专题突破卷22 求圆的最值与范围-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.斜率型
1．若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是（ ）
A．最大值为2＋，最小值为—2－
B．最大值为2＋，最小值为2－
C．最大值为－2＋，最小值为－2－
D．最大值为—2＋，最小值为2－
【答案】B
【分析】根据几何意义，把可看作圆上任意一点与定点连线的斜率，利用几何法求最值.
【详解】可化为.
可看作圆上任意一点与定点连线的斜率.
记，则，记为直线l.
当直线与圆相切时，k可以取得最值.
此时圆心到直线的距离，解得：.
所以.
故选：B.
2．已知实数和满足，则的范围是 .
【答案】
【分析】根据目标函数的几何意义，作图找点边界，利用直线与圆相切的性质，可得答案.
【详解】由，即，则可表示与连线的斜率，作图如下：
则与连线与圆相切时，取得最值，
设，则代入，整理可得，
由直线与圆相切，则，即，解得，
故.
故答案为：.
3．若实数x、y满足条件，则的范围是 .
【答案】
【分析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，求得斜率的取值范围即可.
【详解】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为，
，解得，
故的范围是
故答案为：.
4．求函数的最值.
【答案】，.
【分析】由题联想直线的斜率公式，可看作点与动点的连线的斜率，即转化为解析几何中的问题.
【详解】∵可看作点与动点的连线的斜率，
而点B在半圆（）上
故原题即求点与半圆（）上的点的连线的斜率的最值，如图可知，当B为时，斜率最大为；
当切半圆于时，的斜率最小，
设此时的斜率为k，的方程为，
由，得（舍去），.
故，.
5．已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）点为圆上任意一点，求的最值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为0
【分析】（1）由，求出的垂直平分线方程，与直线联立求出圆心坐标，可得圆的半径，从而可得圆的方程；（2）可以看成是点与连线的斜率 ，直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线与圆相切时的的值，从而可得结果.
【详解】（1）由，得中点为，，
所以的垂直平分线为
联立，得 ，则，
圆的半径为，
所以圆的方程为
（2）可以看成是点与连线的斜率
直线的方程为，即
当直线为圆的切线时，有，解得
所以的最大值为，最小值为0
【点睛】本题主要考查圆的方程和性质、以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
6．已知圆
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)点为圆上任意一点，求的最值．
【答案】(1) 和 (2)的最大值为；的最小值为
【分析】(1)本题首先可以确定圆的圆心以及半径，然后根据题意分为直线斜率存在以及不存在两种情况，最后根据圆心到切线距离等于半径即可列出算式并得出结果；
(2)本题首先可明确为原点到圆上一点的直线的斜率，然后结合图像得出当圆与直线相切时斜率取最值，最后根据圆心到切线距离等于半径即可得出结果．
【详解】(1)因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为，
①当切线斜率不存在时，
因为直线过点，所以直线方程为，即
圆心到直线距离，所以直线是圆的切线，
②当切线斜率存在时，设切线斜率为，
则切线方程为，即
因为圆心到切线距离等于半径，
所以，解得，此时切线方程为，
综上所述，过点的圆的切线方程为和．
(2)因为即，为圆上任意一点，
所以即原点到圆上一点的直线的斜率，
令，则原点到圆上一点的直线的方程为，即

如图所示，当圆与直线相切时，斜率取最值，
则有圆心到切线距离等于半径，即，解得或，
所以斜率的最大值，斜率的最小，
所以的最大值为；的最小值为．
【点睛】本题考查圆与直线相切的相关性质，考查斜率的相关性质，若圆与直线相切，则圆心到直线线距离等于半径，考查点到直线距离公式，考查计算能力，是中档题．
2.距离型
7．已知点是圆上一点，则的范围是 ．
【答案】
【分析】求出圆心和半径，而表示圆上的点到直线的距离的2倍，所以求出圆到直线的距离，从而可求得结果.
【详解】由，得，
所以圆心，半径为1，
表示圆上的点到直线的距离的2倍，
因为圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为1，最大值为3，
所以的最小值为2，最大值为6，
所以的范围为，
故答案为：.
8．已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ．
【答案】 64 4
【分析】将问题转化为在圆上点到距离的平方、到原点的距离范围，结合点圆关系确定最值和范围.
【详解】由圆C的圆心为，半径为3，且P在圆上，
则表示在圆上点到距离的平方，
而圆心到的距离为，
所以在圆上点到距离的最大值为8，最小值为2，
故的最大值为64，最小值为4；
又表示在圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为，
所以的范围为.
故答案为：64，4，
9．已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值.
【答案】最大值，最小值.
【分析】根据x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，先求得原点到圆心距离，进而得到圆上的点到坐标原点的最大距离和最小距离，再平方即可.
【详解】如图所示：
由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，
当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.
因为原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，
所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1-＝，
所以x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
10．若圆与两条直线和都有公共点，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据有公共交点得到和，相加得到答案.
【详解】圆与两条直线和都有公共点
；
；
两式相加得到
故选：
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.
11．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，线段AB的中点为M.
（1）求M的轨迹方程；
（2）若为M的轨迹上的任意一点，求的最值.
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）设，表示出坐标，利用相关点法代入求解即可；
（2）为圆上的点到直线的距离的倍，再利用点到线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可求出圆上的点到直线的距离的最值，从而求出的取值范围.
【详解】解：（1）设线段中点为，则
因为点在圆上，
所以
整理可得
所求轨迹方程为：，可见，的轨迹是以为圆心，半径为的圆．
（2）为圆上的点到直线的距离的倍，
因为圆心为到直线的距离
则圆上的点到直线的距离的最小值为，最大值为
故
即，
【点睛】本题考查相关点法求动点的轨迹方程，直线与圆的位置关系，属于中档题.
12．若圆：与两条直线和都有公共点，则的范围是 .
【答案】
【分析】由已知得圆的圆心坐标，半径，要使圆与两直线和都有公共点，需圆心到两直线的距离，得出关于的不等式组，作出不等式组所表示的可行域，由的几何意义可知表示点到原点的距离的平方，可得的取值范围.
【详解】由题意，圆：的圆心坐标，半径，
因为圆与两直线和都有公共点，
可得圆心到两直线的距离，
即，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，
又由的几何意义可知表示点到原点的距离的平方，
所以的最大值为，最小值为0，
即的取值范围是.
故答案为：.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，二元一次不等式组所表示的平面区域，根据几何意义求目标函数的最值问题，属于中档题.
3.直线型
13．点在圆上，则的范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据题意设，从而得到，再求其范围即可.
【详解】设，，即，
所以，
因为，所以.
故答案为：
14．已知，满足，则的范围是 ．
【答案】
【分析】依题意可得为圆上的点，要求，令，即转化为直线与圆有公共点求参数的取值范围，利用圆心到直线的距离等于半径，求出临界值，即可得解；
【详解】解：因为，所以，表示以为圆心，为半径的圆，即点为圆上的点，
令，即，当直线与圆相切时取得最值，所以，即，解得，所以
故答案为：
15．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆：相切．
（1）求的“欧拉线”方程；
（2）点在圆上，求的最值．
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得边上的高线，垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为边的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的关系，求得边上的垂直平分线方程.
（2）根据直线与圆相切，先求出圆的方程，令，则点在直线上，故点是直线与圆的公共点，利用代入消元后的一元二次方程的判别式，则可求得的最值，也即是的最值.
【详解】（1）因为在中，
所以边上的高线、垂直平分线和中线合一，
则其“欧拉线”为边的垂直平分线
因为点，点，所以
由直线的斜率为，
可得的垂直平分线的斜率为，
所以的垂直平分线方程为，
即为的“欧拉线”方程；
（2）圆：的圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离为，
即，
令，即代入圆的方程，，
可得，
整理，得，
因为该方程有解，
所以，
解得，
所以的最大值为，最小值为.
16．已知实数满足方程，求的最大值和最小值．
【答案】最大值为，最小值为
【分析】设，则可知当直线与圆相切时，截距取得最值，然后由圆心到直线的距离等于半径列方程可求得结果.
【详解】设，即，
则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，
圆的圆心为，半径为，则
，解得，
所以的最大值为，最小值为.

4.面积周长型
17．在直角坐标系中，已知，动点满足，则面积的范围为
【答案】
【分析】根据题意求出点的轨迹方程与边AC的方程，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，最近距离为圆心到直线的距离减去半径，即可求出点到边AC的距离的最大值与最小值，进而求出面积的范围．
【详解】设点，则
由已知得，
所以，即
故点的轨迹方程为，即，其圆心，半径为．
直线AC的方程为，即
圆心到直线AC的距离
则点到边AC的距离的最小值为，最大值为
又
则面积的最小值为，最大值为，
所以面积的范围为．
故答案为：．
18．已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据题意，将求周长的最小值转化为求圆心到直线的距离，进而得解.
【详解】由圆知圆心，半径，
因为与圆相切于点，所以，
所以，所以越小，越小，

当时，最小，
因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为6，
此时，，，
故的周长的最小值为.
故答案为：.
19．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l：被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方.
（1）求圆M的方程；
（2）设，若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设圆心M(a，0)，利用弦长可求出，即得圆的方程；
（2）设直线AC的方程为y=k1x+t，直线BC的方程为y=k2x+t+6，联立方程可求出C的横坐标，根据条件可求出，，则可将△ABC的面积用表示，即可求出范围.
【详解】（1）设圆心M(a，0)，由已知得M到直线l：8x-6y-3=0的距离为，
，又∵M在直线l的下方，
∴8a-3>0，∴8a-3=5，a=1，
故圆的方程为(x-1)2+y2=1.
（2）设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2，
则直线AC的方程为y=k1x+t，直线BC的方程为y=k2x+t+6，
由方程组，得C点的横坐标为，
∵|AB|=t+6-t=6，，
由于圆M与AC相切，所以,
同理，
，
，
，
，
∴.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于较难题.
20．已知，，若动点满足，直线与轴、轴分别交于两点，则的面积的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】D
【分析】由得的轨迹为圆心为，半径为的圆，根据点到直线得距离公式求解圆上点到直线的最小距离，即可根据面积公式求解.
【详解】设，由可得，
化简可得，故动点的轨迹为圆心为，半径为的圆，
圆心到的距离为，
故圆上的点到直线的最小距离为，
由于，所以，
故的面积的最小值为，

故选：D
21．已知两点，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据可得，结合圆的性质可知点到直线的距离的最小值为，进而可得结果.
【详解】由题意可得：，
且直线的方程为，即，
圆，即，圆心，半径，
则圆心到直线：的距离，
所以圆C与直线AB相离，可知点到直线的距离的最小值为，
所以面积的最小值是.
故选：B.
22．已知圆：，直线：.
(1)若直线与圆相切，求的值；
(2)若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标，
【答案】(1)或
(2)，
【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可，
（2）当时，直线的方程为，而四边形的面积，由圆的性质可得当最小时，切线长最短，此时，求出直线的方程，联立两直线方程可得点的坐标.
【详解】（1）由已知，圆心到直线：的距离等于半径，
即.
解得：或.
（2）当时，直线的方程为，四边形的面积
∵为直角三角形，
当最小时，切线长最短，显然当时，
∴
四边形的面积最小值为.
此时，，，
∴直线：，即.
由，解得，即.
5.数量积型
23．若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．8
【答案】C
【分析】由于直线：与轴、轴分别交于、两点，分别令，求得点坐标，再将圆：化成标准方程，由参数方程表示点的坐标，再代入中，由三角函数的最值即可求得的最小值.
【详解】令则，即，
令，则，即，
圆：，则设点，
当时取得最小值.
故选：C.
24．已知点为圆的弦的中点，点的坐标为，且，则的范围是 ．
【答案】
【分析】设，，利用向量模的坐标运算求出点的轨迹方程为，由，根据点的轨迹方程即可求解.
【详解】设，
，
， ，
，即，
，所以 .
因为的轨迹是以为圆心，为半径的圆
所以的取值范围为，即
则的范围是
故答案为：
【点睛】本题考查向量的运算，圆的轨迹方程，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据，将问题转化为，进而求得的轨迹方程，进一步将问题转化为的横坐标的取值范围问题求解.
25．已知圆的圆心在直线上，且圆在轴、轴上截得的弦长和分别为和.
(1)求圆的方程；
(2)若圆心位于第四象限，点是圆内一动点，且，满足，求的范围.
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）设圆心为，半径为，根据已知条件列方程，解方程组求出圆心坐标和半径，写出标准方程；
（2）先得到向量的坐标，结合可得到，根据在圆内，可得到，即可得到答案
【详解】（1）设圆心为，半径为，
则有，解得或，
所以圆的方程为或；
（2）∵圆心在第四象限，∴圆的方程为，
令，解得，
∴，，
∴，
∵，满足，
∴，
又∵在圆内，满足且，
∴，解得，
∴.
26．已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据直线与圆相切得勾股定理，由数量积的定义求解得，即可根据抛物线的焦半径求解.
【详解】解：因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：

连接，过作垂直准线于，
则在直角中，，
所以
由抛物线的定义得：，则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即，
所以.
故选：B
6.坐标型
27．在平面直角坐标系中，已知 ，曲线上任一点满足，点在直线上，如果曲线上总存在两点到点的距离为，那么点的横坐标的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据可求出曲线的方程，根据曲线上总存在两点到点的距离为，可得到点到圆心的距离小于，解不等式即可.
【详解】设，因为满足
化简得：
∴曲线的方程：，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，如图所示：
设点，只需点到圆心的距离小于即可．
此时点在点与点之间.
∴．
解得：．
故选：A
28．在平面直角坐标系中，圆，点T在直线上运动，若圆C上存在以为中点的弦，且，则点T的纵坐标的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由为的中点，且得为直角三角形，，而对点而言最大时，是圆的切线，题意说明过点向圆引的两条切线的夹角不小于，求出是圆的切线且时线段的长，只要圆心到点的距离不大于这个长度即可满足题意，由此可得．
【详解】为的中点，且，为直角三角形，，
若，为切线，且，则，
在中 则，
过点向圆引的两条切线的夹角不小于时，满足题意，则圆心到的距离不大于，
即解得.
故选：C.
29．已知函数是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点的纵坐标的最大值是（ ）.
A．6B．4C．2D．0
【答案】B
【分析】因为为二次函数，故为偶函数时，对称轴为，可求出和的关系，而图象与轴交点的纵坐标是，数形结合求最值即可.
【详解】解：因为是偶函数，
所以，所以，即，，
所以是圆位于x轴上和上方的半圆上的点.
又因为，
即求的最大值，
令，则，它表示斜率为2的直线，
如图：
当直线过点时，
在直线在轴上的截距最小，从而最大，即
故选：B．
30．已知点，圆的半径为1.
(1)若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程；
(2)若圆的圆心在直线上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】(1)或
(2)或.
【分析】（1）根据圆心到直线的距离分直线斜率存在与不存在求解；
（2）由条件求出M所在圆，利用两圆相交求出的取值范围.
【详解】（1）由题意得圆标准方程为，
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
由，解得：，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意；
所以切线的方程为或.
（2）由圆心在直线上，设，
设点，由，
得：，
化简得：，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上.
又点在圆上，所以圆与圆有交点，
则，即，
解得：或.
31．VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点.
(1)求成功点的轨迹方程；
(2)为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，机器人运动速度为，依题意得，整理即可得解；
（2）设直线：，根据直线与点的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离等于半径，即可求出的取值范围，从而求出点纵坐标的取值范围.
【详解】（1）解：设，，机器人运动速度为，
由题意可得，化简得.
由于点在矩形场地内，则.
所以成功点的轨迹方程为.
（2）解：由题意可知直线的斜率存在，不妨设直线：，
直线与点的轨迹没有公共点，
由直线与圆的位置关系可得，解得.
则点纵坐标，
又因为，所以.
7.参数的范围
32．曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出表示的曲线，而表示经过定点的一条动直线，利用斜率数形结合可得结果.
【详解】由题意得，即，其表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，而表示经过定点的一条动直线，如下图所示，当直线与半圆相切于点时，由得，又点，则，由图可知，即.
故选：A.
33．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围 .
【答案】
【分析】画出和的图像，数形结合得出实数的范围.
【详解】设，，图像如图所示，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，
解得：（舍），或
当直线过点时，可求得直线的斜率，
则利用图像得：实数的范围为
故答案为：
34．已知，，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，由得，即可知的轨迹为，要使圆上存在点，即圆与有交点，进而可得半径的范围.
【详解】设，则，，
∵，即，
∴，即在以原点为圆心，半径为1的圆上，
而圆的圆心为，半径为R，
∴圆上存在点，即圆与有交点，
∴.
故选：A
【点睛】关键点点睛：由及向量垂直的数量积公式即可确定的轨迹，要使圆上存在点，只需保证圆与的轨迹有交点即可.
35．已知圆O：x2＋y2＝4和圆O外一点P(，)，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠AOB＝120°．若点C(8，0)和点P满足PO＝PC，则的范围是 ．
【答案】.
【分析】根据可知，利用构造方程可求得；根据且可解不等式求得结果.
【详解】， ，即
又且 且
解得：
，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式.
36．已知曲线与直线交于两点和且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为.若曲线与有公共点，则的最小值为
【答案】
【分析】根据题意知圆是圆心在直线上且半径为的圆.欲保证圆与区域有公共点且的值最小，只需考虑圆与直线相切或者经过点时的情况.分别计算两种情况下的值，比较即可.
【详解】
∵即
∴圆是以为圆心，以为半径的圆，且圆心总在直线上.
如图，欲使值达到最小，只需保证圆与区域的公共点尽可能靠近最左边，故只需考虑圆与直线相切或者经过点的情况.下面分别进行：
、当圆与直线相切时有
，解得，
∵要取最小值，故这里取，此时
联立解得切点横坐标为，故切点在区域边界上，符合题意；
、当圆过点时，
联立得，解得，，即点坐标为，
将点代入圆的方程化简得
，解得或，
同理，此处取，
∵，
∴的最小值为.
故答案为：.
1．若实数满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，求得斜率取值范围即可.
【详解】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，

则AB的方程为，
由切线性质有，，解得，故的取值范围为，
故选：D
【点睛】方法点睛：根据的几何意义即点到的斜率，从而转化为斜率范围进行求解.
2．已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据所过定点和位置关系可得点P轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式可得面积最小值.
【详解】根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点，
因为，所以无论m取何值，都有，
所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，
设，则点P的轨迹方程为，
圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．
由题可知，，则，
所以的面积的最小值为．
故选：B

3．过作圆与圆的切线，切点分别为，，若，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】利用圆切线的性质，结合代入法、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】圆，显然，半径为1，
圆，显然，半径为2，
因为是分别是圆，圆的切线，
所以，
因为，
所以有，
即，
化简，得代入中，
得，
所以当时，的最小值，
故答案为：

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用圆的切线性质得到等式.
4．点是直线上的动点，过点作圆的切线，分别相切于、两点，则的最小值为 ；四边形面积的最小值为 ；
【答案】 /
【分析】由圆的几何性质可知，，分析可知，当与直线垂直时，取最小值，求出的最小值，结合勾股定理可求出的最小值，证明出，可得出，结合三角形的面积公式可求得四边形面积的最小值.
【详解】圆的圆心为坐标原点，如下图所示：
由圆的几何性质可知，，由勾股定理可知，，
当与直线垂直时，取最小值，且，
所以，，
由切线长定理可得，又因为，，
所以，，
所以，，
故四边形面积的最小值为.
故答案为：；.
5．对平面上两点A、B，满足的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，若动点P满足，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定，利用三角形三边关系可知当三点共线时，，即为所求最小值.
【详解】
由题意知：，即，
（当且仅当三点按顺序共线时取等号），
又，的最小值为；
故答案为：.
6．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为 ，三角形面积的最小值为 .
【答案】 /7.5
【分析】利用给定条件，结合直线在坐标轴上的截距的意义计算即可；求出及点到直线的距离最小值即可作答.
【详解】直线交轴于点，交轴于点，
所以直线在x和y轴上的截距之和为；

圆，即的圆心，半径为，
点到直线的距离，
因此圆上的动点到直线的距离最小值为，
所以面积的最小值为.
故答案为：；
7．已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线斜率之积是 ；线段中点的纵坐标的取值范围是 ．
【答案】 1
【分析】（1）设出切线方程，利用直线与圆相切，列出方程，根据韦达定理求出切线的斜率之积；（2）利用韦达定理求出两点的纵坐标，建立中点的坐标与之间的函数关系式，根据的取值范围确定中点纵坐标的取值范围.
【详解】因为点在抛物线上，
所以，解得，所以抛物线方程为.
由题可知，过引圆的切线斜率存在.
设切线的方程为，
则圆心到切线的距离
整理得，
设切线的方程为，
同理可得，
因此是方程的两个根，
所以，
设，
由得，
由韦达定理知，所以，
同理可得，
设中点坐标为，
则
因为，所以，
所以,所以.
故答案为；；.
8．（多选）已知为坐标原点，，动点满足，记的轨迹为曲线，直线的方程为，交于两点、，则下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．的取值范围是
C．的最小值为8
D．可能是直角三角形
【答案】ABC
【分析】设，可求点的轨迹方程判断A；利用有两交点可求的范围判断B；联立方程组可求的最小值为8判断C；求得的斜率的范围可判断D．
【详解】对A，设，由题意可得，整理可得，所以A正确；
对B，且圆心的坐标，半径，则圆心到直线的距离，
要使有两个交点，可得，即，可得，所以B正确；
对C，联立，整理可得：，
，即，，，
，
所以，
当满足时，的值最小，最小值为8，所以C正确；
对D，由的最小值为8，可知不可能为直角顶点，
不妨设在的下方，可知不可能为直角顶点，
设过原点与的直线方程为，由圆心到直线的距离，
解得，解得，，
故不与垂直，
不可能是直角三角形，故D错误．
故选：ABC．
9．（多选）已知抛物线:与圆:，点在抛物线上，点在圆上，点，则（ ）
A．的最小值为
B．最大值为
C．当最大时，四边形的面积为
D．若的中点也在圆上，则点的纵坐标的取值范围为
【答案】ACD
【分析】对于A，根据，结合抛物线的定义可判断A；
对于B，设是圆的切线，切点为，根据， ，可得，由此可判断B；
对于C，根据两点在轴异侧，且与抛物线相切于，与圆相切于，可求出四边形的面积，由此可判断C；
对于D，设的中点为，是圆的切线，切点为，利用圆的切割线长定理得到，再根据得到，再根据抛物线的定义可求出点的纵坐标的取值范围，由此可判断D.
【详解】由可知其焦点为圆的圆心，圆的半径为，设，则，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，设是圆的切线，切点为，则，
，
因为，所以，所以，
所以，即最大值为，故B不正确；

对于C，如图：当两点在轴异侧，且与抛物线相切于，与圆相切于时， 取得最大值，

不妨设点在第一象限，则点在第四象限，
设直线：，代入，消去并整理得，
所以，所以，因为，所以，
所以，所以，所以，即，
此时，
当与圆相切于时，，
，
所以四边形的面积为，故C正确；
对于D，如图设的中点为，是圆的切线，切点为，
根据圆的切割线长定理可得，
又，所以，
因为，所以，所以，
设，则，所以，所以，
所以，所以，即点的纵坐标的取值范围为.故D正确；
故选：ACD
10．已知满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由题意，点的轨迹是圆，然后将问题转化为求圆上的点到直线距离的最小值，进而求出结果.
【详解】由得，
整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点到直线距离的倍，
而圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以圆上的点到直线距离的最小值为，
所以的最小值为.

故答案为：.
11．已知直线交于不同的、两点，．
(1)求直线的方程；
(2)若为上一动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心到直线的距离，求出圆的半径的值，由勾股定理可得出，求出的值，即可得出直线的方程；
（2）取线段的中点，利用平面向量数量积运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.
【详解】（1）解：圆心为，圆心到直线的距离为，
由题意可知，圆的半径为，
由勾股定理可得，即，整理可得，解得，
因此，直线的方程为，即.
（2）解：设线段的中点为，由垂径定理可知，
且，
，
因为，则，
所以，直线的方程为，即，
联立，解得，即点，
则，

所以，，
当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立，
所以，，
故的最小值为．
12．（1）如果实数x，y满足，求的最大值和最小值；
（2）已知实数x，y满足方程，求的取值范围．
【答案】（1）最大值、最小值分别为；（2）
【分析】（1）解法一：如图，当过原点的直线l与圆相切于上方时最大，相切于下方时最小，结合图形求出直线的倾斜角可得答案，解法二：令，将与联立，化简后由可求出结果，
（2）可以看成圆上的点到的距离，然后结合图形可求得结果.
【详解】（1）解法一：如图，当过原点的直线l与圆相切于上方时最大，过圆心作切线l的垂线交于B，

在中，．
∴切线l的倾斜角为，∴的最大值为．
同理可得的最小值为．
解法二：令，将与联立，消去y得，
，即，
∴，即的最大值、最小值分别为．
（2）可以看成圆上的点到的距离．
圆心到的距离为．
由图可知，圆上的点到的距离的范围是，
则的取值范围是．