第41练 二项式定理（课本变式练+考点分类练+最新模拟练+高考真题练+综合提升练）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

这是一份第41练 二项式定理（课本变式练+考点分类练+最新模拟练+高考真题练+综合提升练）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用），文件包含第41练二项式定理原卷版docx、第41练二项式定理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

1.（人A选择性必修三P34习题6.3T2变式）展开式中的系数为（ ）
A．B．21C．D．35
【答案】A
【解析】因为展开式的通项公式为，所以当时，含有的项，此时，故的系数为．故选A
2.（人A选择性必修三P34习题6.3T8变式）已知（1+2x）n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为（ ）
A．211B．210C．29D．28
【答案】C
【解析】由题意可得，，所以n=10，则（1+2x）n的二项式系数之和为210.
所以所有偶数项的二项式系数之和29，故选C．
3.（多选）（人A选择性必修三P34习题6.3T6变式）在二项式的展开式中，正确的说法是（ ）
A．常数项是第3项B．各项的系数和是1
C．偶数项的二项式系数和为32D．第4项的二项式系数最大
【答案】BCD
【解析】二项式的展开式通项为，
对于A选项，令，可得，故常数项是第项，A错；
对于B选项，各项的系数和是，B对；
对于C选项，偶数项二项式系数和为，C对
对于D选项，展开式共项，第项二项式系数最大，D对；故选BCD
4.（人A选择性必修三P34习题6.3T6（2）变式）．的展开式中常数项是______________．（用数字作答）
【答案】15
【解析】的展开式的通项公式，
令，解得，所求常数项为．
二、考点分类练
(一)求指定项系数
5. （2023届吉林省长春外国语学校高三上学期期中）的展开式中，的系数等于（ ）
A．B．C．10D．45
【答案】B
【解析】的展开式为，
令，解得：，故，
所以的系数等于-10.故选B
6. （2023届四川省成都市金牛区高三上学期阶段性检测）二项式展开式中的系数为（ ）
A．120B．135C．140D．100
【答案】B
【解析】的展开式通项公式为，
其中，，，
故二项式中的四次方项为，
即展开式中的系数为.故选B
7. （多选）（2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期8月联合调研）若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】对于A，令，则，所以A正确，
对于B，因为5个相同的因式相乘，要得到含的项，可以是5个因式中，一个取，其他4个因式取2，或两个因式取，其他3个因式取2，所以，所以B错误，
对于C，令，则，因为，所以，所以C错误，对于D，展开式所有项系数和为，令，则，因为，所以，所以D正确，
故选AD
8. （2023届四川省成都市郫都区高三上学期阶段性检测）已知多项式，则的值为______．
【答案】
【解析】依题意，
含的项为，
所以.
(二)求二项式系数之和或系数之和
9．（2022届贵州省遵义市高三第三次统一考试）已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（ ）
A．10B．15C．18D．30
【答案】B
【解析】由于二项式展开式的二项式系数和为，所以.二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中的常数项为.故选B
10. （2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测）设，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】令，则，即，A错误；
令，则，即①，
则，B错误；
令，则，即②，
由①②可得：，，C、D正确；故选CD.
11. （2023届贵州省贵阳第一中学高三高考适应性月考）已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中一次项系数为___________．
【答案】
【解析】令，可得的展开式中各项系数的和为，．
，故该展开式中一次项为，
(三)最值问题
12. 设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.故选C
13. （2023届广东省普宁市华美实验学校高三上学期月考）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项B．第4项和第5项二项式系数最大
C．第3项的系数最大D．所有项的系数和为128
【答案】ABC
【解析】因为展开式的通项公式为，
由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；
展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故B正确；
由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，
由，可知第项的系数最大，故C正确；
令，得所有项的系数和为，故D错误；故选ABC.
14．（2023届四川省岳池中学高三上学期12月月考）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．
【答案】2
【解析】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以
当时,,当时,,符合题意
所以展开式中有理项的个数为2
(四)与其他知识的交汇问题
15. 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（ ）
A．B．C．D．45
【答案】D
【解析】由二项式展开项通项公式可得第项为，
故第三项与第五项的系数之比为，解得（），
由得故常数项为.故选D
16. 已知（，且），其中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由二项式定理可得，则，
由得，由，得，则，，所以，
所以，，所以，A选项正确；
因为，，所以在中，令，可得，所以B选项不正确；
由题可得，所以，所以，所以选项C正确；
因为，，所以在中，
令，可得，
又，所以，所以D选项正确.故选ACD.
17. 已知且满足能被8整除，则符合条件的一个的值为___________.
【答案】5（答案不唯一）
【解析】由已知得，由已知且满足能被8整除，则是8的整数倍，所以（），则符合条件的一个的值为5.
三、最新模拟练
18．（2023届广西贵港市百校高三上学期11月联考）展开式中的系数为（ ）
A．B．21C．D．35
【答案】A
【解析】因为展开式的通项公式为，所以当时，含有的项，此时，故的系数为．故选A
19. （2023届江西省南昌市第二中学高三上学期第一次考试）在展开式中，下列说法错误的是（ ）
A．常数项为B．第项的系数最大
C．第项的二项式系数最大D．所有项的系数和为
【答案】B
【解析】展开式的通项为：；
对于A，令，解得：，常数项为，A正确；
对于B，由通项公式知：若要系数最大，所有可能的取值为，
则，，，，
展开式第项的系数最大，B错误；
对于C，展开式共有项，则第项的二项式系数最大，C正确；
对于D，令，则所有项的系数和为，D正确.故选B.
20. （2022届重庆市永川北山中学校高三高考冲刺）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，，
当时，，
于是得
.故选B
21. （2023届广东省东莞市第四高级中学高三上学期8月月考）已知二项式的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数之和为256
C．展开式中第5项为
D．展开式中的系数为
【答案】AC
【解析】对于A：令可得，解得，故A正确；
对于B：二项式系数和为，故B错误；
对于C：展开式的通项为，第5项即，所以，故C正确；
对于D：令，解得，所以展开式中的系数为，故D错误.
故选AC
22. （2022届重庆市西南大学附属中学校高三全真模拟）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．与都是正整数
C．是的小数部分
D．设，，则
【答案】ACD
【解析】对于A，，
当时，展开式通项为，
，，
，A正确；
对于B，，不妨令，
则，不是正整数，B错误；
对于C，，
为正整数，
为正整数，
又，，
是的小数部分，C正确；
对于D，，展开式通项为；
当为偶数时，，
，
，
，即，
；
当为奇数时，，
，
，
，即，
；
综上所述：成立，D正确.故选ACD.
23. （2023届广东省高三上学期11月联合质量测评）的展开式中，含项的系数为___________．
【答案】
【解析】的展开式中，含项的系数为．
24. （2023届江西省西路片七校高三上学期第一次联考）已知（为整数）的展开式中项的系数为20，则的展开式中的常数项为_________．
【答案】240
【解析】，
则其展开式中项的系数为，
整理得：，解得：或，
又因为为整数，所以，
设展开式的通项为，
令，得.
所以的展开式中的常数项为
25．（2023届福建省厦门外国语学校高三上学期第月考）设，1，2，…，2022）是常数，对于，都有，则= ________.
【答案】2021
【解析】因为，
则令可得.
又对两边求导可得：
，
令，
则，
所以，
所以
故，
所以.
四、高考真题练
26．(2022新高考全国I卷)展开式中的系数为________________(用数字作答)．
【答案】-28
【解析】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28
五、综合提升练
27. （2023届广东省茂名市高三上学期9月大联考）下列各式中，不是的展开式中的项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】表示4个因式的乘积，在这4个因式中，有一个因式选，其余的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选，剩下的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式中有一个选，剩下的一个因式选，所得的项为，所以不是的展开式中的项.故选D.
28.（2022届江苏省南通市基地学校高三下学期3月大联考） 若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】A选项：时，，A对．
B选项：时，①
时，②
，B对．
C选项：，
求导得，
时，，
，C错．
D选项：
比较两边的系数
，D正确．故选ABD.
29. 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位．现将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如下表所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和．如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是__________．
①当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；
②；
③；
④．
第0行
第1行
第2行
第3行
…… ……
第n行 ……
【答案】①②③④
【解析】对①，根据杨辉三角的特点，当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值；当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；故①正确；
对②，第行的第2个数等于第行的第一个数和第行的第1个数相乘；故②正确；对③，直接根据组合数的性质，故③正确；
对④，开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即，故④正确
30. （2023届湖北省九校教研协作体高三上学期起点考试）已知为正整数，.其中的系数为10，则的系数的最大可能值与最小可能值之和为___________.
【答案】40
【解析】由题意得，
的系数为.
由柯西不等式知，
又由于为正整数所以.
当时，，因此的最小值为34.
另一方面，若为正整数，则，
这是因为上式展开即为，亦即.
所以.
当时，，因此的最大值为66.
进而我们有的最大最小值分别为12，28，所以的系数的最大可能值与最小可能值之和为40.