第30练 空间几何体的结构、表面积与体积-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P105习题8.1T6变式）以下结论中错误的是（ ）
A．经过不共面的四点的球有且仅有一个B．平行六面体的每个面都是平行四边形
C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直
2.（人A选择性必修二P111习题8.2T5变式）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3. （人A选择性必修二P119习题8.3T4变式）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
4. （人A选择性必修二P119习题8.3T5变式）长､宽､高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________.
二、考点分类练
(一)空间几何体的结构
5. 如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等边三角形
C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
6. （2022届河北省邯郸市高考二模）如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（ ）
A．A与BB．D与EC．B与DD．C与F
7. 下列说法正确的是（ ）
A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等
B．五棱锥只有五条棱
C．一个棱柱至少有五个面
D．棱台的各侧棱延长后交于一点
(二)空间几何体的表面积
8．（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知圆锥的底面半径为，当圆锥的侧面积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
9. （2022届上海市松江一中高三下学期3月阶段测试）体积相等的正方体、球、等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）全面积分别为、、，那么它们的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10. （2023届江西省名校联考高三7月第一次摸底）已知圆台的上、下底面半径分别为，若该圆台的表面积为，母线长为2，且，则________．
(三)空间几何体的体积
11. （2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三上学期一模）已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
12. （2023届湖北省九校教研协作体高三上学期起点考试）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为（ ）（其中的值取3）
A．11280cm3B．12380cm3C．12680cm3D．12280cm3
13. （多选）（2022届重庆市南开中学校高三第九次质量检测）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．某天小明在广场上发现了如图1所示的一个石凳，其形状是将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”（如图2所示）．小明用卷尺测量出这个石凳的高度为50cm，他给出了如下判断，请你指出小明的哪些判断是正确的（ ）
A．这个石凳共有24条棱，12个顶点，14个面
B．一个体积为1立方米的正方体石料可以切割出8个这样的石凳（不计损耗）
C．这个石凳也可以由一个直径为70cm的球形石料切割而成（不计损耗）
D．如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度会增加
14.（2023届河南省新未来高三上学期8月联考） 六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为______．
三、最新模拟练
15. （2023届江苏省南京市高三上学期7月学情调）在△ABC中，.则以BC为轴，将△ABC旋转一周所得的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
16. （2022届四川省内江市第六中学高三下学期考前第一次强化训）如图，正方形的边长为为的中点，将沿向上翻折到，连接，在翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）
①四棱锥的体积最大值为②．中点的轨迹长度为
③与平面所成角的正弦值之比为
④三棱锥的外接球半径有最小值，没有最大值
A．①③B．②③C．①③④D．①②③
17. （多选）（2022届河北省保定市高三上学期期末）如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
18. （多选）（2022届湖北省武汉市第二中学高三下学期5月全仿真模拟）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ）
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体的体积
19. （2022届江苏省盐城中学高三下学期5月仿真）把边长为1的实心正六面体磁性几何魔方按图方式分成12块：（1）取6条面上的对角线；（2）考虑以立方体中心为顶点，上述6条对角线及12条棱之一为对边的三角形；（3）这18个三角形把立方体切成了12块，每块是一个四面体，每个四面体有两条棱是立方体的棱；（4）每个四面体仅通过其上立方体的棱和其它四面体连接．
则在此玩具所有可能的形状中，其上两点之间空间距离的最大值为__________．
20. （2022届星云联盟高三统一模拟）已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，．若三棱锥的体积为，则球的表面积为__________．
21. （2022届四川省内江市第六中学高三下学期第三次强化训练）如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为.
(1)求证：平面平面；
(2)求几何体的体积
22. （2023届湖北省九校教研协作体高三上学期起点考试）查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为，钝角为）的原因．
四、高考真题练
23. (2022高考全国卷甲) 甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为,侧面积分别为和,体积分别为和．若,则（）
A. B. C. D.
24.（2022高考全国卷乙）已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为（）
A. B. C. D.
25. （2022新高考全国卷 = 1 \* ROMAN I）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时,相应水面面积为；水位为海拔时,相应水面的面积为,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为（）
A. B. C. D.
26. （2022新高考全国卷 = 1 \* ROMAN I）已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是
AB. C. D.
27. （2022新高考全国卷 = 2 \* ROMAN II）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
A. B. C. D.
五、综合提升练
28. （2022届江西省南昌市高三第三次模拟）已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
29. （2023届江苏省南京市高三上学期7月学情调研）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.
30. 已知正方体.
(1)若正方体的棱长为1，求点到平面的距离；
(2)在一个棱长为10的密封正方体盒子中，放一个半径为1的小球，任意摇动盒子，求小球在盒子中不能达到的空间的体积；
(3)在空间里，是否存在一个正方体，它的定点到某个平面的距离恰好为0、1、2、3、4、5、6、7，若存在，求出正方体的棱长，若不存在，说明理由.