第12练 函数与方程-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.（人A必修一P155习题4.5T1变式）下列函数图象与x轴都有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意,利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反,即穿过x轴,据此分析选项：A选项中函数不能用二分法求零点,故选A.
2.（人A必修一P155习题4.5T2变式）已知函数的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表：
则下列结论正确的是（ ）
A．在内恰有3个零点B．在内至少有3个零点
C．在内最多有3个零点D．以上结论都不正确
【答案】B
【解析】依题意,（2）,（3）,（4）,（5）,根据零点的存在性定理可知,在区间和及内至少含有一个零点,故函数在区间上的零点至少有3个,故选．
3. （人A必修一P144练习T2变式）设函数的零点为,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】易知在R上单调递增且连续．由于,,,当时,,所以．故选B
4. （人A必修一P155习题4.5T7变式）若关于的方程的一根大于1,另一根小于1,则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意,关于的方程的一根大于1,另一根小于1,设,根据二次函数的性质,可得,解得,所以实数的取值范围为.
二、考点分类练
(一)函数零点所在区间的判断
5．（2022届天津市红桥区高三下学期一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数 是上的连续增函数,,
可得,所以函数 的零点所在的区间是.故选C
6. （2022届河南省焦作市高三第一次模拟）设函数的零点为,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】易知在R上单调递增且连续．由于,,,当时,,所以．故选B
(二)函数零点个数的判断
7．函数的零点个数为（ ）个
A．2B．1C．0D．3
【答案】A
【解析】由,由,所以函数的零点个数为2,故选A.
8. （2022届天津市静海区高三下学期3月调研）已知函数是周期为的周期函数,且当时时,,则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】零点个数就是图象交点个数,作出图象,如图：由图可得有个交点,故有个零点．故选B ．
9.（2022届安徽省十校联盟高三下学期4月联考）已知函数,则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】令,当时,且递增,此时,当时,且递减,此时,当时,且递增,此时,
当时,且递增,此时,所以,的零点等价于与交点横坐标对应的值,如下图示：
由图知：与有两个交点,横坐标、：当,即时,在、、上各有一个解；当,即时,在有一个解.综上,的零点共有4个.故选B
(三)函数零点的应用
10．（2022届四川省攀枝花市高三上学期考试）已知直线与函数的图象恰有个公共点,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意,函数,作出的图象：
当时,直线和函数的图象只有一个交点；当时,直线和函数的图象只有一个交点,直线和函数的图象有2个交点,即方程在上有2个实数根,,则有,解可得,即的取值范围为,
11.（2022届黑龙江省大庆市高三第三次质量检测）已知定义域为R的偶函数满足,当时,,则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【解析】因为函数满足,所以函数的图象关于直线对称,
又函数为偶函数,所以,
所以函数是周期为2的函数,
又的图象也关于直线对称,
作出函数与在区间上的图象,如图所示：
由图可知,函数与的图象在区间上有8个交点,且关于直线对称,
所以方程在区间上所有解的和为,故选A.
12．已知函数,若有三个不同的实数,使得,则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：；
当时,单调递增；当时,单调递减；且时,关于对称；当时,单调递增；
又,,,
设,由知：,,
.故选B.
三、最新模拟练
13.（2022届安徽省部分学校高三上学期期末联考）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知得为上的递增函数,,,,,
由零点存在定理可知,在区间存在零点,故选.
14．（2022届江西省重点中学盟校高三第二次联考）已知函数,,的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知条件得的零点可以看成与的交点的横坐标,的零点可以看成与的交点的横坐标,的零点可以看成与的交点的横坐标,
在同一坐标系分别画出,,,的函数图象,如下图所示,
可知,故选.
15.（2022届北京市丰台区高三上学期期末）已知函数,若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数有两个不同的零点,即为函数与直线有两个交点,
函数图象如图所示：
所以,故选D.
16.（2022届江西省萍乡市高三二模）已知函数,则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】时,由得,时,由得或,
所以四个零点和为．故选D．
17.（2022届福建省莆田市高三三模）已知函数,函数,则下列结论正确的是（ ）
A．若有3个不同的零点,则a的取值范围是
B．若有4个不同的零点,则a的取值范围是
C．若有4个不同的零点,则
D．若有4个不同的零点,则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】令得,即
所以零点个数为函数与图像交点个数,
故,作出函数图像如图,
由图可知,有3个不同的零点,则a的取值范围是,故A选项错误；
有4个不同的零点,则a的取值范围是,故B选项正确；
有4个不同的零点,此时关于直线对称,所以,故C选项正确；
由C选项可知,所以,由于有4个不同的零点,a的取值范围是,故,所以,故D选项正确.故选BCD
18.（2022届河北省高三下学期4月全过程纵向评价）已知函数有四个不同零点,分别为,,则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意知有四个不同的根,显然 ,即,
令,即,即．另外,,,
令得,故在区间上单调递减,在区间上单调递增,
当时,,如图所示．
根据题意知存在两根,,不妨设 ,则满足,．
即有,,则由图象可知,故A正确；
由于,,故,
由图象可知, ,,故,
即,B错误；
结合以上分析可知,故C正确；
由,,得,
两边取自然对数得, D正确, 故选ACD．
19.（2022届重庆市第八中学校高三下学期月考）已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．N*
B．恒成立
C．关于x的方程R)有三个不同的实根,则
D．关于x的方程N*)的所有根之和为
【答案】AC
【解析】由题知,故A正确；
由上可知,要使恒成立,只需满足时,成立,即 ,即成立,令,则得,易知当时有极大值,故B不正确；
作函数图象,由图可知,要使方程R)有三个不同的实根,则,即,故C正确；
由可知,函数在上的函数图象可以由上的图象向右平移一个单位长度,在将所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍得到,由于的对称轴为,故的两根之和为,同理,的两根之和为,…,的两根之和为,故所有根之和为,故D错误.故选AC
20.（2022届四川省成都市高三下学期“三诊）若函数的图象关于直线对称,且直线与函数的图象有三个不同的公共点,则实数k的值为______．
【答案】
【解析】由已知可得,是的两个零点,因为函数图象关于直线,因此和也是的零点,
所以
．
由题意可知,关于的方程有三个不同的实数解．
令,则关于的方程有两个不同的实数解,,
且关于的方程与中一个方程有两个相同的实数解,另一个方程有两个不同的实数解,
则或,因此与中有一个等于,另一个大于．
不妨设,则,解得,此时,解得、满足条件,
因此．
21.（2022届浙江省绍兴市高三下学期4月考试）已知a,,若,,是函数的零点,且,,则的最小值是__________．
【答案】
【解析】即,可转化为两函数图象的交点
①若,此时,由对称性可知,不合题意
②若,此时,由题意得
对于方程
故解得
故
令,
故在上单调递减,在上单调递增
故的最小值为
22.（2022届重庆市西北狼教育联盟高三上学期质量检测）函数满足,当时,,若有8个不同的实数解,则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】由得：对称轴为,当时,,当时,,当时,,故在处取得极小值,且为最小值,,令,则,要想有8不同的实数解,故要有两个根,则,解得：或,且两根均要大于,所以要满足,解得：,综上：.
四、高考真题练
23． (2018全国卷Ⅰ)已知函数,．若存在个零点,则的
取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得,作出函数和的图象如图
当直线的截距,即时,两个函数的图象都有2个交点,即函数存在2个零点,故实数的取值范围是,故选C．
24.(2017全国卷Ⅲ)已知函数有唯一零点,则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一：,设,
当时,,当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增,当时,函数取得最小值,设,当时,函数取得最小值,若,函数和没有交点,当时,时,函数和有一个交点,即,所以,故选C．
法二：由条件,,得：
所以,即为的对称轴
由题意,有唯一零点,∴的零点只能为即
解得．
25.(2020全国卷Ⅲ)设函数,曲线在点(,f())处的切线与y轴垂直．
(1)求b．
(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【解析】（1）因为,
由题意,,即,则；
（2）由（1）可得,
,
令,得或；令,得,
所以在上单调递减,在,上单调递增,
且,
若所有零点中存在一个绝对值大于1零点,则或,
即或．
当时,,
又,
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点,
即在上存在唯一一个零点,在上不存在零点,
此时不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾；
当时,,
又,
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点,
即在上存在唯一一个零点,在上不存在零点,
此时不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾；
综上,所有零点的绝对值都不大于1．
26.(2019全国卷Ⅱ)已知函数．
讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点；
设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
【解析】的定义域为.
因为,所以在和上是单调递增.
因为,,
所以在有唯一零点,即．
又,,故在有唯一零点．
综上,有且仅有两个零点．
因为,故点在曲线上．
由题设知,即,
故直线的斜率．
曲线在点处切线的斜率是,曲线在点处切线的斜率也是,所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．
五、综合提升练
27. （2022届天津市宝坻区高三上学期考试）已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时,在上单调递减,又,
所以函数在上没有零点,
在上单调递增,
所以函数在上至多有一个零点,
故当时,函数在R上至多有一个零点,不合题意；
当时,,
,令,得,
∴时,,函数单调递增；时,,函数单调递减,
∴时,函数有最大值,,
∴当,即时,函数在上没有零点,
当,即时,函数在上有一个零点,
当,即时,函数在上有两个零点；
对于,,对称轴为,函数在上最小值为,又,
∴当,即,函数在上没有零点,
当,即,函数在上有一个零点,
当,即,函数在上有两个零点；
所以要使函数恰有两个零点则,或a=-12ea=-1,或,
解得或；
综上,实数的取值范围是或.故选C.
28.（2022届江西省八校高三第一次联考）已知函数的三个零点分别为,其中,则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,显然,令,（）,即,（）令,（）,则
,（）,
令,（）,
要想除1外再有两个零点,则在上不单调,则,解得：或,
当时,在恒成立,则在单调递增,不可能有两个零点,舍去
当时,设即的两根为,且,则有,故,
令,解得：或,令,解得：,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
因为,所以,
又因为,若,则,因为,所以,
所以
,
因为,所以,故.
检验：当时,（）,,此时在上单调递增,又,即,此时为临界情况,
综上：的取值范围为.故选C
29.（2022届江苏省泰州市高三上学期期中）已知关于x的方程有两个不等的实根x1,x2,且x1＜x2,则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】由,令,令．
当时,；当时,,所以函数在单调递减,在单调递增
,要使方程有两个不等的实根,即与有两个不同的交点,当时,,且,所以可知,,此时A不成立,故A错误．
由A可知,,构造,
,在上单调递增,,
,即,由在单调递增,所以,故B正确．对于C,由,,所以,
又,所以,则,所以,故C正确．对于D,由
所以,而由C知,又,D正确．故选BCD．
30.（2022届河南省郑州市高三第二次质量预测）已知函数,（）,（）,给出下列四个命题,其中真命题有________．（写出所有真命题的序号）
①存在实数k,使得方程恰有一个根；
②存在实数k,使得方程恰有三个根；
③任意实数a,存在不相等的实数,使得；
④任意实数a,存在不相等的实数,使得．
【答案】①②④
【解析】画出的函数图象,如图：
经过定点,从图中可以看出存在实数k,使得方程恰有一个根；①正确；
存在实数k,使得方程恰有三个根,②正确；
要想对任意实数a,存在不相等的实数,使得,只需函数,（）始终有两个交点,当时,,开口向上,且最小值为,此时图象如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数,显然此时两函数只有一个交点,故③错误；
要想对任意实数a,存在不相等的实数,使得,即,只需与,无论a取何值,都有两个交点,其中开口向下,且有最大值为,且恒过,画出两函数图象如下,其中为一组抛物线,用虚线表示：
无论a取何值,都有两个交点,④正确；故答案为①②④
x
1
2
3
4
5
6
y
10
8
2