专题突破卷19 传统方法求夹角及距离-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.求异面直线的夹角
1．在三棱锥中，，的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
3．如图，在棱长为1的正方体中，点在对角线上移动，设异面直线与所成角为，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
4．四面体中，是边长为12的等边三角形，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正切值是_____．
5．已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，，，，若球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为_____．
6．已知正四面体ABCD，点E为棱AD的中点，O为的中心，则异面直线EO与CD所成的角等于_____.
2.求直线与平面的夹角
7．如图，在四棱台中，底面，M是中点.底面为直角梯形，且，，.

(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，.

(1)设分别为的中点，求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
9．如图，已知正四棱柱的底面边长是3，体积是45，M，N分别是棱、的中点．

(1)求过，，的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积；
(2)求直线与平面所成的角．
10．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上（点E异于A、B两点），点F在DE上，且，若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于．

(1)求证：；
(2)求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．
11．如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，，，.
(1)求的长度；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
12．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A－CD－F为60°，，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．

(1)求证：平面ADE；
(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值
3.求平面与平面的夹角
13．如图，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的长；
(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值.
14．在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且．

(1)证明：平面平面；
(2)证明：
(3)求二面角的余弦值
15．如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，为上的点，且.

(1)求证：平面平面；
(2)若三棱柱所有棱长都为，求二面角的平面角的正切值.
16．如图，是直角梯形底边的中点，，将沿折起形成四棱锥.

(1)求证：平面；
(2)若二面角为60°，求二面角的余弦值.
17．如图所示，菱形的对角线与交于点，点、分别为、的中点，交于点，将沿折起到的位置.

(1)证明：：
(2)若，，，求二面角的大小
18．如图，在棱长为3的正方体中，，为棱的两个三等分点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
4.已知夹角求距离
19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点Q是PC的中点．在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面所成的角为？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？

20．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点、不重合）．

(1)证明：平面平面；
(2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
21．如图，在正四棱锥中，，点O为底面的中心，点P在棱上，且的面积为1．
(1)若点P是的中点，求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明强由．
22．如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将△ABD沿BD折起，使得平面平面，如图2．
(1)证明：平面BCD；
(2)在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为45°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
23．如图，在四棱锥中，平面，， ，且，，
(1)求证：；
(2)在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，请说明点的位置，如果不存在，请说明理由．
24．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点F为棱的中点.
(1)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
5.求几何体的体积
25．如图，梯形中，，为中点，且，，将沿翻折到，使得．连接．

(1)求证：；
(2)为线段上一点，若，求三棱锥的体积．
26．如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，且侧面面ABCD，O是AD的中点，．当时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

27．如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得至处，且.

(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积为4，求的长.
28．如图，在四棱雉中，底面是正方形，，，点，分别为线段，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
29．如图，四棱锥的底面是菱形，平面底面，，分别是，的中点，，，.

(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)求四棱锥的体积.
30．已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．

(1)平面平面，证明：．
(2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积．
6.利用等体积法求点到面的距离
31．如图，在正四棱台中，.

(1)证明：.
(2)若正四棱台的高为3，求点到平面的距离.
32．如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且.点在圆所在平面上的正投影为点，.

(1)求证：平面；
(2)设，求点到平面的距离.
33．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点E在底面圆周上，，F为垂足．

(1)求证：．
(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，求点B到平面CDE的距离．
34．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面分别是中点，点在棱上移动.

(1)证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；
(2)求点到平面的距离.
35．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点．在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

36．如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为1，延长直径AB到点C，使得BC＝1，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点.

(1)证明：平面PDE⊥平面POD；
(2)点E到平面PAD的距离为d1，求d1的值.
1．如图，三棱锥中，，，，平面平面.

(1)求三棱锥的体积的最大值；
(2)求二面角的正弦值的最小值.
2．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点，点在线段上．

(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．
3．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱的中点，是棱上一点，且．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
4．如图三棱柱中，是边长为2的正三角形，，二面角的余弦值为.

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
5．如图：已知直三棱柱中，交于点O，，.
(1)求证：；
(2)求二面角的正切值.
6．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为的中点，F为中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
7．如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：
(1)设平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
8．直四棱柱，，，，，
(1)求证：平面；
(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小的正切值
9．如图，长方体中，，P为棱中点，E棱中点．线段上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

10．如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是的中点．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
11．如图，在四棱锥中，平面分别为的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
12．如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥的体积.
13．如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．
(1)求证：B，D，E，四点共面；
(2)求四棱锥的体积．
14．如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，．记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由．
15．在直角梯形中，，∥，，，点为线段上的一点.将沿翻折到的位置，使得.
(1)求证：∥平面；
(2)若二面角为，判断所在的位置；
(3)在上是否存在一点，使.若存在，指出位置并证明，若不存在，说明理由.
16．如图，在直三棱柱中，D为棱AB的中点，E为侧棱的动点，且．

(1)是否存在实数，使得∥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)设，，，求DE与平面所成角的正弦值的取值范围．
17．如图，在多面体中，菱形的边长为2，，四边形是矩形，平面平面，．

(1)在线段上确定一点，使得平面平面；
(2)设是线段的中点，在（1）的条件下，求二面角——的大小．