第49练 独立性检验（课本变式练+考点分类练+最新模拟练+高考真题练+综合提升练）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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1.（人A选择性必修三P134练习T4变式）某课外兴趣小组通过随机调查，利用2×2列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得，经查阅临界值表知，则下列判断正确的是（ ）
A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
C．有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别无关”
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”
2.（多选）（人A选择性必修三习题8.3P135T5变式）为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有（ ）
A．被调查的学生中喜欢登山的男生人数比不喜欢登山的女生人数多
B．被调查的男生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
C．是否有99%的把握认为喜欢登山和性别有关不会受到被调查的男女生人数影响
D．是否有99%的把握认为喜欢登山和性别有关会受到被调查的男女生人数影响
3.（人A选择性必修三P135习题8.3T8变式）为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
附表：
.
参照附表，得到的正确结论是（ ）A．至少有99%认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不大于0.01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．在犯错误的概率不大于0.1的前提下，推断“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
D．至少有90%的把握，推断“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
4.（人A选择性必修三P138复习参考题8T8变式）为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司280名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”．为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：
(1)请补充完列联表；
(2)根据列联表判断是否有90%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？
参考公式：，其中．
临界值表：
二、考点分类练
(一)等高条形图与列联表
5. （2023届福建省莆田高三上学期段考）为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果
D．药物A，B对该疾病均没有预防效果
6. 某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这个变量之间的关系，随机抽查了名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中
A．语文成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小
B．数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小
C．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小
D．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小
7. 为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有________．
①被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
②被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
③若被调查的男女生均为100人，则可以认为喜欢登山和性别有关
④无论被调查的男女生人数为多少，都可以认为喜欢登山和性别有关
8. 针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的.若有的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，求男生至少有______人.
(二)独立性检验
9．某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（ ）
附：,其中.
A．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
10.（多选）（2022届山东省高三12月质量检测）为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
由以上数据，计算得到，根据临界值表，以下说法正确的是（ ）
参考数据：
A．有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关
B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关
C．95%的数学成绩优异的同学选择物理
D．若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化
11. 为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为___________（其中a≥40且a∈）（参考数据：≈2.58，≈3.29）
参考公式
临界值表
12. （2023届福建师范大学附属中学高三上学期第月考）中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.
(1)根据表中信息，依据的独立性检验，能否认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关联？
(2)已知队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于队常规赛60场比赛获胜的频率.记为队在总决赛中获胜的场数.求的分布列.
附：，其中.
临界值表：
13. （2023届广西桂林崇左市高三上学期联合调研）4月23日是“世界读书日”，读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界，为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动. 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测.通过随机抽样，得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下：
(1)若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”，若得分低于70分的学生称为“非阅读爱好者”.根据所给数据
①完成下列列联表
②请根据所学知识判断是否有95%的把握认为“阅读爱好者”与性别有关；
(2)若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”.现从这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中至少有1人得分在[90，100]内的概率.
附：，其中.
三、最新模拟练
14．（2022届山西省朔州市怀仁市高三下学期第二次模拟）2021年7月24日，中共中央办公厅国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求学校做好课后服务，结合学生的兴趣爱好，开设体育、美术、音乐、书法等特色课程.某初级中学在课后延时一小时开设相关课程，为了解学生选课情况，在该校全体学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，得到如下数据：（附：计算得到的观测值为.）
根据以上数据，对该校学生情况判断不正确的是（ ）
A．估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占
B．从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈，则他们每个个体被抽到的概率为
C．从不喜欢体育的20名学生中任选4人做访谈，则事件“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人不喜欢音乐”为对立事件
D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系
15. （2023届四川省达州市高三第一次诊断性测试）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
16. （2022届贵州省贵阳市五校高三年级联合考试）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（ ）
参考数据及公式如下：
A．12人B．11人C．10人D．18人
17. （多选）（2023届福建省福州格致中学高三上学期月考）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、岸度、颜色等的变化总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里龙，雨在半夜后”，观察了A地区的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表，并计算得到，下列小波对A地区天气的判断正确的是（ ）
单位：天
附：，其中．
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．依据的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．依据的独立性检验，若出现“日落云里走”，则认为夜晚一定会下雨
18. （多选）（2023届广东省清远市华侨中学高三上学期月考）某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的2×2列联表：
经计算，则可以推断出（ ）
附：
A．该市一天空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64
B．若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化
C．有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关
D．在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关
19. （2023届西藏林芝市高三上学期月考）某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生（其中男生60名，女生40名），并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为_______．
20.（2022届云南省昆明市高三”三诊一模“复习教学质量检测） 长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料．新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地，产量占全国长绒棉总产量的95%以上．新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质，选取甲、乙两地实验田进行种植．在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到如下列联表（单位：份），其中且．
注：棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一．根据现行国家标准规定，马克隆值可分为A，B，C三个级别，A级品质最好，B级为标准级，C级品质最差．
当时，有99%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关，则的最小值为______．
附：
21. （2023年江苏省苏州市高考模拟）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.
附：
22.（2023届四川省成都高三上学期9月月考）为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：
设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为：从服用药物的动物中任取2只，未患病数为，工作人员曾计算过
(1)求出列联表中数据，y，M，N的值：
(2)求与的均值（期望）并比较大小，请解释所得结论的实际含义：
(3)能够以99%的把握认为药物有效吗？
（参考公式，其中
23. （2023届福建省厦门外国语学校高三上学期月考）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：
改造前：；
改造后：.
(1)完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？
(2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.
（其中）
四、高考真题练
24．(2022新高考全国Ⅰ卷) 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）,同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）,得到如下数据：
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据,给出的估计值,并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附,
25.(2021高考全国甲卷)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机
床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
26.(2020高考全国丙卷)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼
的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：，
五、综合提升练
27. 有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的2×2列联表：
其中，均为大于5的整数，则__________时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附：
【答案】9
【解析】由题意知：,则，
解得或，因为且，，综上得：，，
所以.
28.（2023届福建省福州第八中学高三上学期质检）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
【解析】（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故．
（ii）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，
第次触球者不是甲的概率为，
则，
从而，
又，是以为首项，公比为的等比数列．
则，
∴，，
，故第19次触球者是甲的概率大性别
光盘行动
合计
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
运动达人
参与者
合计
男员工
120
160
女员工
40
合计
280
0.15
0.10
0.05
0.01
2.072
2.706
3.841
6.635
0.10
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
选物理
不选物理
数学成绩优异
20
7
数学成绩一般
10
13
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
药物
疾病
合计
未患病
患病
服用
a
50-a
50
未服用
80-a
a-30
50
合计
80
20
100
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
阶段
比赛场数
主场场数
获胜场数
主场获胜场数
第一阶段
30
15
20
10
第二阶段
30
15
25
15
（）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
男生
2
3
5
15
18
12
女生
0
5
10
10
7
13
阅读爱好者
非阅读爱好者
总计
男生
女生
总计
""
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢音乐
不喜欢音乐
喜欢体育
20
10
不喜欢体育
5
15
0.05
0.025
0.10
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
夜晚天气
日落云里走
下雨
未下雨
出现
25
5
未出现
25
45
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
PM2.5
64
16
10
10
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
A级或B级
C级
合计
甲地
a
50
乙地
50
合计
80
20
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
患病
未患病
总计
没服用药
20
30
50
服用药
x
y
50
总计
M
N
100
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过
不超过
改造前
改造后
合计
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
P(K2≥k)
0．050
0．010
0．001
k
3841
6．635
10．828
总计
15
50
总计
20
45
65
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200