北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题6.10 反比例函数的应用（知识讲解）

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1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解.
2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.
【要点梳理】
要点一、利用反比例函数解决实际问题
基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.
一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
要点二、反比例函数在其他学科中的应用
当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
要点三、反比例函数在与几何综合应用
反比例函数与几何的综合应用是是历年来中考的热点，既有本学科知识的综合，也有与其他学科知识的综合，题型既选择、填空，也有解答题类型，而这类题型出现于最后一道题的概率最多，考查学生的综合分析和应用知识的能力。
解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。
这类型的题目主要包括反比例函数与三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形）的综合、反比例函数与正方形的综合、反比例函数与圆的综合等四种题型。
【典型例题】
类型一、反比例函数实际问题与图象
1．如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地，边的长不超过墙的长度，在边上开设宽为1m的门（门不需要消耗篱笆）．设的长为（m），的长为（m）．
求关于的函数表达式．
若围成矩形劳动基地三边的篱笆总长为10m，求和的长度
若和的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝12，进而可得出：；
（2）根据篱笆总长和门的长表示出AB与BC，列出方程求出即可；
（3）由x，y均为整数，围成矩形劳动基地三边的篱笆总长小于10m，可得出x的值，进而可得出各围建方案．
（1）解：依题意得：xy＝12，
∴．
又∵墙长为6m，
∴，
∴．
∴y关于x的函数表达式为：．
（2）解：依题意得：，
∴或，
∵，
∴，
∴；
（3）解：依题意得：，，
∴，
∵和的长都是正整数，
∴或，
∴则满足条件的围建方案为：或
【点拨】本题考查了根据实际问题列出反比例函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式以及根据x，y均为整数找出x，y的值是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如下图所示，当和时，函数图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分，BC∥AD∥x轴．
求点D坐标；
当x满足什么条件时，学生注意力指标不低于30．
【答案】(1)（45，20）(2)当4≤x≤30时，学生注意力指标不低于30．
【分析】（1）求出反比例函数解析式，即可求解；
（2）先求出直线AB的解析式，可得y≥30时，x的取值范围，再由反比例函数可得y≥30时，x的取值范围，即可求解．
（1）解：设当时，反比例函数解析式为，
把点C（20，45）代入得：
，解得：k=900，
∴反比例函数解析式为，
∴当x=45时，，
∴D（45，20）；
（2）解：根据题意得：A（0，20），
设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+n，
将A（0，20）、B（10，45）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当y≥30时，，解得：x≥4，
由（1）得反比例函数解析式为，
当y≥30时，，解得：x≤30，
∴当4≤x≤30时，学生注意力指标不低于30．
【点拨】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．
【变式2】某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
_____________；
当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？

【答案】(1)19(2)；(3)135分钟
【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；
（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．
（1）解：a＝0.2×（100﹣5）＝19；
（2）解：当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b
∵经过点（5，0），（100，19）
∴
解得：，
∴解析式为y＝0.2x﹣1；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝，
∵经过点（100，19），
∴ ＝19
解得：k＝1900，
∴函数的解析式为y＝；
（3）解：令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
令y＝＝10，解得：x＝190
∴190﹣55＝135分钟，
∴服药后能持续135分钟；
【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．
类型二、反比例函在其他学科中的应用
2．如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
(1)根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式及a的值．
(2)如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】(1)，0.25(2)这种摆放方式不安全，理由见分析
【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
（1）解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为，
把（400，0.5）代入得：，
解得：k=200，
∴压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为，
当P=800时，，
∴a=0.25；
（2）解：这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02（），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为，
∵10000>2000，
∴这种摆放方式不安全．
【点拨】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
举一反三：
【变式1】在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，二氧化碳的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示．
求与V之间的函数关系式：
求当m3时二氧化碳的密度．

【答案】(1)(2)1kg/m3
【分析】（1）由图象可知，反比例函数图象经过点（5，2），利用待定系数法求出函数解析式；
（2）运用这个关系式解答实际问题，把v=10m3代入函数解析式即可求解．
（1）解：设密度与体积V的反比例函数关系式为，
把点代人解，得，
∴与V的反比例函数关系式为．
（2）解：当v=10m3时，P==1(kg/m3)，
∴当V=10m3时二氧化碳的密度为1kg/m3．
【点拨】本题主要考查图象的识别和待定系数法求函数解析式．从图象上观察得出点(5,2)在函数图象上是解题的关键．
【变式2】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（Pa）与气球体积V（）之间成反比例关系，其图像如图所示．
求P与V之间的函数关系式；
当时，求P的值；
当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
【答案】(1)P=(2)千帕(3)不少于m3
【分析】（1）设出反比例函数的解析式，代入点A的坐标，即可解决；
（2）由题意可得V=1.8m3，代入到解析式中即可求解；
（3）为了安全起见，P≤40000kPa，列出关于V的不等式，解不等式，即可解决．
（1）解：设这个函数解析式为：P=，
代入点A的坐标（1.5，16000）得，=16000，
∴k=24000，
∴这个函数的解析式为P=；
（2）由题可得，V=1.8m3，
∴P=（kPa），
∴气球内气体的压强是千帕；
（3）∵气球内气体的压强大于144kPa时，气球将爆炸，
∴为了安全起见，P≤40000kPa，
∴≤40000，
∴V≥m3，
∴为了安全起见，气球的体积不少于m3．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出解析式是解决此题的突破口．
类型三、反比例函数与几何综合应用
3． 如图1，一次函数与反比例函数交于A，B两点，点A的横坐标为－3．
求出反比例函数的表达式及点B的坐标；
当y1如图2，在第二象限中存在一点P，使得四边形PAOB是菱形，求菱形PAOB的面积．

【答案】(1)(2)x＜-3或0＜x＜1；(3)8
【分析】（1）先求出点A的坐标，进而求出反比例函数的表达式，最后求出点B的坐标；
（2）由图像直接得出答案；
（3）先判断出OP⊥AB，再求出AB和OH，最后用面积公式求解，即可求出答案．
（1）解：∵点A在一次函数y1=x+2①的图像上，且点A的横坐标为-3，
∴y=-1，
∴A（-3，-1），
∵点A在反比例函数的图像上，
∴k=-3×（-1）=3，
∴反比例函数的表达式为②，
联立①②解得，或，
∴B（1，3）；
（2）由（1）知，A（-3，-1），B（1，3），
由图像知，当y1＜y2时，
x的取值范围为x＜-3或0＜x＜1；
（3）如图，连接OP，交AB于H，
∵四边形PAOB是菱形，
∴OP⊥AB，AH=BH，
由（1）知，A（-3，-1），B（1，3），
∴AB=，点H（-1，1），
∴OH=，
∴S菱形PAOB=2S△AOB=2×AB•OH=AB•OH==8．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，菱形的性质，勾股定理求两点间的距离，三角形的面积公式，作出辅助线求出OH是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=5．
【分析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB=OA=5，由AB∥x轴即可得点B的坐标；
（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．
解：（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC=4、AC=3，
∴OA==5，
∵AB∥x轴，且AB=OA=5，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y=x，
由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形综合，一次函数与反比例函数综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.
【变式2】如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
【答案】（1）①；②四边形是菱形，理由见分析；（2）四边形能是正方形，理由见分析，m+n=32.
【分析】（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；
（2）先确定出B（4，），D（4，），进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC=BD，即可得出结论．
解：（1）①如图1，
，
反比例函数为，
当时，，
，
当时，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
②四边形是菱形，
理由如下：如图2，
由①知，，
轴，
，
点是线段的中点，
，
当时，由得，，
由得，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）四边形能是正方形，
理由：当四边形是正方形，记，的交点为，
,
当时，，
，，
，
，，，
，
，
.
【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键． 桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（）
0.5
0.4
a
0.2
0.16