第34练 空间向量与立体几何（课本变式练+考点分类练+最新模拟练+高考真题练+综合提升练）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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一、课本变式练
1.（人A选择性必修一P9习题1.1T2变式）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2.（人A选择性必修一P14练习T2变式）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3. （人A选择性必修一P22习题1.3T8变式）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
4. （人A选择性必修一P41习题1.3T7变式）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、考点分类练
(一)空间向量的运算
5. 设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6. 已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
(二)利用空间向量处理平行与垂直问题
8．（2022届北京市昌平区高三上学期期末质量抽测）如图，在正方体中， 过点A且与直线垂直的所有面对角线的条数为（ ）
A．B．
C．D．
9. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
10. 如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：平面．
(三)利用空间向量求空间角
11. 在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
12. 已知正方体ABCD—的棱长为4，M在棱上，且1，则直线BM与平面所成角的正弦值为___________．
13. （2022届四川省成都市石室中学高三上学期联测）如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是 的中点,连接．
（1）证明:平面平面;
（2）若,且二面角为,求直线与平面所成角的正弦值．
14.（2023届云南省下关第一中学高三上学期见面考） 如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB．
(1)求证：；
(2)求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．
(四)利用空间向量求距离
15. （2022届山西省长治市第二中学校高三下学期4月月考）在直四棱柱中，底面为正方形，．点P在侧面内，若平面，则点P到的距离的最小值为________．
16. （2022届北京市第五中学高三下学期三模）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知 ，动点 在棱 上，点 在棱 上，且 .
(1)求证： ;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值;
(3)在满足（2）的条件下，求点到平面的距离.
三、最新模拟练
17. （2023届广西桂林市高三上学期阶段性联合检测）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中
①+与1+1是一对相反向量；
②-1与-1是一对相反向量；
③1+1+1+1与+++是一对相反向量；
④-与1-1是一对相反向量．
正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
18. （2022届北京市海淀区首都师范大学附属中学高三下学期三模）如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线与直线相交
B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点
C．存在点，使得直线与直线所成角为
D．三棱锥的体积为定值
19. （2023届广东省七校联合体高三上学期第一次联考）如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是AC和AE的中点，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．D．异面.
20. （2022届青海省高三第四次模拟）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
21. （2023届广东省深圳外国语学校高三上学期第一次月考）如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.
(1)已知平面平面，求证：.
(2)求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.
22. （2022届天津市耀华中学高三下学期二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点E到平面的距离.
24. （2022新高考全国卷Ⅰ）如图,直三棱柱的体积为4,的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值．
25. （2022新高考全国卷2） 如图,是三棱锥的高,,,E是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若,,,求二面角的正弦值．
26. （2021新高考全国卷2）在四棱锥中,底面是正方形,若
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
五、综合提升练
27. 如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则（ ）
A．当增大时，先增大后减小B．当增大时，先减小后增大
C．当增大时，先增大后减小D．当增大时，先减小后增大
28. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是___________.
29. 已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点，，且，点在直线上，为的中点，且直线平面.
（1）设，，，试用基底表示向量；
（2）证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；
（3）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上.
30. 如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．
（1）求证：；
（2）求直线和平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．