北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题6.5 反比例函数的图象和性质（基础篇）（专项练习）

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1．下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（ ）
A．B．C．D．
2．若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限
3．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．若点，是反比例函数图象的两个点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
5．若点都在反比例函数（m为常数）的图像上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．关于反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图象关于原点成中心对称
D．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
7．反比例函数（为常数）的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．反比例函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
10．对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图像必经过点B．y随x的增大而增大
C．图像在第二、四象限内D．图像关于坐标原点中心对称
二、填空题
11．若反比例函数的图像分别在第二、四象限，则k的取值范围是________．
12．表示关系式①，②，③，④的图象依次是_____，_____，_____，_____．
A． B． C． D．
13．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．
14．对反比例函数，下列说法正确的有_________（填序号）①其图象位于第二、四象限；②其图象必过，③其图象关于y轴对称；④若，则．
15．若点，点均在反比例函数（k为常数）的图象上，若，则k的取值范围是______．
16．已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是____．
17．若点M（，）、N（，）在双曲线（）上，且，则m的取值范围是________．
18．如图，已知直线与反比例函数的图象交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是______．
三、解答题
19．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1) 求点A、B的坐标
(2) 若点P在直线上，且横坐标为-2，求过点P的反比例函数图象的解析式.

20．已知反比例函数(为常数，)；
(1)若点在这个函数的图象上，求的值；
(2)若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，求的取值范围．
21．已知点在双曲线上．
(1) 求a的值；
(2) 当时，求y的取值范围．
22．已知函数与．
(1)若y1过点（1，3），求y1，y2的解析式；
(2)在（1）的条件下，若1≤y2≤2，求出此时y1的取值范围；
(3)若y1的图象过一、二、四象限，判断y2的图象所在的象限．
23．已知一个函数y与自变量x的部分对应值如下表：
（1）从我们已学过的函数判断：y是x的 函数，y与x的函数关系式为 ；
（2）根据函数图像，当-2  x  -时，求y的取值范围．
24．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图像
列表：下表是x与y的几组对应值，其中_________．
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图像，请你把图像补充完整；
(2)观察函数图像；下列关于该函数图像的性质表述正确的是：__________；（填写代号）
①函数值y随x的增大而增大；②函数图像关于y轴对称；③函数值y都大于0．
运用函数性质：若点，则、、大小关系是__________．
参考答案
C
【分析】根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解．
解：反比例函数，
，
A、，
点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、，
点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、，
点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
D、，
点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
故选：．
【点拨】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
B
【分析】先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．
解：∵的图象过点（3，-5），
∴把（3，-5）代入得：
k=xy=3×（-5）=-15＜0，
∴函数的图象应在第二，四象限．
故选：B．
【点拨】本题考查的是反比例函数（k≠0）的性质：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在二、四象限．
D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算出，，，然后在的条件下比较它们的大小即可．
解：根据题意得，，，
所以，，，
而，
所以．
故选：D．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：解题的关键是掌握反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
D
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a-1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a-1，y1）、（a+1，y2）分别在图象的两支上时．
解：∵k=-1＜0，
∴图象在二、四象限，在每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a-1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＜y2，
∴或，
解得a＞1或a＜-1；
②当点（a-1，y1）、（a+1，y2）分别在图象的两支上，
∵y1＜y2，
∴a-1＞0，a+1＜0，即a＞1，a＜-1，
无解，此情况不存在，
综上，a＜-1或a＞1，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k＜0时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
D
【分析】由可知，反比例函数的图象分别在第一、三象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，由于，所以，由于点C在第一象限，故，从而可得结果．
解：∵，
∴反比例函数（m为常数）的图象分别在第一、三象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，
∵，
∴，
∵，
∴点C在第一象限，
∴，
∴．
故选：D
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象的性质，要比较点的横坐标的大小，解本题的关键在熟练掌握反比例函数在每个象限的增减性．
B
【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
解：关于反比例函数，图象位于第一、三象限，图象关于原点成中心对称，
若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上，则选项A，C，D都正确，不合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B错误，符合题意．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
B
【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣2＞0，进一步即可求出答案．
解：∵反比例函数（m为常数）的图象位于第一、三象限，
∴m﹣2＞0，
解得：m＞2．
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
A
【分析】将点A（m,4）代入中，可得m=-1，根据正比例函数与反比例函数交点坐标关于原点对称可求．
解：将点A（m,4）代入中，
得：
解得：m=-1
∴点A坐标为（-1，4）
∵A、B两点关于原点成中心对称
∴点B坐标为（1，-4）．
故选：A．
【点拨】本题是反比例函数与正比例函数交点问题，掌握反比例函数图象的中心对称性，以及正比例函数图象上点坐标特征是解题的关键．
C
【分析】根据反比例函数的图像与性质直接判断即可．
解：，
反比例函数的图像在第二、四象限，
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握的正负对图像的影响是解决问题的关键．
B
【分析】根据反比例函数的性质逐个判断即可．
解：A. 当x=-1时，y=3，所以图像必经过点（﹣1，3），正确，与题意不符；
B.在同一象限内， y随x的增大而增大，错误，与题意相符；
C. k=-3<0，图像在第二、四象限内，正确，与题意不符；
D.反比例函数图像关于坐标原点中心对称，正确，与题意不符，
故选B．
【点拨】本题考查了反比例函数性质，熟练掌握反比例函数的性质解答本题的关键．
【分析】根据反比例函数比例系数小于0时，反比例函数的图象位于二、四象限，可列出不等式，解之即可得出答案．
解：∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限，
∴3k+1<0，
解得：．
故答案为．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象所在象限列出不等式是解题的关键．
C B D A
【分析】注意对比函数的图像和解析式，利用函数的性质解答．
解：①∵，
∴，即，
∴，
故的图像为C；
②∵，即，
∴，
∴的图像为B；
③∵，即，
∴，即，
∴的图像为D；
④的图象为A；
故答案为：C；B；D；A．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像与反比例函数的性质，明确函数的性质是解题的关键．
##
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点A、B、C的坐标分别代入解析式计算出y1、y2、y3的值，然后比较大小即可．
解：∵点A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
②
【分析】根据反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征即可判断．
解：①∵k＝6＞0，
∴它的图象在第一、三象限，故错误；
②当x时，y4，
∴图象必过（，4），故正确；
③反比例函数图象关于原点对称，故错误；
④∵k＝6＞0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y＞0，
∵当x＝﹣3时，y2，
∴x＞﹣3，则y＜﹣2或y＞0，故错误．
故答案为：②．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
【分析】根据题意判断点在第三象限，点在第一象限， 从而可以解答本题．
解：∵点，点均在反比例函数（k为常数）的图象上，且，
∴点在第三象限，点第一象限，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能够判断A、B所处的象限是解题的关键．
##
【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可解答．
解：在反比例函数中，，
此函数的图象分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
，且这两点都在第一象限，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
【分析】根据反比例函数的图象与性质可得，解一元一次不等式组即可得．
解：对于双曲线，
函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，
，
，
解得，
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
（－1，－2）
【分析】直接利用正比例函数和反比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案．
解：∵直线与反比例函数的图象交于M，N两点，
∴M，N两点关于原点对称，
∵点M的坐标是（1，2），
∴点N的坐标是（-1，-2）．
故答案为：（－1，－2）.
【点拨】此题主要考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，正确得出M，N两点位置关系是解题关键．
(1)A（-6，0）,B（0，3）(2).
【分析】（1）令可求出A点坐标，令可求出B点坐标；（2）把P点坐标代入求出P点坐标，再代入反比例函数即可解出.
解：（1）令，则,解得. ∴A（-6，0）
令，则. ∴B（0，3）
（2）∵点P在直线上，且横坐标为-2，
∴P（-2，2）.
∴过点P的反比例函数图象的解析式为.
20．(1)(2)
【分析】（1）根据题意，把代入到反比例函数中，进而求解；
（2）根据这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，可知，进而求出的取值范围．
（1）∵点在这个函数的图象上，∴，解得．故答案是．
（2）在函数图象的每一分支上，随的增大而增大，∴，∴．故答案是：．
【点拨】本题考查的是反比例函数图象的性质，会灵活运用反比例函数图象的性质是解本题的关键．
21．(1)(2)
【分析】（1）将点代入解析式即可求解，
（2）根据反比例函数图象的性质求解即可．
(1)解：将点代入解析式得，
解得
(2)当时，
当时，
当时，的图象，随的增大而减小，
【点拨】本题考查了反比例函数的定义以及反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的图象的性质是解题的关键．
22．(1)y1＝x+2；y2＝(2)3≤y1≤4(3)y3的图象过第一、三象限
【分析】（1）函数y1过点（1，3），将点代入y1解析式中即可得k值，可得y1，y2的解析式；
（2）由1≤y2≤2，求出自变量取值范围1≤x≤2，再根据y1的增减性确定y1的取值范围；
（3）由一次函数经过第一、二、四象限，可得不等式组，解不等式组即可得到k的范围，进而判断y2的图象所在的象限．
解：(1)把点（1，3）代入中，得：
3＝k+k+1，
解得：k＝1．
故y1＝x+2；＝．
(2)在（1）的条件下，若1≤y2≤2，
∵，1≤y2≤2
∴
解得：
∵y1＝x+2，
∴
(3)∵y1的图象过一、二、四象限
∴ ，
解得：-1＜k＜0．
∴0＜k+1＜1，
故y2的图象过第一、三象限．
【点拨】本题考查了一次函数性质、反比例函数的性质、函数解析式的求法及一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
23．（1）反比例；；（2）【分析】（1）根据表格中的数据特点可知y是x的反比例函数，利用待定系数法即可求解；
（2）根据反比例函数的图像与性质即可求解．
解：（1）根据表格中的数据特点可知y是x的反比例函数，
设y与x的函数关系式为y=（k≠0）
把（1,4）代入得k=1×4=4
∴y与x的函数关系式为，
故答案为：反比例；；
（2）根据k=4＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y=-2，
当x=-时，y=-8，
∴当-2  x  -时，求y的取值范围为．
【点拨】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数的特点．
24．(1)，见分析；(2)②③；(3)
【分析】（1）把x=3代入函数，即可求得m的值，见分析；
（2）通过观察函数图像即可得到答案；
（3）分别把x=-0.5、x=1.5、x=2.5代入函数，求得、、的值，即可判断.
(1)解：把x=3代入函数，
得：；
如图
(2)解：由函数图像可知，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；函数图像关于y轴对称；函数值y都大于0，
∴下列关于该函数图像的性质表述正确的是②③；
(3)解：分别把x=-0.5、x=1.5、x=2.5代入函数，
得=4，=，=，
∴.
【点拨】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是正确识图和应用数形结合思想.…
1
2
3
…
y
…
1
2
4
4
2
1
m
…