专题突破卷21 立体几何的轨迹问题-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.已知平行求轨迹
1．在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为_____．
2．如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为_____．

3．如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ）

A．AC1=4B．BC1＝4C．AB1＝6D．B1C＝6
4．如图，正方体的棱长为2， E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为_____，若F是侧面上的动点，且满足平面，则点F的轨迹长度为_____.

5．如图，正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为_____.

6．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面内（包括边界）一动点，且∥平面EFG，则P点的轨迹长度为_____

2.已知垂直求轨迹
7．如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，点是正方体表面上的动点．若，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（ ）

A．B．
C．D．
8．（多选）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点为的中点，点为底面上的动点，则（ ）
A．当时，存在唯一的点满足
B．当时，存在点满足
C．当时，满足的点的轨迹长度为
D．当时，满足的点轨迹长度为
9．（多选）如图，正方体的棱长为3，动点在侧面内运动（含边界），且，则（ ）
A．点的轨迹长度为B．点的轨迹长度为
C．的最小值为D．的最小值为
10．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为_____，点S与P距离的最小值是_____．

11．如图，在矩形中，，，，，分别为，，，的中点，与交于点，现将，，，分别沿，，，把这个矩形折成一个空间图形，使与重合，与重合，重合后的点分别记为，，为的中点，则多面体的体积为_____；若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为_____．
12．（多选）正方体的棱长为3，点是正方体表面上的一个动点，点在棱上，且，则下列结论正确的有（ ）

A．若在侧面内，且保持，则点的运动轨迹长度为
B．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
C．若，则点的轨迹长度为
D．当在点时，三棱锥的外接球表面积为
3.已知定长求轨迹
13．已知正方体的棱长为1，点P在该正方体的表面上运动，且则点P的轨迹长度是_____．
14．在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为_____．
15．（多选）已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若为线段上任一点，则与所成角的范围为
B．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为
C．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
D．若三棱锥的体积为恒成立，点的轨迹为椭圆或部分椭圆
16．已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为_____.
17．几何中常用表示的测度，当为曲线､平面图形和空间几何体时，分别表示其长度､面积和体积．是边长为4的正三角形，为内部的动点（含边界），在空间中，到点的距离为1的点的轨迹为，则等于（ ）
A．B．C．D．
18．（多选）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱和的中点，点在正方形内运动，则下列选项正确的是（ ）

A．直线与直线是异面直线
B．与面所成角小于
C．点与点到面的距离相等
D．若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为
4.已知定角求轨迹
19．如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）

A．B．C．D．
20．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
21．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为_____．
22．已知是半径为2的球面上的四点，且．二面角的大小为，则点形成的轨迹长度为_____．
23．已知正方体的棱长为2，为的中点，且点在四边形内部及其边界上运动，（1）若总是保持平面，则动点的轨迹长度为_____；（2）若总是保持与的夹角为，则动点的轨迹长度为_____.
24．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
5.翻折过程求轨迹
25．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为_____ ．
26．在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
27．如图所示，在平行四边形中，为中点，，，.沿着将折起，使到达点的位置，且平面平面.若点为内的动点，且满足，则点的轨迹的长度为_____.
28．如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）

①平面平面 ②与的夹角为定值
③三棱锥体积最大值为 ④点的轨迹的长度为
A．①②B．①②③C．①②④D．②③④
29．在矩形中，是的中点，，将沿折起得到，设的中点为，若将绕旋转，则在此过程中动点形成的轨迹长度为_____.
1．如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为_____.

2．已知面积为的菱形ABCD如图①所示，其中，E是线段AD的中点．现将沿AC折起，使得点D到达点S的位置.

(1)若二面角的平面角大小为，求三棱锥的体积；
(2)若二面角的平面角，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持，求点F的轨迹长度的取值范围.
3．如图，在正方体中，，为棱 的中点，是正方 内部（含边界）的一个动点，且∥平面，

(1)求动点的轨迹长度
(2)求平面与平面夹角的正切值
4．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为_____．
5．如图，在长方形ABCD中，，，E为BC的中点，将△沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（ ）
A．四棱锥体积的最大值为
B．PD的中点F的轨迹长度为
C．EP，CD与平面PAD所成的角相等
D．三棱锥外接球的表面积有最小值
6．如图，在直三棱柱中，，，，动点在内（包括边界上），且始终满足，则动点的轨迹长度是_____.
7．已知四棱柱的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点是侧棱上的点，且.若点在侧面（包括其边界）上运动，且总保持，则动点的轨迹长度为（ ）

A．B．C．D．
8．已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是_____．
9．（多选）如图，正方体的棱长为2，是的中点，是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则下列结论正确的是（ ）

A．平面截正方体所得截面的面积为
B．动点的轨迹长度为
C．的最小值为
D．与平面所成角的正弦值的最大值为
10．（多选）已知图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球表面积为12π，点P在正方体的对角面BDD1B1内（包括边界），则下列说法正确的是（ ）
A．若平面A1C1D，则P的轨迹长度为
B．若BP⊥平面A1C1D，则P的轨迹长度为
C．若点P到平面A1B1C1D1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹是椭圆的一段
D．PA+PA1的最小值为
11．正方体的棱长为3，点，分别在线段和线段上，且，，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点的轨迹在正方形内的长度为_____.
12．（多选）已知正方体的各顶点均在表面积为的球面上，为该球面上一动点，则（ ）
A．存在无数个点，使得平面
B．当平面平面时，点的轨迹长度为
C．当平面时，点的轨迹长度为
D．存在无数个点，使得平面平面
13．已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．π
14．已知正方体的棱长为，动点P在内，满足，则点P的轨迹长度为_____．
15．如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论：
①平面平面；
②与的夹角为定值；
③三棱锥体积最大值为；
④点的轨迹的长度为；
其中所有正确结论的序号是_____．