第10练 对数与对数函数-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.（人A必修一P126习题4.3T6（1）变式）已知,则（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】B
【解析】因为,所以,所以.故选.
2.（人A必修一P140习题4.4T1变式）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意,解得．故选A．
3. （人A必修一P126习题4.3T6变式）若,则
【答案】
【解析】.
4. （人A必修一P140习题4.4T10变式）声音大小（单位：）取决于声波通过介质时所产生的压力（简称声压,单位：）变化.已知声压x与声音大小y的关系式为.根据我国《工业企业噪声卫生标准》规定,新建企业工作地点噪音容许标准为85.若某新建企业运行时测得的声音大小为60,符合《工业企业噪声卫生标准》规定,则此时声压为
【答案】0.02
【解析】由题意可得,所以1g,解得.
二、考点分类练
(一)指数幂的运算
5．（2022届重庆南开中学高三质量检测）浮萍是我国南方常见的一种水生植物,生长速度非常快．最快每30个小时浮萍铺在水面的面积就可以扩大为原来的2倍．李大爷承包了一块面积为3亩（1亩≈666.7平方米）的鱼塘,为养殖草鱼购买了一些浮萍．最初,浮萍铺在水面上大约有1平方米,如果浮萍始终以最高效繁殖,大约（ ）天后,浮萍可以铺满整个鱼塘．（不考虑草鱼对浮萍的损耗．结果四舍五入到整数,参考数据：）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【解析】由题,鱼塘面积共平方米,浮萍天后在水面上的面积大约有平方米,故浮萍铺满整个鱼塘的天数满足,两边取对数化简有,解得,故大约14天后,浮萍可以铺满整个鱼塘,故选B
6.（多选）（2022届广东省汕头市高三二模）设a,b,c都是正数,且,则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】设,则,,,
所以
,
即,所以,所以,故D正确；
由,所以,故A正确,B错误；
因为,,
又,所以,即,C正确.
7．（2022届四川省攀枝花市高三5月统考）已知,,则________．
【答案】．
【解析】因为,,所以,,
．
(二)指数函数的图象及应用
8.（2022届四川省成都市石室中学高三下学期三诊）设为指数函数（且）,函数的图象与的图象关于直线对称．在,,,四点中,函数与的图象的公共点只可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【答案】D
【解析】由题意,知．逐一代入验证,点代入中,求得：,不合要求,舍去；
点代入中,解得：,将代入中,,Q点不在上,不合要求,舍去；点代入中,解得：,将代入中,,解得：,故与矛盾,舍去；代入中,,解得：,将代入中,,解得：,满足题意.故仅点N可能同时在两条曲线上．故选D．
9.（多选）（2022届重庆市第八中学高三下学期调研）在同一直角坐标系中,函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】当时,在单调递增且其图象恒过点,在单调递增且其图象恒过点,则选项B符合要求；当时,在单调递减且其图象恒过点,
在单调递减且其图象恒过点,则选项D符合要求；综上所述,选项B、D符合要求.故选BD.
10．已知函数,若函数有个零点,则实数的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】在上单调递增且值域为；在上单调递减且值域为；
在上单调递增且值域为；故的图象如下：
由题设,有个零点,即有7个不同解,
当时有,即,此时有1个零点；
当时有,即,
∴有1个零点,有3个零点,此时共有4个零点；
当时有或或,
∴有1个零点,有3个零点,有3个零点,此时共有7个零点；
当时有或或,
∴有1个零点,有3个零点,有2个零点,此时共有6个零点；
当时有或,
∴有3个零点,有2个零点,此时共有5个零点；
综上,要使有7个零点时,则,(),故选BD
(三)指数函数的性质及应用
11．（2022届四川省内江市高三第三次模拟）设,,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得：,
,故选D
12.（2022届湖北省二十一所重点中学高三下学期第三次联考）设集合,,下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于集合,因为与互为反函数,所以,互相关于对称,而,所以,只需要即可,因为,所以,,得,设,得,所以,,,单调递增；,,单调递减,所以,,得到,所以,；
对于集合,化简得,设,,因为,
可设,,
单调递减,又,所以,当时,,,,单调递减,利用洛必达法则,
时,,
所以,,所以,；
由于,,所以,D正确,故选D
13．（2022届江西省赣州市于都县高三二模）若函数在上是减函数,则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意可得且,因为函数在上是减函数,所以,
所以,即,是减函数,由于在上是减函数,所以,
所以的取值范围是.
三、最新模拟练
14．（2022届江西省高三二轮复习验收考试）已知函数则（ ）
A．在R上单调递增,且图象关于中心对称
B．在R上单调递减,且图象关于中心对称
C．在R上单调递减,且图象关于中心对称
D．在R上单调递增,且图象关于中心对称
【答案】D
【解析】当时,,
当时,,
时,,
即对任意实数x恒有,,故图象关于中心对称；
当时,单调递增；当时,单调递增,且图像连续,
故在R上单调递增,故选D.
15．（2022届安徽省高三下学期适应性考试）已知是奇函数,若恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】是奇函数,恒成立,
即恒成立,
化简得,,即,
则,解得,又且,,
则,所以,
由复合函数的单调性判断得,函数在上单调递减,又为奇函数,
所以在上单调递减；由恒成立得,
恒成立,
则恒成立,
所以恒成立,解得.故选B.
16．（2022届安徽省蚌埠市高三下学期第三次教学质量检查）设,,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由,可得,故,即,,即,又时,,,故,综上.故选D.
17．（多选）（2022届江苏省淮安市六校高三上学期联考）已知,且,,若,则下列不等式可能正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】∵,∴若,则,即．∴,故A正确．,故D正确．若,则,∴,,故BC错误, 故选AD
18．（多选）关于函数（）,下列说法正确的有（ ）
A．,至少有两个零点B．,只有两个零点
C．,只有一个零点D．,有三个零点
【答案】CD
【解析】函数（）有零点有解,
有解,
令,方程有解,
对C,当,即时,与没有交点,
根据绝对值函数的图象可得：方程有1个解,故C正确；
对D, 当,即时,与有两个交点,,
根据绝对值函数的图象可得：方程有3个解,故D正确；
根据简易逻辑知识可知A,B错误；故选CD
19．已知,则__________．
【答案】3
【解析】因为,,所以,
令,则,因为当时,,
所以在上单调递增,所以,
所以,即,所以．
20．（2022届河北省高三下学期4月全过程纵向评价）几何分布（Gemetric distributin）是一种离散型概率分布,定义：在n次伯努利试验中,试验k次才得到第一次成功的机率,即前次失败,第k次成功的概率,因此实验次数k服从几何分布．现甲参加射击考核,甲每次命中的概率为0.68,考核通过的规则为命中即可获得“通过”,故考核通过的射击次数服从几何分布,若每次射击需要一发子弹,则甲至少需要申请______发子弹保证有98％的概率获得“通过”．（参考数据：）
【答案】4
【解析】设甲申请了发子弹,则能获得“通过”的概率
,
令,即,即,
两边取以10为底的对数得,
即,即,
即,故．
21．（2022届福建省福州市协作体高三上学期期中联考）已知函数
(1)求的定义域并判断的奇偶性；
(2)求函数的值域；
(3)若关于的方程有实根,求实数的取值范围
【解析】 (1)由题意可得,
由,得,
所以的定义域为,
因为定义域不关于原点对称,
所以为非奇非偶函数,
(2),
因为,所以,所以,
所以,
所以,
所以的值域为,
(3)关于的方程有实根,即在上有实根,
令,
因为在上单调递减,而在上单调递增,
所以在上单调递减,
所以在上的最小值为,最大值为,
所以,
所以当时,方程有实根
四、高考真题练
22. （2021新高考Ⅱ卷） 已知,,,则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,即.故选C.
23．(2021全国卷Ⅰ)设,,．则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,
所以;
下面比较与的大小关系．
记,则,,
由于
所以当0