考点巩固卷21 双曲线方程及其性质(十一大考点)-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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考点01双曲线的定义及标准方程
1．设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（ ）
A．B．C．4D．
2．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A．B．C．或D．不确定
3．已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，动点P满足，求动点P的轨迹方程．
5．已知点，，动点P满足，当点P的纵坐标是时，求点P到坐标原点的距离．
6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)；
(2)焦点为，经过点．
考点02根据方程表示圆、椭圆、双曲线求参数
7．已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．“”是“表示双曲线”的（ ）．
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
9．（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
10．（多选）已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线不可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（多选）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．若，则为椭圆
B．若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．曲线可能是圆
D．若为双曲线，则
12．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是_____；若表示椭圆，则m的取值范围是_____．
考点03双曲线的焦点三角形问题
13．已知双曲线 的左焦点为为坐标原点，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为为线段的 中点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（ ）
A．11B．12C．14D．16
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为_____．
16．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．

17．若，是双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且，求的大小．
18．双曲线的左、右两焦点分别为，点在双曲线上，且，求的面积．
考点04双曲线的简单几何性质
19．已知双曲线与，下列说法正确的是（ ）
A．两个双曲线有公共顶点
B．两个双曲线有公共焦点
C．两个双曲线有公共渐近线
D．两个双曲线的离心率相等
20．已知离心率为的双曲线C：的左、右焦点分别为，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（ ）
A．32B．16
C．84D．4
21．已知双曲线与双曲线，则两双曲线的（ ）
A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
22．已知双曲线的离心率为，虚轴长为4，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
23．（多选）双曲线C经过，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的标准方程是
B．双曲线C的渐近线程为
C．双曲线C的焦点坐标是，
D．双曲线C的离心率为2
24．已知点是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则的面积为_____．
考点05求双曲线离心率
25．（ 2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
26．学业质量联合检测数学试题）已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（ ）
A．B．2
C．D．
27．设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
28．双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
29．（多选）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
30．已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为_____
考点06求双曲线离心率的取值范围
31．已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
33．已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
34．已知双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
35．已知斜率为的直线经过双曲线的上焦点，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是_____．
36．双曲线的两个焦点为，，若双曲线上存在点，使，求双曲线离心率的取值范围.
考点07双曲线的渐近线
37．过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
38．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
39．双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．B．C．D．
40．（ 2023·贵州遵义·统考三模）过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
41．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
42．设，分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．
考点08直线与双曲线的位置关系
43．双曲线与直线的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或1或2
44．直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数_____．
45．关于曲线有如下四个命题：
①曲线C经过第一、二、四象限；
②曲线C与坐标轴围成的面积为；
③直线与曲线C最多有两个公共点；
④直线与曲线C有且仅有一个公共点.
其中所有真命题的序号是 _____（填上所有正确命题的序号）.
46．设直线与双曲线的方程分别为和，当实数取何值时，直线与双曲线分别有两个公共点？一个公共点？没有公共点．

47．已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
48．已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点.
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.
考点09双曲线的弦长问题
49．已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
50．（ 2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）（多选）已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（ ）
A．B．
C．D．
51．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长_____．
52．已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为_____.
53．设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积.
54．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐䏡为，求的面积.
考点10双曲线的中点弦问题
55．已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
56．已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程．
57．过点作直线与双曲线相交于B，C两点，且A为线段BC的中点，求这条直线的方程.
58．如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．
59．已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
60．过双曲线的弦，且为弦的中点，求直线的方程.
考点11直线与双曲线的综合问题
61．已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点．
(1)求双曲线方程．
(2)过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值．
62．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．
63．在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.
(1)求C的标准方程；
(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上.
64．如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(3)证明：直线过定点.
65．已知双曲线：的离心率为2，其左、右焦点分别为，，点为的渐近线上一点，的最小值为.
(1)求的方程；
(2)过的左顶点且斜率为的直线交的右支于点，与直线交于点，过且平行于的直线交直线于点，证明：点在定圆上.
66．已知双曲线的左、右顶点分别为、，为双曲线上异于、的任意一点，直线、的斜率乘积为．双曲线的焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)设不同于顶点的两点、在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为．试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．