第36练 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系（课本变式练+考点分类练+最新模拟练+高考真题练+综合提升练）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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一、课本变式练
1.（人A选择性必修一P88习题2.4T1变式）已知圆方程的圆心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，即，所以圆心坐标为；故选C
2.（人A选择性必修一P98习题2.5T13变式）如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】问题可转化为圆和圆相交，两圆圆心距，由得，
解得，即.故选D
3. （人A选择性必修一P98习题2.5T3变式）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得.
4. （人A选择性必修一P88习题2.4T9变式）已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．
【答案】
【解析】设，则，整理得．
设，．联立，整理得，
故①，②．又，故③．
联立①②③，解得．
二、考点分类练
(一)圆的方程
5. 若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，则.故选A
6. 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【解析】∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，
，解得，∴，，
的方程为.
7. 已知圆C的圆心为点，且与坐标轴相切.
(1)求圆C的方程；
(2)求直线被圆C所截得的弦长.
【解析】（1）∵圆C的圆心为点，且与坐标轴相切，
∴圆C的半径为，
∴圆C的方程为.
（2）∵圆C的圆心，
∴圆心C到直线l的距离为.
∴所求的弦长为.
(二)直线与圆
8．（2022届重庆市第八中学校高三下学期适应性月考）直线截圆截得的弦长为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以弦长为.故选D.
9. 已知过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线必过定点（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心.则以为直径的圆的圆心为，设以为直径的圆的半径为，则.所以以为直径的圆的方程为.过点作圆的切点分别为，,两圆的交点为,,即两圆的公共弦为.将两圆的方程相减可得直线的方程为，即.令得.所以直线必过定点.
故选A.
10. 知点是函数的图象上的动点，则的最小值为__________.
【答案】20
【解析】由整理得，可知其图象是半圆，圆心为，半径为.
又，其几何意义为点到直线距离的5倍，
故分析点到直线距离的最小值即可.
如图，作直线，点C到直线的距离，
所以到直线的距离的最小值为，即的最小值为4，
所以的最小值为.
(三)圆与圆
11. 圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【答案】A
【解析】由与圆，可得圆心，半径，
则，且，所以，所以两圆相交.故选A.
12. （2023届广东省七校联合体高三上学期第一次联考）已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.
【答案】
【解析】由，得，所以圆的圆心为，半径为，
因为圆，所以圆的圆心为，半径为，因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，即，解得，所以的值为.
13. 如图，圆与圆内切，且，大圆的半径为5.过动点P分别作圆､圆的切线PM､PN（M､N分别为切点），使，试通过建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹.
【解析】如图，以所在直线为轴，以的中点为原点，建立直角坐标系，则，
设，连接则根据勾股定理可得，
，，由，
可得，
平方整理可得：，
所以动点P的轨迹为圆心为，半径为的圆.
(四)与圆有关的轨迹与最值问题
14. （多选）（2022届】湖南省邵阳市第二中学高三下学期全真模拟）已知为坐标原点，圆：，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆内切
B．直线与圆相离
C．圆上到直线的距离等于1的点最多两个
D．过直线上任一点作圆的切线，切点为，，则四边形面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】圆的圆心，半径，而圆的圆心，
所以，所以圆与圆内切，A正确；
圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，B错误；
因为圆心到直线的距离为：，
因为，
又因为圆的半径为1，所以上到直线的距离等于1的点最多两个，故C正确；
过直线上任一点作圆的切线，切点为，，四边形面积为：
，当垂直直线时，有最小值，且，
因为，
所以，则四边形面积的最小值为，故D正确.故选ACD.
15. （2023届河南省郑州市第四高级中学高三第一次调研）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．
【答案】
【解析】圆，即，由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，
，，所以，因为，所以，
又，所以，所以，即，
所以最短时，最短，点C到直线的距离即为的最小值，
所以，所以的最小值为
16. 已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；
【答案】
【解析】设，由，
所以，整理得，
即动点的轨迹方程．
三、最新模拟练
17. （2022届浙江省杭州二中、温州中学，金华一中三校高三下学期5月仿真模拟）过x轴正半轴上一作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【解析】如图，连接交于点，易得，，由，最小时，最大，又，可得，即，最大时，最小，最小；又，则，故的最小值为1.故选A.
18. （2022届广东省潮州市瓷都中学高三下学期第三次模拟）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆C：的圆心，半径R，点C到直线的距离为
圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则，故选B
19. （多选）（2022届山东省青岛市高三下学期5月二模）已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切D．圆与圆C相交
【答案】ACD
【解析】由，得，则圆心，半径，所以A正确，对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，对于C，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆C相切，所以C正确，对于D，圆的圆心为，半径，因为，，所以圆与圆C相交，所以D正确，故选ACD
20. （2023届云南省昆明市第一中学高中高三第一次摸底）已知圆和圆交于两点，则直线的方程是___________.
【答案】
【解析】由两圆相交，则交线的方程由两圆方程相减得到，所以直线的方程是.故答案为
21. （2022届辽宁省渤海大学附属高中高三考前测试）已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．
【答案】
【解析】设，则，整理得．
设，．联立，整理得，
故①，②．又，故③．联立①②③，解得．
22. （2022山东省烟台市莱州市高三上学期12月月考）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【解析】（1）设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又∵圆与轴相切于点，
∴，，则.
∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.
（2）如果选择条件①：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
如果选择条件②：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
四、高考真题练
23.(2022高考全国卷甲)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为，圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为．故选B．
24.（2022高考全国卷乙）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或（写出其中一个即可）
【解析】解法一：依题意设圆的方程为,若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即；
若过,,,则,解得,
所以圆的方程为,即；
若过,,,则,解得,
所以圆的方程为,即；
若过,,,则,解得,
所以圆的方程为,即；
故答案为：或或或；
解法二：由于只要求写出其中一个圆的方程,我们写最简单的一个：设,可知,所以以OB为直径的圆就是过点的圆,因为OB中点为,,所以过点的圆的方程为.
25. （2022新高考全国卷1）写出与圆和都相切的一条直线的方程______．
【答案】或或
【解析】圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,两圆圆心距为,等于两圆半径之和,故两圆外切,
如图,当切线为l时,因为,所以,设方程为
O到l的距离,解得,所以l的方程为,
当切线为m时,设直线方程为,其中,,
由题意,解得,
当切线为n时,易知切线方程为,
26. （2022新高考全国卷2）设点,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为,在直线上,
所以所在直线即为直线,所以直线的方程为,即；
圆,圆心,半径,由直线l与圆有公共点,
得圆心到直线的距离,即,解得,即
五、综合提升练
27. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，，则，
整理得，，解得（舍去）或，
所以点P的轨迹方程为，
若直线与相切时，，解得或，
当曲线与圆有四个交点时，对应的满足题意，
当时，如图所示，二者一个交点，存在一个点，不符合题意，
当时，如下图所示，此时二者有三个交点，存在三个点，不符合题意，
当时，如图所示，二者有两个交点，存在两个点，不符合题意，
当时，如图所示，二者没有交点，不存在点满足题意，
当时，二者有四个交点，存在四个点，满足题意，
综上，．故选B．
28. （多选）已知a>0，圆C：，则（ ）
A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点
D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分
【答案】ACD
【解析】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝ln x上运动．
对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当，即a＝e或时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a有3个，A正确；对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在上，又圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有一个，B错误；
对于C，若圆C过坐标原点，则，如下图可知，曲线y＝lnx与有两个交点，所以满足要求的a有2个，C正确；
对于D，若圆C的面积被直线平分，则直线经过圆心（a，ln a），计算可知曲线y＝lnx在x＝e处的切线恰好为，即满足要求的a仅有一个，故D正确．故选ACD.
29. （2023届湖北省九校教研协作体高三上学期考试）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：
①弦AC长度的最小值为；
②线段BO长度的最大值为；
③点M的轨迹是一个圆；
④四边形ABCD面积的取值范围为．
其中所有正确结论的序号为______．
【答案】①③④
【解析】由题设，则圆心，半径，
由圆的性质知：当圆心与直线距离最大为时AC长度的最小，
此时，①正确；
BO长度最大，则圆心与共线且在它们中间，此时，②错误；
若分别是的中点，则且，且，
又，易知：为矩形，而，
若圆心到直线的距离且，
所以，则，故，
所以在以为直径，交点为圆心的圆上，③正确；
由上分析：，，而，
所以，
令，则，
当，即时，；
当或5，即或时，；
所以，④正确；故答案为①③④
30. （2022届福建省厦门市高三毕业班第四次质量检测）中，，线段上的点M满足．
(1)记M的轨迹为，求的方程；
(2)过B的直线l与交于P，Q两点，且，判断点C和以为直径的圆的位置关系．
【解析】 (1)如图所示，在中，，
因为线段上的点M满足，可得，
所以，
根据椭圆的定义，可得点的轨迹为以为焦点的椭圆，
其中，可得，则，
所以点的轨迹方程为.
(2)解：由（1）知椭圆的方程为，设过点的直线为，
联立方程组，整理得，
设，则，
因为，可得，可得，
将代入，可得，消去可得，
解得，即，
不妨取，可得，
则，
设的中点为，则，，即，
所以以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
又由，
根据圆的定义得点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
又由，且，
即，所以点C在以为直径的圆外.