考点巩固卷22 抛物线方程及其性质(十大考点)-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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考点01抛物线的定义与方程
1．若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．抛物线C．直线D．双曲线
2．（多选）若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（ ）
A．B．1C．D．
5．若点与点的距离比它到直线的距离小2，求点的轨迹方程．
6．填空：
（1）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为_____；
（2）设抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标为_____.
考点02抛物线方程与位置特征
7．（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左B．焦点坐标为C．准线为D．对称轴为轴
8．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为
9．抛物线的准线方程是，则实数_____.
10．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
(1)准线方程为；
(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是y轴，经过点．
考点03距离的最值问题
11．抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
13．（ 2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
14．设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为_____.
15．已知点P在抛物线上，且，求的最小值．
16．如图，已知点P是抛物线上的动点，点A的坐标为，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值.

考点04实际问题中的抛物线
17．为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（ ）
A．2mB．3mC．2.5mD．1.5m
18．如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（ ）
A．B．C．D．
19．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度，拱高，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱的长度为_____.（精确到0.01）

20．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为_____m.
21．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.

22．如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.

考点05抛物线中的三角形和四边形问题
23．已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．3B．C．D．
24．设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（ ）
A．12B．6C．D．
25．过的直线l与抛物线E：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的3倍，则_____
26．倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求的面积（为坐标原点）.
27．直线交抛物线于、两点，线段中点的横坐标为，抛物线的焦点到轴的距离为.
(1)求抛物线方程；
(2)设抛物线与轴交于点，求的面积.
28．已知抛物线.其焦点为F.
(1)求以为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形面积的最小值．
考点06抛物线的简单几何性质
29．定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是（ ）
A．B．C．D．
30．为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（ ）
A．B．C．D．
31．对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为
32．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）
A．B．
C．D．
考点07直线与抛物线的位置关系
33．已知抛物线的焦点为，点是抛物线准线上一动点，作线段的垂直平分线，则直线与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
34．已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条
D．1条、2条或3条
35．（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
36．当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
37．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.
(1)求轨迹为的方程
(2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围.
38．已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？
考点08抛物线的焦点弦问题
39．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（ ）
A．4B．C．8D．
40．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
41．设抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为_____．
42．已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.求抛物线的方程；
43．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求及的面积.
44．过抛物线的焦点，斜率为2的直线与抛物线相交于、两点，求线段的长．
考点09抛物线的中点弦问题
45．已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
46．抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为_____.
47．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长_____
48．已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为_____．
49．直线：与抛物线：交于，两点，且
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．
50．已知直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；
(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.
考点10直线与抛物线的综合问题
51．（多选）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．线段的中点在一条定直线上
C．为定值（、分别为直线、的斜率）
D．为定值（为抛物线的焦点）
52．设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.
(1)证明：直线过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.
53．已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.
54．如图，抛物线在点（）处的切线交轴于点，过点作直线（的倾斜角与的倾斜角互补）交抛物线于，两点，求证：

(1)的斜率为；
(2).
55．设抛物线：，直线与交于，两点，且.
(1)求；
(2)若在轴上存在定点，使得，求定点的坐标.
56．（ 2023·山西吕梁·统考二模）已知抛物线：过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，证明：直线恒过定点．