北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题6.8 反比例函数与面积问题（基础篇）（专项练习）

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1．如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于3，则k的值等于（ ）
A．B．6C．D．3
2．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（ ）
A．5tB．C．D．5
3．如图：点A、B是双曲线y＝上的点，分别过点A、B做x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，这两个空白矩形的面积和为（ ）
A．12B．10C．9D．8
4．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，点P是反比例函数的图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为6，则k的值为（ ）
A．－3B．6C．－6D．－12
6．如图，正方形ABCD的相邻两个顶点C、D分别在x轴、y轴上，且满足BD∥x轴，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过正方形的中心E，若正方形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝B．y＝－C．y＝D．y＝－
7．如图，反比例函数的图象上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，的面积为6，则k的值为（ ）
A．B．12C．6D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．4
9．如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点A，且与BC相交于点D．若的面积为20，则k的值为（ ）
A．12B．18C．24D．32
10．如图，反比例函数的图象与矩形OABC的边分别交于点E、F，且AE＝BE，点A、C分别在x、y轴上，若△OEF的面积为3，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
11．如图，点A是反比例函数图像上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形ABOC的面积为______．
12．如图，是等边三角形，点在轴的正半轴上（）的图象上，则的面积为______．
13．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，过点A作垂直x轴交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，连接AO，BO，若ΔABO的面积为1.5，则k的值为____________
14．如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________．
15．如图，已知点P是y轴正半轴上一点，过点P作EF∥x轴，分别交反比例函数（x＞0）和图象的于点E和点F，以EF为对角线作平行四边形EMFN．若点N在x轴上，平行四边形EMFN的面积为8，则k的值为 _____．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点，在轴上，顶点，在轴上，且，反比例函数的图像经过点，则 ______________．
17．如图，、是双曲线上的两点，过点作轴于点，交于点，且为的中点，若的面积为2，点的坐标为，则的值为________．
18．如图，函数的图象过矩形OBCD一边的中点，且图象过矩形OAPE的顶点P，若阴影部分面积为6，则k的值为______．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB交该图象于点C，连接OC．
(1) 求k的值；
(2) 求△OAC的面积．
20．如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小．
21．如图，直线x=t(t>0)与双曲线y=(k1>0)交于点A，与双曲线y=(k2<0)交于点B，连接OA，OB．
(1)当k1、k2分别为某一确定值时，随t值的增大，△AOB的面积_______(填增大、不变、或减小)
(2)当k1+k2=0，S△AOB=8时，求k1、k2的值.
22．如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
23．如图，是反比例函数和（k1＞k2）在第一象限的图象，直线∥轴，并分别交两条曲线于、两点．
（1）若点的纵坐标是，则可得点的纵坐标是 ．
（2）若，则与之间的关系是 ．
24．如图，反比例函数的图象过点A（2，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过A点作AC⊥x轴，垂足为C．若P是反比例函数图象上的一点，求当△PAC的面积等于6时，点P的坐标．
参考答案
A
【分析】根据即可求得答案．
解：由题意得，
，则，
，，
点在第三象限，
，
，
故选A．
【点拨】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握的几何意义是解题的关键．
C
【分析】由反比例函数中的的几何意义直接可得特定的三角形的面积，从而可得答案.
解：如图，记直线y＝t与轴交于点
由反比例函数的系数的几何意义可得：


故选：
【点拨】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，掌握反比例函数的系数与特定的图形的面积之间的关系是解题的关键.
D
【分析】根据反比例函数k值得几何意义,转变成矩形面积代入求解即可.
解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，
∴S矩形ACOG＝S矩形BEOF＝6，
∵S阴影DGOF＝2，
∴S矩形ACDF+S矩形BDGE＝6+6﹣2﹣2＝8，
故选：D．
【点拨】本题考查反比例函数k值的几何意义,关键在于牢记相关性质.
B
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．
解：∵D是反比例函数 (x＞0)图象上一点，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为×2=1．
∵点B在函数的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为4．
∴阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△AOD的面积=4-1=3．
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义．
C
【分析】过点P作PD⊥x轴交点D，PB与x轴的交点记为E，推出S△OBE=S△PDE，得到，于是得到结论．
解：如图，过点P作PD⊥x轴交点D，PB与x轴的交点记为E，
∵点B是点A关于x轴的对称点，
∴OA=OB，
∴PD=OB，
又∵∠PED=∠BEO，PD⊥x轴，OB⊥x轴，
∴△OBE≌△DPE（AAS），
∴S△OBE=S△PDE，
∴,
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k=-6，
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，把三角形的面积转化为四边形的面积是解题的关键．
B
【分析】根据正方形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可求得S△CDE=|k|=2，解得即可．
解：∵正方形的面积为8，
∴S△CDE=2，
∵正方形ABCD的相邻两个顶点C、D分别在x轴、y轴上，BD∥x轴，
∴S△CDE=|k|，
∴|k|=4，
∵k＜0，
∴k=-4，
∴该反比例函数的解析式为y=-，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质，反比例函数系数k的几何意义，得到关于k的方程是解题的关键．
A
【分析】设P的坐标是（m，n），则mn=k，PA=-n，△ABP中，AP边上的高是|m|=m，根据△PAB的面积即可求解．
解：设P的坐标是（m，n），则mn=k，
PA=-n，△ABP中，AP边上的高是m，
∵△PAB的面积为6，
∴m(-n)=6，
∴，
∴k=mn=-12．
故选：A．
【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
C
【分析】作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果．
解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，
∴P点坐标表示为：（，2），PQ=2，
由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
∴MN=，QN=，
∴，
即：，
解得：k=，
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是k的几何意义，表示出对应线段是解题的关键．
C
【分析】连接AC，过点A作AE⊥OC于点E，根据菱形的性质可得△AOD的面积=△AOC的面积=20，再根据，可设，然后根据勾股定理可得，继而得到，从而得到△AOE的面积为，即可求解．
解：如图，连接AC，过点A作AE⊥OC于点E，
∵四边形OACB是菱形，
∴OA=OC，OA∥BC，
∴△AOD的面积=△AOC的面积=20，
∵，
可设，
∴，
∴，
∴，
∴△AOE的面积为，
∵反比例函数的图像经过点A，
∴，解得：，
∵图像位于第一象限内，
∴k=24．
故选：C
【点拨】本题考查了解直角三角形，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
B
【分析】连接OB．先根据反比例函数的比例系数的几何意义得出S△AOE=S△COF=，然后由三角形任意一边上的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F是BC的中点，则，最后由S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=3，代入即可求得k=4．
解：如图，连接OB．
∵E、F是反比例函数的图象上的点，EA⊥x轴于A，FC⊥y轴于C，
∴S△AOE=S△COF=，
∵AE=BE，
∴S△BOE=S△AOE=，S△BOC=S△AOB=k，
∴S△BOF=S△BOC﹣S△COF=k－＝，
∴F是BC的中点，
∴，
∴S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=，
解得k=4，
故选：B．
【点拨】此题考查了反比例函数的比例系数k与其图象上的点与远点所连的线段、坐标轴向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即，得出F是BC的中点是解题的关键．
11．3
【分析】根据反比例函数解析式中比例系数k的几何意义即可解决．
解：由反比例函数解析式中比例系数k的几何意义知，四边形ABOC的面积为，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握它是解决问题的关键．
12．12
【分析】过点A作AH⊥OB于点H，根据反比例函数的几何意义，得到 ，再根据等边三角形的性质，可得到，即可求解．
解：如图，过点A作AH⊥OB于点H，
∵点在轴的正半轴上（）的图象上，
∴ ，
∵是等边三角形，AH⊥OB
∴ ，
∴ ．
故答案为：12．
【点拨】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数 中 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 轴、 轴垂线，所得矩形面积等于 是解题的关键．
-2
【分析】设AB交x轴于点C，然后根据反比例函数系数的几何意义求解即可．
解：设AB交x轴于点C，如图，
根据题意得：，，
∵ΔABO的面积为1.5，
∴，
∴，
解得：，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象位于第四象限，
∴，
∴．
故答案为：-2
【点拨】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是得出正确答案的关键．
14．3
【分析】由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案．
解：轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6，
，
，
故答案为3．
【点拨】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键．
-5
【分析】连接OE、OF，利用反比例函数系数k的几何意义可得S△FOP＝|k|，S△EOP＝，再根据同底等高的三角形面积相等，得到S△EFN＝S△EFO，由平行四边形的面积为8可求出S△EFN＝S▱FNEM＝4，进而求出答案．
解：连接OF、OE，
∵EF∥x轴，
∴S△EFN＝S△EFO，
又∵四边形FNEM是平行四边形，EF为对角线，
∴S△EFN＝S▱FNEM＝×8＝4，
由反比例函数系数k的几何意义得，
S△FOP＝|k|，S△EOP＝，
又∵S△EFO＝S△FOP+S△EOP＝|k|+＝4，
解得k＝﹣5，k＝5＞0（舍去），
故答案为：﹣5．
【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确应用的前提．
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，利用面积法得：，所以，然后利用的几何意义得到的值．
解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，
，，轴，轴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（负值不合题意，舍去）
故答案为：．
【点拨】本题考查反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．本题涉及正方形的性质和等积变换等知识点．理解和掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
17．8
【分析】由D为AC的中点，可得出，再由反比例函数系k的几何意义，可得出k=8，进而得出双曲线的表达式，把点B的坐标代入双曲线的表达式，即可得出m=8．
解：设点A的坐标为（b，d），
∵D为AC的中点，
∴AC=2AD，
∵△AOD的面积为2，
∴，
∴AD·OC=4，
∴，
∴bd=8，
∵A是双曲线上的点，
∴，
∴，
∴双曲线的表达式为，
∵B是双曲线上的点，点B的坐标为（m，1），
∴，
∴m=8．
故答案为：8
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是由D为 AC的中点，可得出．
18．6
【分析】分两种情况讨论，设函数图象过BC的中点，中点坐标为（m，），则C（m，），根据阴影的面积可以求出k的值；若函数图象过CD的中点，同理可以求出k的值．
解：设函数图象过BC的中点，中点坐标为（m，），则C（m，），
∴S阴影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，
∴k=6；
若函数图象过CD的中点，中点坐标为（m，），则C（2m，），
∴S阴影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，
∴k=6．
综上，k的值为6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．
19．(1)6(2)9
【分析】（1）根据线段中点的坐标的确定方法求得点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出；
（2）由反比例函数解析式求出点的纵坐标，进而求出的长，再根据三角形的面积公式计算即可．
（1）解：点的坐标为，点为的中点，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，；
（2）解：由题意得，点的横坐标为6，点的纵坐标为：，，的面积．
【点拨】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、解题的关键是正确求出的长度．
【分析】利用图形面积关系可得：再利用反比例函数的的几何意义可得：从而可得答案.
解：
【点拨】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数与过反比例函数图象上任意一点向两轴作垂线所形成的矩形的面积之间的关系.
（1）不变；（2）k1＝8，k2＝﹣8．
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可得出答案；
（2）由题意可知S△AOB＝k1﹣k2，然后与k1+k2＝0构成方程组，解之即可．
解：（1）不变.
∵S△AOC＝|k1|，S△BOC＝|k2|，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝（|k1|+|k2|），
∵k1，k2分别为某一确定值，∴△AOB的面积不变.
故答案为：不变；
（2）由题意知：k1＞0，k2＜0，∴S△AOB＝k1﹣k2＝8，
∵k1+k2＝0，∴k1＝8，k2＝﹣8．
【点拨】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
（1）k=-12； （2）x＜﹣2或0＜x＜2．
解：(1)过点A作AD垂直于OC,由,得到,确定出△ADO与△ACO面积,即可求出k的值; (2)根据函数图象,找出满足题意x的范围即可.
解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，
∵AC=AO，
∴CD=DO，
∴S△ADO=S△ACD=6，
∴k=-12；
（2）根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．
23．（1），（2）．
解：（1）平行线间的距离处处相等，B到x轴的距离也是3．（2）由图像知与都大于0，延长AB交y轴于C,△AOC的面积等于二分之一乘以K1，△BOC的面积二分之一乘以K2，这两个三角形面积相减等于△AOB的面积=4，解得．
考点：反比例函数图像性质
(1) y＝；(2)（6，1），（﹣2，﹣3）.
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，列出关于系数m的方程，通过解方程来求m的值；
（2）设点P的坐标是（a，），然后根据三角形的面积公式来求点P的坐标．
解：（1）设反比例函数为y＝，
∵反比例函数的图象过点A（2，3）．则＝3，解得m＝6．
故该反比例函数的解析式为y＝；
（2）设点P的坐标是（a，）．
∵A（2，3），
∴AC＝3，OC＝2．
∵△PAC的面积等于6，
∴×AC×|a﹣2|＝6，
解得：|a﹣2|＝4，
∴a1＝6，a2＝﹣2，
∴点P的坐标是（6，1），（﹣2，﹣3）．
【点拨】本题考查了反比例函数的面积问题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，坐标和图形性质，以及反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键