
设OB的解析式为 而
解得：
OB的解析式为：
解得：
故选C
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正比例函数的性质，正方形的性质，求解是解本题的关键．
19．B
【分析】
过点C作轴于点D，作轴于点E，连接AC，OC．设AB与OC交于点F．由题意易证为等边三角形，从而易证，得出，进而可知矩形ODCE为正方形，结合题意可得出， 即证明，得出，，从而可求出，，进而可求出，最后即可求出，即得出C点坐标．
解：如图，过点C作轴于点D，作轴于点E，连接AC，OC．设AB与OC交于点F．
由题意可知，，
∴为等边三角形，
∴．
由所作辅助线可知四边形ODCE为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴矩形ODCE为正方形，
∴，．
∵点A，B的坐标分别为（0，4），（4，0），
∴．
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴C(，)．
故选B．
【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质以及勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
20．B
【分析】
画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知B′D′和B′C的长，由此判断点D′的坐标．
解：如图，△CDB绕点C逆时针旋转90°后得△CD′B′，
∴B′D′=BD，B′C=BC，
∵四边形OABC是正方形，D（5，3），
∴BC=5，BD=2，
∴B′O=B′C+CO=10，B′D′=2，
∴点D′的的坐标为（2，10）．
故选：B．
【点拨】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21．
【分析】
过点G作GH⊥AD于H，根据翻折变换的性质可得GF⊥AE，然后求出∠GFH=∠D，再利用“角角边”证明△ADE和△GHF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=AE，再利用勾股定理列式求出AE，从而得解．
解：如图，过点G作GH⊥AD于H，则四边形ABGH中，HG=AB，
由翻折变换的性质得GF⊥AE，
∵∠AFG+∠DAE=90°，∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AFG=∠AED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∴HG=AD，
在△ADE和△GHF中，
，
∴△ADE≌△GHF（AAS），
∴GF=AE，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CD=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE，
∴GF的长为2．
故答案为：．
【点拨】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
22．
【分析】
连接CE，过点G作GJ⊥CD于J，根据正方形和折叠的性质得到条件，证明△EFC≌△GJH，得到EC=GH，再根据正方形的性质和勾股定理，结合AD=8即可求出结果．
解：连接CE，过点G作GJ⊥CD于J，设EC和GH交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠B=∠BCD=90°，
∴四边形BCJG为矩形，
∴GJ=BC=EF，
由折叠可得：E，C关于GH对称，
∴EC⊥GH，AB=EF=CD，
∴∠OHC+∠OCH=90°，
又∠OCH+∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠GHJ，
在△EFC和△GJH中，
，
∴△EFC≌△GJH（AAS），
∴EC=GH，
∵AD=8，
∴EF=8，CF=4，
∴GH=CE==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．
【分析】
由折叠的性质得出∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称，证出∠EAH=∠BAD=∠GHA=45°，设DF交AH于点N，由折叠性质可知AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH，得出∠DHF=90°，连接BD，证明△ABE≌△BCM，得出BE=CM，根据三角形BDM的面积可求出答案．
解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，
∴∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称，
∴AG⊥BF，
∴∠AGF=90°，
∵AH平分∠DAF，
∴∠FAH=∠FAD，
∴∠EAH=∠GAF+∠FAH=∠BAF+∠FAD=（∠BAF+∠FAD）=∠BAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAH=∠BAD=45°，
∴△AGH是等腰三角形，
∴∠EAH=∠GHA=45°，
如图，设DF交AH于点N，
∵AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH，
∴AH⊥DF，FN=DN，
∴DH=HF，∠FNH=∠DNH=90°，
又∵∠GHA=45°，
∴∠NFH=45°=∠NDH=∠DHN，
∴∠DHF=90°，
连接BD，
由折叠可知AE⊥BF，
∴∠ABG+∠CBM=90°，∠ABG+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBM，
∴Rt△ABE≌Rt△BCM，
∴BE=CM=1，AE=BM，
∴DM=2，
∴S△BDM=DM•BC=3，
∵AE2=AB2+BE2，
∴，
∴AE=BM=，
S△BDM=BM•DH=3，
∴DH=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．或15
【分析】
过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，进而得出四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形．再分两种情况进行讨论：①如图1，若点B'在AD下方；②如图2，若点B'在AD上方，分别根据Rt△PB'N中，B'P2=PN2+B'N2，即可得到BP的值．
解：过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，
∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABNM是矩形
同理可得：四边形AEHM是矩形．
①如图：
若点B'在AD下方，则B'M=3cm，B'N=3cm，
∵MH=AE=1（cm），
∴B'H=2（cm），
由折叠可得，EB'=EB=5（cm），
∴Rt△EB'H中，EH=cm，
∴BN=AM=EH=cm，
设BP=t cm，
∴PB'=t cm，PN=（-t）cm，
∵Rt△PB'N中，B'P2=PN2+B'N2，
∴t2=（-t）2+32，
解得：t=；
②如图：
若点B'在AD上方，则B'M=3cm，B'N=9cm，
同理可得，EH=3cm，
设BP=t cm，
∴B'P=t cm，PN=（t-3）cm，
∵Rt△PB'N中，B'P2=PN2+B'N2，
∴t2=（t-3）2+92，
解得：t=15．
综上所述，BP的值为或15．
【点拨】本题主要考查了折叠问题，勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
25．
【分析】
由正方形性质可证△AOE≌△BOF（ASA）由S四边形EOFB=S△EOB+S△BOF= S△EOB+S△AOE=S△AOB即可．
解：∵正方形的对角线、相交于点，
∴OA=OB，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，
又∵点又是正方形的一个顶点，
∴∠A1OC1=90°，
∴∠AOE+∠EOB=∠EOB+∠BOF=90°，
∴∠AOE =∠FOB，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S1=S四边形EOFB=S△EOB+S△BOF= S△EOB+S△AOE=S△AOB=．
故答案为．
【点拨】本题考查正方形的性质，三角形全等判定，四边形面积转化为三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定，四边形面积转化为三角形面积是解题关键．
26．
【分析】
根据题意得出△AMO≌△BNO（ASA），则两个正方形重叠的面积等于△ABO的面积＝S正方形ABCD，进而得出答案．
解：∵四边形ABCD和四边形EFGO都是正方形，
∴∠2＝∠5＝45°，∠1+∠3＝∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，
∴在△AMO和△BNO中
，
∴△AMO≌△BNO（ASA），
∴两个正方形重叠的面积等于△ABO的面积＝S正方形ABCD＝1．
故答案为：1cm2．
【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△AMO≌△BNO是解题关键．
27．
解：如下图，过点O作OE⊥GH于点E，OF⊥HM于点F，
由已知条件易得∠EOF=∠GOM=90°，OE=OF，∠OEG=∠OFM=90°，
∴∠EOG=∠FOM，
∴△EOG≌△FOM，
∴S四边形OGHM=S正方形OEHF=，
∵n个相同的正方形会形成（n-1）个阴影部分，
∴n个相同的正方形形成的阴影部分的面积之和为：.
故答案为：.
【点拨】将一个直角的顶点放到正方形对角线的交点处，则这个直角和正方形重叠部分的面积是正方形面积的四分之一.
28．
【分析】
如图，连接AE、AF，先证明△GAE≌△HAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案．
解：如图，连接AE、AF，
∵点A为大正方形的中心，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG=∠GEF－∠AEF=45°，
∴∠AEG=∠AFE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=∠EAF=90°，
∴∠GAE=∠HAF，
在△GAE与△HAF 中，
∴△GAE≌△HAF（ASA），
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴同理可得：，
即，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键．
29．
【分析】
根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠DCF，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DCG=∠DAG，从而得到∠ABE=∠DAG，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH= AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DCG=∠DAG，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO= AB=2，
在Rt△AOD中，，
根据三角形的三边关系，OH+DH>OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值=OD-OH=．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
30．
【分析】
延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OC，可证得四边形AOEH是平行四边形，OE=AH，可得当点E、点G在OC上时，最小，即最小，再根据勾股定理即可求得．
解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG，
，，
，
又，
四边形AOEH是平行四边形，
，
当点E、点G在OC上时，最小，即最小，
，
，
，
，
故的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形及正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．
31．
【分析】
连接BD，交EF于点O．取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
解：连接BD，交EF于点O．取OB中点M，连接 MA，MG，
在正方形ABCD中，AB=CD，，
，
，
，
，
在中，
在中，，
连接AC，则于点O，
在中，，
，
AG≥AM-MG=，
当A，M，G三点共线时，AG最小=cm，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．
32．
【分析】
如图所示，作D关于直线AB的对称点，连接，先证明△ABE≌△ADF得到BE=DF，则，从而推出当C、F、三点共线时，有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为，由此求解即可．
解：如图所示，作D关于直线AB的对称点，连接，
∴，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠ADC=90°，
又∵∠FAD=∠EAB，AF=AE，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，
∴，
∴，
∴当C、F、三点共线时，有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为，
在Rt△中，，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
33．
【分析】
作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，首先根据题意证明出，然后利用勾股定理求出AD的长度，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
解：如图所示，作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，
∵BF⊥AF，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
由题意可得，四边形DOAH和四边形OGFA都是矩形，
∵正方形的顶点坐标为，
∴DH=GF=OA=3，
∵顶点的横坐标为，
∴，
∴BF=BG+GF=4，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，，
∴．
故答案为：．
【点拨】此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定定理．
34．2
【分析】
先求出点C的坐标为（1，0），从而求出点A1的坐标为（1，2），得到A1C＝2，再由四边形A1CC1B1为正方形，点C，C1在x轴上，得到A1B1＝A1C＝2，A1B1∥x轴，由此即可得到答案．
解：∵四边形AOCB为正方形，点A（0，1），
∴OC＝OA＝1．
∴点C的坐标为（1，0）
又∵四边形A1CC1B1是正方形，
∴点A1的横坐标为1，
∵点A1在直线y＝x+1上，
∴点A1的坐标为（1，2），
∴A1C＝2．
又∵四边形A1CC1B1为正方形，点C，C1在x轴上，
∴A1B1＝A1C＝2，A1B1∥x轴，
∴若平移直线y＝x+1经过点B1，则直线y＝x+1向右平移2个单位长度．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像平移问题，正方形的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
35．
【分析】
先求出AB，再利用正方形的性质确定C点坐标，由于2020=4×505，所以第2020次旋转结束时，正方形ABCD回到初始位置，再旋转2次，得出C的坐标便是答案值．
解：∵A(4，3)，B(4，-3)，
∴AB=3-(-3)=6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB=6，
∴C(10，-3)，
∵△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，
∴每4次一个循环，
∵2022=4×505+2，
∴第2020次旋转结束时，正方形ABCD回到初始位置，从初始位置再旋转两次，就到第2022次旋转到的位置，
∴点C的坐标为(-10，3)．
故答案为：(-10，3)．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转，正方形的性质，解答本题的关键是找出C点坐标变化的规律．
36．
【分析】
首先求出B1、B2、B4、B8的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2022的坐标，从而确定其纵坐标．
解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=2，
∴B2点坐标为（-2，2），
同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），
B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），
B6（8，-8），B7（16，0），
B8（16，16），B9（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2022＝8×252+6，
∴B2022（21011，﹣21011）．
故答案为：（21011，﹣21011）．
【点拨】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
37．
解：如图所示，连接EG，
由旋转可知△ABF≌△ADE，
∴DE=BF，AE=AF，
∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG=FG，
设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=BF+BG=8-x，
∵∠C=90°，
∴CE2+CG2=EG2
即x2+22=(8−x)2
解得x=，
∴CE的长为，
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定理列方程.
38．或
【分析】
分当点恰好落在线段的延长线上时，当点恰好落在线段上时，两种情况讨论求解即可．
解：如图1所示，当点恰好落在线段的延长线上时，连接OB，过点O作于E，
∴，
∵四边形OABC和四边形都是正方形，
∴，
∴
∴，
∴；
如图2所示，当点恰好落在线段上时，连接OB，过点O作于E，
同理可求出 ，
∴；
综上所述，或，
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，正确画出图形作出辅助线是解题的关键．
39．##
【分析】
当EP⊥AC时，EF有最小值，过点P作PM⊥EF于点M，由直角三角形的性质求出PE的长，由旋转的性质得出PE=PF，∠EPF=120°，求出PM的长，则可得出答案．
解：如图，当EP⊥AC时，EF有最小值，
过点P作PM⊥EF于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∵E为BC的中点，BC=1，
∴CE=，
∴PE=CE=，
∵将PE绕点P逆时针旋转120°得到PF，
∴PE=PF，∠EPF=120°，
∴∠PEF=30°，
∴PM=PE=
由勾股定理得EM=，
∴EF=2EM=，
∴EF的最小值是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
40．24
【分析】
由题意可得点E在以C为圆心，6为半径的圆上，则当DE为此圆的切线时，∠CDE最大，即DE⊥CE，由“AAS”可证△BCH≌△DCE，可得BH＝DE＝8，即可求解．
解：如图，作BH⊥CF于H，
在△CEF绕点C旋转过程中，点E在以C为圆心，6为半径的圆上，
∴当DE为此圆的切线时，∠CDE最大，即DE⊥CE，
∴∠DEC＝90°，
∴8，
∵∠ECH＝∠DCB＝90°，
∴∠DCE＝∠BCH，
在△BCH和△DCE中，
，
∴△BCH≌△DCE（AAS），
∴BH＝DE＝8，
∴S△BCF6×8＝24，
故答案为：24．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
41．(1)见分析 (2)
【分析】
（1）由折叠的性质得，再根据平行线的性质可得，即可求证；
（2）根据折叠的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求解即可．
(1)
证明：由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴△HCE是等腰三角形
(2)
解：∵正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，
由折叠的性质得，，
在Rt△CGH中，设，则
∴，
解得，
∴
【点拨】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活利用相关性质进行求解．
42．（1），（2），（3），验证见分析．
【分析】
（1）如图（1）中，由题目已知条件可得,，根据勾股定理即可得到的值，再根据是的中点，得出，即可求出重叠部分的面积；
（2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形，边长为，面积为；
（3）如图（3）中，过点M作、的垂线、，垂足为、，求得≌，则阴影部分的面积等于正方形的面积．
解：（1）如图（1）中，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴=，
∵，
∴，
∴重叠部分的面积为：
（2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形，
∴边长为：，
∴面积为：
（3）如图（4），过点分别作，的垂线、，垂足分别为、，
∵是斜边的中点，，
∴，，
∴，
∵，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴阴影部分的面积等于正方形的面积，
∵正方形的面积是，
∴阴影部分的面积是．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
43．(1)不存在，理由见分析； (2)
【分析】
（1）先假设EB平分∠AEC，可以得到BC＝EC，与题中条件相矛盾，由此可以得到EB不会平分∠AEC；
（2）作点C关于AD的对称点M， 连结BM交AD于N，由可以得到当B、E、M三点共线时，此时的△BEC周长最小，先求出正方形的边长，进而就可以求出AE的值．
(1)
解：EB不会平分∠AEC，
理由：正方形ABCD中，
∵DC//AB，
∴∠AEB＝∠EBC，
若EB平分∠AEC，
则∠AEB＝∠BEC，
可得∠EBC＝∠BEC，
∴BC＝EC，
而BC＝CD＜EC，两者矛盾，
∴EB不会平分∠AEC；
(2)
作点C关于AD的对称点M，连结BM交AD于N，
，
要使△BEC周长的最小，也就是要的和最小，
∵BC为定值，
∴只需的和最小即可，即的和最小，
，
∴当B、E、M三点共线时，（即图中点E与点N重合），
此时的和最小，
此时△BEC周长的最小值＝BM＋BC，
设BC＝x，则CM＝2x，
∵BM2＝BC2＋CM2，
∴BM＝，
∴，
∴，即正方形的边长为，
，
，
∴＝＝，
∴此时的．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，其中，正确添加辅助线，得到当B、E、M三点共线时，此时的△BEC周长最小是解题的关键．
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