2023-2024学年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．2.15×107B．0.215×108C．2.15×106D．21.5×106
2．（3分）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入18元B．收入6元C．支出6元D．支出12元
3．（3分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．B．3a＜3bC．﹣a＞﹣bD．a+1＞b+1
4．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣2，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x＞﹣1D．x＜﹣1
5．（3分）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A．﹣3B．3C．4D．6
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．a﹣b+c＞0B．abc＞0C．4a﹣2b+c＜0D．2a﹣b＝0
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣2，则反比例函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
二.填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：x2﹣36＝ ．
10．（3分）若关于x的方程﹣x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
11．（3分）已知二次函数的表达式为y＝x2﹣x+1，则该二次函数的对称轴为直线x＝ ．
12．（3分）如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是 ．
13．（3分）扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为30cm,扇面BD的长为20cm,则扇面面积为 cm2．
14．（3分）如图，在斜坡OE底部点O处设置一个可移动的自动喷水装置，喷水装置的高度OA为1.4米，喷水装置从A点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O为原点，喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．斜坡上距离O水平距离为8米处有一棵高度为2米的小树MN，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2.1米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，则自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左平移） 米．
三.解答题
15．（6分）计算：．
16．（6分）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在1至3层的任意一层出电梯．
（1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是 ；
（2）请你用画树状图（或列表法）求出甲、乙在同一楼层出电梯的概率.
17．（6分）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年A型车的销售总额为5000万元，今年每辆车的售价比去年减少2万元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少1000万元．求今年每辆A型车的售价．
18．（7分）如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC=∠B，求证：直线CD与⊙O相切．
19．（7分）某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如表：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
20．（7分）如图1所示，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上．
图1中，作△ABC的高CH；
②图2中，已知AB=5，找到格点E（不与点A重合），使得∠EBC=∠ABC；
③图3中，在线段AB上找一点D，连接DN，使得．
21．（8分）已知A、B两地之间有一条笔直公路，A、B之间有个距离A地16千米的服务区C．甲驾车从A地出发匀速去往B地，然后立即以原速度原路返回A地，乙骑车从C地出发匀速去往A地，乙与甲同时出发，80分钟后到达A地．甲距A地的路程y（千米）与甲行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙距A地的路程y与x之间的函数图象，并求出它所对应的函数关系式．
（2）甲、乙在行驶过程中相遇了 次．
22．（9分）阅读理解：
（1）【学习心得】
学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=52°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．
解：由于AB=AC=AD，根据圆的定义可知，点B、C、D一定在以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径的⊙A上，则∠BAC是所对的圆心角，而∠BDC是，所对的圆周角，从而可容易得到∠BDC= °．
②类型二，“定角+定弦”：如图2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值．
解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°．
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°．
∴∠APB＝90°．（定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上．
又∵点P在△ABC内部，
∴点P在弧BM上（不包括点B、点M），（如图5）请完成后面的过程．
（2）【问题解决】
如图3，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 ．
（3）【问题拓展】
如图4，在正方形ABCD中，AD=6，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE=CF．连接AE和DF，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，点P的运动路径长为 ．
23．（10分）如图，在△ACD中，，CD=8，AB为CD边上的中线．点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AC向终点C运动．同时点F从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BA向终点A运动，连接EF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，以EF、FG为边作正方形EFGH．设点E运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）AB的长为 ；
（2）求点E到AB的距离；（用含t的代数式表示）
（3）当点G落在AB上时，直接写出EF的长；
（4）连接FH，当FH与AC平行或垂直时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx经过点（2，0），点A、B为该抛物线上两点，点A的横坐标为m,点B的横坐标为-2m+1．过点A作AC垂直于直线y=2，交直线于点C．
（1）求抛物线y＝x2+bx的函数表达式；
（2）①当时，求tan∠ACB的值；
②当m＜0时，若∠ACB＝45°，求m的值；
（3）设直线AB交y轴于点E，直线BC交y轴于点F，若△BEF与△ABC面积比为1：4或4：1，请直接写出m的值．
2023-2024学年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．【答案】A
【解答】解：将21500000用科学记数法表示为：2.15×107．
故选：A．
2．【答案】B
【解答】解：+18+（﹣12）＝6（元），
即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元．
故选：B．
3．【答案】D
【解答】解：A．a＞b，则＞；
B．a＞b，所以B选项不符合题意；
C．a＞b，所以C选项不符合题意；
D．a＞b，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+7，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
故选：A．
5．【答案】D
【解答】解：∵点P在圆内，且d＝5，
∴r＞5，
故选：D．
6．【答案】B
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，连接AB，
∵半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，6），10），
∴AB＝5，BC＝10﹣2＝5，
∵AD⊥BC，AD过圆心A，
∴CD＝BD＝4，
由勾股定理得：AD＝＝＝3，
∴点A的横坐标是4，
故选：B．
7．【答案】C
【解答】解：由图象可知，当x＝﹣1时，故A项正确；
∵抛物线开口向下，﹣＝﹣8，1），
∴a＜0，b＝4a＜0，
∴2a﹣b＝5，abc＞0、D项正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在原点和点（2，
∴另一个交点在（﹣2，0）与（﹣8，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，符合题意，
故选：C．
8．【答案】A
【解答】解：在y＝x﹣7中，则x＝4，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（4，0），﹣2），
∴OB＝8，OG＝4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF，BE＝CF，
∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴，
∴设CF＝a，BF＝2a，
∴AE＝6a，BE＝a，
∴A（4﹣a，2a），a），
∵点A，点C在反比例函数y＝，x＞2）图象上，
∴2a（4﹣a）＝a（4+2a），
∴a＝1，a＝3（不合题意舍去），
∴A（3，2），
∴k＝5×2＝6，
∴反比例函数表达式为y＝，
故选：A．
二.填空题（每小题3分，共18分）
9．【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣7）．
10．【答案】m＜．
【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣7×（﹣1）×（﹣m）＞0，
解得m＜．
故答案为：m＜．
11．【答案】．
【解答】解：∵二次函数的表达式为y＝x2﹣x+1，
∴对称轴为直线x＝﹣＝．
故答案为：．
12．【答案】两点之间线段最短．
【解答】解：由线段的性质可知：
两点的所有连线中，可以有无数种连法、曲线，这些所有的线中．
故答案为：两点之间线段最短．
13．【答案】．
【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，
∴AD＝AB﹣DB＝10（cm），
∵扇面面积＝扇形BAC的面积﹣扇形DAE的面积，
∴扇面面积＝﹣＝（cm2）．
14．【答案】1．
【解答】解：由题意可知，喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时．则可设水流的抛物线解析式为y＝a（x﹣6）6+5，
将点（0，7.4）代入解析式可得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为：y＝﹣0.1（x﹣4）2+5，
设喷射架向后平移了m米，则平移后的解析式为：y＝﹣8.1（x﹣6+m）6+5，
将点N（8，3.1）代入得：4.6＝﹣0.1（8﹣6+m）2+2，
解得m＝1或m＝﹣5（舍去），
∴自动喷水装置应向后平移7米．
故答案为：1．
三.解答题
15．【答案】﹣8﹣．
【解答】解：
＝﹣8﹣（+﹣1）×
＝﹣8﹣（+﹣）×
＝﹣8﹣×
＝﹣6﹣．
16．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是，
故答案为：；
∴P（甲、乙在同一楼层出电梯）＝．
17．【答案】8万元．
【解答】解：设今年每辆车的销售价格为x万元，
根据题意，得＝，
解得：x＝8．
检验：当x＝8时，x（x+2）≠0 ．
答：今年每辆A型车的售价为8万元．
18．【答案】证明见解析．
【解答】证明：如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠ODA+∠ADC＝90°，
即∠CDO＝90°，
∴CD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，89，96，98，100，
∴．
∵成绩为9（7分）的学生有2名，最多，
∴c＝96．
九年级（2）班C组有3人，
∴扇形统计图中C组所占百分比为，
∴扇形统计图中D组所占百分比为1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40．
故答案为：40，94；
（2）选派九年级（2）班，理由如下：
∵两个班的平均成绩相同，而九年级（1）班的方差为52，
∴九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派九年级（2）班．
（3）九年级（2）班D组的人数为10×40%＝4人，
∴九年级（2）班10名学生的成绩为优秀的有2+4＝7人．
∴估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数是人．
20．【答案】①②③见解析．
【解答】解：①如图1中，线段CH即为所求；
②如图2中，点E即为所求；
③如图，点D即为所求．
21．【答案】（1）；
（2）两．
【解答】解：（1）乙距A地的路程y与x之间的函数图象如图所示，
设乙距A地的路程y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
∵点（0，16），5）在该函数图象上，
∴，
解得，
即乙距A地的路程y与x之间的函数关系式为；
（2）由图象可得，
甲、乙在行驶过程中相遇了两次，
故答案为：两．
22．【答案】（1）①26；
②证明见解答过程；
（2）2；
（3）．
【解答】解：（1）①∵AB＝AC，AD＝AC，
∴AB＝AC＝AD，
∴点B，点C，AB为半径的圆上，
如图1，
∵∠BAC＝52°，
∴∠BDC＝∠BAC＝26°，
故答案为：26°；
②∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，
如图2，连接OC交⊙O于点P，
∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB＝AB＝6，
在Rt△ABC中，∠OBC＝90°，OB＝6，
∴，
∴PC＝OC﹣OP＝10﹣6＝2．
∴PC最小值为4；
（2）如图3，连接AC，
∵点B，点M关于直线AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动，
∴当点M在线段AC上时，MC有最小值，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝7，
∴CM的最小值为CM＝AC﹣AM＝5﹣3＝8，
故答案为：2．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADP+∠DCF＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥DF；
如图4，连接AC，
∵点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的运动路径是以AD为直径的圆的，
∴点P的运动路径长为＝．
故答案为：．
23．【答案】（1）8；
（2）2t；
（3）EF＝2；
（4）t的值为或．
【解答】解：（1）∵AC＝AD＝4，CB＝BD＝3，
∴AB⊥CD，
∴∠B＝90°，AC＝4，
∴AB＝＝＝8，
故答案为：8；
（2）过E作ET⊥AB于T，
由题意得：AE＝8t，
∴sinA＝＝，
∴＝，
∴TE＝2t，即点E到边AB的距离是2t；
（3）当点G落在边AB上时，EF⊥AB，
同（2）可得：EF＝5t，
∵BF＝4t，
∴AF＝8﹣8t，
∴tanA＝＝＝＝，
∴＝，
解得t＝1；
∴EF＝2t＝2；
（4）当FH⊥AC时，如图：
∵四边形EFGH是正方形，
∴FH⊥EG，
∴EG在AC上，
由题可知，BF＝4tt，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4t，
∵∠B＝90°＝∠AKF，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AKF，
∴＝＝，即＝＝，
∴KF＝，AK＝，
∵EK＝KF，即AK﹣AE＝KF，
∴﹣5，
解得t＝，
当FH∥AC时，过F作FW⊥AC于W
∵BF＝4t，
∴AF＝8﹣6t，
∵∠AWF＝90°＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AWF∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
∴AW＝，WF＝，
∵AE＝3t，
∴EW＝AE﹣AW＝2t﹣，
∵FH∥AC，
∴∠WEF＝∠EFH＝45°，
∴EW＝WF，
∴4t﹣＝，
解得t＝，
∴t的值为或．
24．【答案】（1）y＝x2﹣2x；
（2）①tan∠ACB的值为；②m的值为或；
（3）m的值为或1或．
【解答】解：（1）把（2，0）代入y＝x2+bx得：0＝4+5b，
解得：b＝﹣2，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x；
（2）①当时，
在y＝x2﹣2x中，令x＝m＝；
∴A（，﹣）；
∵过点A作AC垂直于直线y＝2，交直线于点C，
∴C（，2），
在y＝x2﹣4x中，令x＝﹣2m+1＝﹣8×，
∴B（2，0），
设AC交x轴于K，如图：
∴BK＝，CK＝2，
∴tan∠ACB＝＝＝，
∴tan∠ACB的值为；
②当点A在直线y＝6下方时，如图：
由已知得：A（m，m2﹣2m），C（m，
在y＝x4﹣2x中，令x＝﹣2m+5得：y＝（﹣2m+1）4﹣2（﹣2m+2）＝4m2﹣4，
∴B（﹣2m+1，4m2﹣1），
∴T（m，2m2﹣1）；
∵∠ACB＝45°，
∴△BCT是等腰直角三角形，
∴CT＝BT，
∴4﹣（4m2﹣6）＝﹣2m+1﹣m，
解得m＝，
∵m＜0，
∴m＝；
当点A在直线y＝2上方时，同理可得﹣4m+1﹣m＝4m7﹣1﹣2，
解得m＝，
∵m＜0，
∴m＝，
综上所述，m的值为或；
（3）当△BEF与△ABC面积比为2：1时，如图：
∵AC∥EF，
∴△EBF∽△ABC，
∵△BEF与△ABC面积比为4：8，
∴＝＝＝，
∴BF＝6BC，BE＝2BA，
∴C是BF的中点，A为BE的中点，
∵A（m，m2﹣6m），B（﹣2m+14﹣1），C（m，
∴F（4m﹣4，﹣4m2+3），E（4m﹣13﹣4m+1），
∵E，F在y轴上，'
∴8m﹣1＝0，
解得m＝；
当△BEF与△ABC面积比为1：5时，
EF，AC在B的同侧
同理可得，E为AB中点，
∵A（m，m2﹣2m），B（﹣2m+12﹣8），C（m，
∴E（，），F（，），
∴＝0，
解得m＝1；
当△BEF与△ABC面积比为6：4时，
EF，AC在B的异侧
同理可得△EBF∽△ABC，且相似比为1：3，
∴BE＝AB，
∴BE＝AE，
∵E在y轴上，A（m，m2﹣7m），B（﹣2m+14﹣1），
∴﹣2m+3＝m，
3
2
1
车库
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
92
b
c
52
九年级（2）班
92
94
100
50.4