北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题6.13 一次函数与反比例函数（巩固篇）（专项练习）

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1．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3B．C．D．
4．在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象有交点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，一次函数y1＝kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于点A（，4）和点B（3，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜0或＜x＜3 B．x＜或x＞3 C．0＜x＜或x＞3 D．x＜0或x＞3
6．已知一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝上在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当k1x十b＜时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1成0＜x＜3B．﹣1＜x＜0或x＞3
C．﹣1＜x＜0D．x＞3
7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为，则k的值是（ ）
A．5B．C．6D．
8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，若使y1＞y2，则x的值可以是（ ）
A．5B．4C．1D．-2
9．如图，一次函数、为常数，与反比例函数的图象交于A（1，m），B（n，2）两点，与坐标轴分别交于，两点．则△AOB的面积为( )
A．3B．6C．8D．12
10．如图，直线和双曲线交于、两点，是线段上的点（不与、重合），过点、、分别向轴作垂线，垂足分别为、、，连接、、，设的面积为、的面积为、的面积为，比较、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，则代数式的值是_________．
12．若反比例函数与一次函数的图像的一个交点的坐标为，则关于的方程的解是______________．
13．一次函数与反比例函数的图像交于，两点，则当时，x的取值范围是______．
14．已知点P（m，n）在直线y=-x+3上，也在双曲线y=-上，则m2+n2=___________
15．如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是x＜﹣2或 _____．
16．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y的图像交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交函数y的图像于点C，连接AC，则△ABC的面积为 _____．
17．若一个反比例函数的图象与直线的一个交点为，则这个反比例函数的表达式是______．
18．正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，轴于点（如图），则四边形的面积为______．
三、解答题
19．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 求△AOB的面积；
(3) 结合图像直接写出不等式kx+b的解集．
20．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点．
(1) 求这两个函数的关系式；
(2) 观察图象，直接写出使得成立的自变量的取值范围；
(3) 如果点与点关于轴对称，求的面积．
21．已知反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+m的图象交于点（2，1）．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）判断P（﹣1，﹣5）是否在一次函数y=kx+m的图象上，并说明原因．
22．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．

23．如图，已知A，B（-1，2）是一次函数与反比例函数
（）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
求一次函数解析式及m的值；
P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
24．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D，且点C的坐标为.
（1）分别求出直线、双曲线的函数表达式.
（2）求出点D的坐标.
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时？
参考答案
C
【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限．
解：由反比例函数y=与一次函数y=kx-3可知，
当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限，
当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限，
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．
C
【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得A、B关于原点中心对称，进而即可求解．
解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B关于原点中心对称，
∵点A的坐标是，
∴点B的坐标是．
故选C．
【点拨】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握正比例函数与反比例函数图象的中心对称性，是解题的关键．
D
【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
解：∵A（-，-2m）在反比例函数y=的图像上，
∴m=(-) • ( -2m)=2，
∴反比例函数的解析式为y=，
∴B（2，1），A（-，-4），
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S△AOB=S△BOD+S△AOD
=×3×2+×3×
=．
故选：D．
．
【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．
B
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．
解：∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y＝的图象有公共点，
∴k1与k2同号，即k1•k2＞0．
故选B．
【点拨】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．判断正比例函数y=k1x和反比例函数y＝的图象在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
C
【分析】结合图像即可得到y1＜y2时，x的取值范围．
解：∵一次函数y1＝kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于点A（，4）和点B（3，n），
∴由图像可知，当y1＜y2时，x的取值范围是：0＜x＜或x＞3，
故选C．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，熟练掌握函数图像和性质是本题的关键．
B
【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点是（-1，3），（3，-1）．由图象可以直接写出当y1＜y2时所对应的x的取值范围．
解：根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的交点是（-1，3），（3，-1），
∴当y1＜y2时，-1＜x＜0或x＞3；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．
C
【分析】把点A的坐标代入一次函数解析式求出的值，再把点A的坐标代入反比例函数，计算即可得到的值．
解：把代入得，，
解得，
所以，点A的坐标为，
所以，，
解得．
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是先把点A的坐标代入一次函数求出的值．
8．D【分析】只需在图象中找到y1图象位于y2图象上方的部分的横坐标的取值范围即可．
解：∵一次函数与反比例函数的图象交于、两点，
∴当1＜x＜4或x＜0时，y1＞y2，
只有选项D中的－2满足条件，
故选：D．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合，利用数形结合思想求解是解答的关键．
A
【分析】把A（1，m），B（n，2）分别代入y=即可求出m，n，即可得到A、B的坐标，把A，B的坐标代入y=kx+b求得一次函数的解析式，进一步M点的坐标，利用S△BOM-S△AOM求得△AOB的面积．
解：把A（1，m），B（n，2）分别代入y=，
得m=4，n=2，
∴A（1，4），B（2，2），
将点A（1，4）和B（2，2）代入一次函数y=kx+b，
得，解得．
∴一次函数的表达式y=-2x+6，
令x=0，则y=-2x+6=6，
∴M（0，6），
∴S△AOB=S△BOM-S△AOM=×6×2-×6×1=3，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标图象，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
D
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及一次函数与反比例函数的交点坐标进行判断即可．
解：如图，设PE与双曲线的交点为Q，连接OQ，
由于点A、点Q、点B在反比例函数
y=图象上，
所以S△AOC = S△QOE = S△BOD，而S△QOE < S△POE，
即S1=S2故选：D．
【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，一次函数与反比例函数的交点坐标特征，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
-2
【分析】联立方程组，用含k的式子表示，再代入求解即可．
解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
∴
解得：或，
∴，
故答案为：-2．
【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题和解二元一次方程组，联立方程组求解是解题的关键．
，
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：反比例函数与一次函数的图象的一个交点的坐标为，
反比例函数与一次函数的图象的另一个交点的坐标是，
关于的方程的解是，；
故答案是：，．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数．
或
【分析】先根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再画出两个函数的大致图像，然后结合函数图像即可得．
解：将点代入得：，即
将点代入得：，即
画出两个函数的大致图像如下：
不等式可变形为，表示的是一次函数的图像位于反比例函数的图像的下方
结合函数图像可知，或
故答案为：或．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图像法是解题关键．
14．11
【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
解：∵点P（m，n）在直线y=-x+3上，
∴n+m=3，
∵点P（m，n）在双曲线y=-上，
∴mn=-1，
∴m2+n2=（n+m）2-2mn=9+2=11．
故答案为：11．
【点拨】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间关系是解题关键．
15．0＜x＜1
【分析】观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象的下方时对应的x的取值范围即可．
解：由图象可知，y1＜y2时的x的取值范围为：x＜−2或0＜x＜1，
故答案为：0＜x＜1．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
16．5
【分析】设点B的坐标为，则点A的坐标为，再由BC∥y轴，点C在y上，可得到点C的坐标为，从而得到，再根据三角形的面积公式，即可求解．
解：∵函数y＝kx与y的图像交于A，B两点，
∴可设点B的坐标为，则点A的坐标为，
∵BC∥y轴，点C在y上，
∴点C的坐标为，
∴，
∴△ABC的面积为．
故答案为：5
【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数图像，垂直于y轴的直线上任意两点的坐标特点，三角形的面积，解答此题的关键是找出A、B两点与A、C两点坐标的关系．
17．##【分析】先将点A的坐标代入中，求出点A的坐标，再用待定系数法即可求解．
解：将点A的坐标代入得：，
解得：，则点，
设反比例函数表达式为：，
将点A坐标代入上式并解得：，
故反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求函数表达式是解题的关键．
18．4【分析】联立正比例函数与反比例函数，可求得点A和点C的坐标，进而可得点B和点D的坐标，由此可得BD的长，AB、CD的长，根据面积公式进行计算，即可得到答案
解：联立正比例函数和反比例函数可得，
，即，解得，，
由此可得点A的坐标为（，），点C的坐标为（-，-），
∵轴于点B，轴于点
∴点B的坐标为（，0），点D的坐标为（-，0），
故BD=2，AB=CD=，
∴
故答案为4．
【点拨】本题考查正比例函数与反比例函数面积问题，准确计算坐标，将图形问题转化为代数问题时解题的关键．
(1)一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y(2)8
(3)x＜﹣3或0＜x＜1
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可；
（3）观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解．
（1）解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣3×2＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则，
解得k＝﹣2，b＝﹣4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y；
（2）解：如图，设直线AB交y轴于C，
则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8；
（3）解：观察函数图象知，
不等式kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜1．
【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答即可．
20．(1)，(2)或(3)12
【分析】（1）把代入反比例函数解析式即可求出k值，根据反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当反比例函数图像在一次函数图象上方时，，结合两个交点的横坐标即可求解；
（3）求出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求解．
（1）解：将代入得，，
解得，
反比例函数的解析式为，
又点在上，
，
解得，
点B的坐标为，
点A和点B在一次函数上，
，
解得，
一次函数的解析式为，
综上可得，．
（2）解：时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
观察图象可知，当或时，．
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接AC，作于点D，
点A的坐标为，
点C的坐标为，
又点B的坐标为，
，，
的面积．
【点拨】本题考查利用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，以及求三角形的面积，其中第2问用到了数形结合的思想，第3问用到了求坐标系内两点之间的距离，都是常考题型，需要多加练习．
（1）y=和y=2x﹣3．（2）点P在一次函数图象上
分析：（1）将点（2，1）代入y=，求出k的值，再将k的值和点（2，1）代入解析式y=kx+m，即可求出m的值，从而得到两个函数的解析式；
（2）将x=-1代入（1）中所得解析式，若y=-5，则点P（-1，-5）在一次函数图象上，否则不在函数图象上．
解：（1）∵y=经过（2，1），
∴2=k．
∵y=kx+m经过（2，1），
∴1=2×2+m，
∴m=-3．
∴反比例函数和一次函数的解析式分别是：y=和y=2x-3．
（2）点P（-1，-5）在一次函数y=2x-3图象上．原因如下：
当x=-1时，y=2x-3=2×（-1）-3=-5．
∴点P（-1，-5）在一次函数图象上．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是知道函数图象的交点坐标符合两个函数的解析式．
（1）k=12，C（0，9）；（2）4
【分析】（1）由点求出反比例函数的解析式为，可得值，进而求得，由待定系数法求出直线的解析式为，即可求出点的坐标；
（2）由（1）求出，根据可求得结论．
解：（1）把点代入，，
反比例函数的解析式为，
将点向右平移2个单位，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，
由题意可得，
解得，
，
当时，，
；
（2）由（1）知，
．
【点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，求得直线的解析式是解题的关键．
23．（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）一次函数的解析式为y=x+ ；m=﹣2；（3）P点坐标是（﹣，）．
【分析】（1）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式以及m的值；
（3）设P的坐标为（x，x+）如图，由A、B的坐标可知AC=，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA的高为x+4，△PDB的高（2﹣x﹣），由△PCA和△PDB面积相等得，可得答案．
解：（1）由图象得一次函数图象在反比例函数图象上方时，﹣4＜x＜﹣1，
所以当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则
，
解得
一次函数的解析式为y=x+，
反比例函数y=图象过点（﹣1，2），
m=﹣1×2=﹣2；
（3）连接PC、PD，如图，设P的坐标为（x，x+）如图，由A、B的坐标可知AC=，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA的高为x+4，△PDB的高（2﹣x﹣），由△PCA和△PDB面积相等得
××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），
x=﹣，y=x+=，
∴P点坐标是（﹣，）．
（1），；（2）点D的坐标是；（3）
【分析】（1）把C（-1，2）代入y1=x+m得到m的值，把C（-1，2）代入双曲线得到k的值；
（2）解由两个函数的解析式组成的方程组，即可得交点坐标D；
（3）观察图象得到当-3＜x＜-2时一次函数的函数值比反比例函数的函数值要大．
解：（1）∵点在的图象上；
∴，
解得，则.
∵在的图象上，
∴，解得，∴.
（2）联立得，
解得，或，
∵点C的坐标是，
∴点D的坐标是.
（3）由图象可知，当时，
【点拨】本题考查了用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式即反比例函数与一次函数的交点问题.解题的关键是：（1）代入点C的坐标求出m、k的值；（2）把两函数的解析式联立起来组成方程组，解方程组即可得到它们的交点坐标．（3）根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集．本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及也考查了数形结合的思想．