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专题06 一次函数（知识串讲+热考题型）-2023-2024学年八年级数学第二学期期中期末高效备考（人教版）
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这是一份专题06 一次函数（知识串讲+热考题型）-2023-2024学年八年级数学第二学期期中期末高效备考（人教版），文件包含专题06一次函数知识串讲+热考题型原卷版docx、专题06一次函数知识串讲+热考题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
一．常量与变量（共2小题） 二．函数的概念（共1小题）
三．函数关系式（共3小题） 四．函数自变量的取值范围（共2小题）
五．函数的图象（共3小题） 六．动点问题的函数图象（共3小题）
七．函数的表示方法（共2小题） 八．一次函数的定义（共2小题）
九．正比例函数的定义（共2小题） 十．一次函数的图象（共2小题）
十一．正比例函数的图象（共1小题） 十二．一次函数的性质（共3小题）
十三．正比例函数的性质（共2小题） 十四．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
十五．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 十六．一次函数图象与几何变换（共3小题）
十七．待定系数法求一次函数解析式（共4小题） 十八．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）
十九．一次函数与一元一次方程（共2小题） 二十．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
二十一．一次函数的应用（共3小题） 二十二．一次函数综合题（共6小题）
一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法.
二、一次函数的相关概念
一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
三、一次函数的图像及性质
1、函数的图像
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.
要点诠释：
直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图像之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图像特征
掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质）
要点诠释：
理解、对一次函数的图像和性质的影响：
（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
与相交；
，且与平行；
，且与重合；
（3）直线与一次函数图像的联系与区别
一次函数的图像是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图像.
四、用函数的观点看方程、方程组、不等式
一．常量与变量（共2小题）
1．（2023春•福州期中）某种签字笔每只a元，买5只签字笔共支出b元，下列选项判断正确的是（ ）
A．a是常量时，b是变量
B．a是变量时，b是常量
C．a是变量时，b也是变量
D．无论a论常量还是变量，b都是变量
【分析】根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，判断即可．
【解答】解：根据题意，可知a是变量时，b也是变量，
故选：C．
【点评】本题考查了常量和变量，熟练掌握常量和变量的概念是解题的关键．
2．（2023春•中原区期中）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．在上述变化过程中，因变量是 汽车的速度 ．
【分析】根据变量与常量的定义进行判定即可得出答案．
【解答】解：汽车的速度随时间的变化而变化，在该变化过程中因变量是汽车的速度．
故答案为：汽车的速度．
【点评】本题主要考查了变量与常量，熟练掌握变量与常量的定义进行求解是解决本题的关键．
二．函数的概念（共1小题）
3．（2023春•淮阳区月考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【解答】解：∵在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
∴只有选项C不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
三．函数关系式（共3小题）
4．（2023春•平阴县期中）一蜡烛高24厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是 h＝24﹣4t （0≤t≤6）．
【分析】根据蜡烛点燃后剩余的高度＝蜡烛的高度﹣蜡烛燃烧的高度可列关系式．
【解答】解：由题意得蜡烛点燃后剩余的高度h（cm）与燃烧时间t（时）之间的关系式为h＝24﹣4t．
故答案为：h＝24﹣4t．
【点评】本题主要考查函数关系式，找准等量关系是解题的关键，属于基础题．
5．（2023•梅州校级开学）已知长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，面积为ycm2，则这个长方形的面积y与x之间的关系可表示为 y＝﹣x2+8x ．
【分析】用含有x的代数式表示出矩形的长，进而表示出面积y即可．
【解答】解：由矩形的面积的计算方法得：
y＝x×＝﹣x2+8x，
故答案为：y＝﹣x2+8x．
【点评】本题考查函数的表示方法，用代数式表示边长和面积，是正确解答的前提．
6．（2023•龙川县校级开学）如图，△ABC的边BC长是8，BC边上的高AD′是4，点D在BC运动，设BD长为x，请写出△ACD的面积y与x之间的函数关系式 y＝﹣2x+16 ．
【分析】直接利用三角形面积求法得出y与x之间的函数关系即可．
【解答】解：由题意可得，△ACD的面积y与x之间的函数关系式为：
y＝AD′•DC＝×4×（8﹣x）＝﹣2x+16．
故答案为：y＝﹣2x+16．
【点评】此题主要考查了函数关系式，正确掌握钝角三角形面积求法是解题关键．
四．函数自变量的取值范围（共2小题）
7．（2023•文山州一模）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x≤2D．x＜2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：4﹣2x≥0，
解得：x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8．（2023春•原阳县月考）函数自变量a的取值范围 a≠2和﹣3 ．
【分析】根据分式的分母不为0、负整数指数幂的概念列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：a﹣2≠0且a+3≠0，
解得：a≠2和﹣3，
故答案为：a≠2和﹣3．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0、负整数指数幂的概念是解题的关键．
五．函数的图象（共3小题）
9．（2023春•济阳区期中）在1000米中长跑考试中，小明开始慢慢加速，当达到某一速度后保持匀速，最后200米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据小明的速度的变化判断即可．
【解答】解：由小明立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与x轴平行；最后2000米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡．
故选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键．
10．（2023•龙川县校级开学）如图，折线ABC为从甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y（元）与通话时间t（min）之间变化关系的图象．
（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？
（2）由图象可知，当通话时间为2min时，应付电话费多少元？当通话时间为5min时，应付电话费多少元？
【分析】（1）根据题意，可得两个变量是电话费y（元）与通话时间t（分钟）；
（2）根据观察函数图象的纵坐标，可得相应的函数值．
【解答】（1）所需付的电话费 y（元）与通话时间 t（min） 之间的关系；
（2）当通话时间为 2min 时，应付电话费 2.4 元；
当通话时间为 5min 时，应付电话费 4.4 元．
【点评】本题考查了函数图象，利用了函数的定义，观察函数图象获取信息是解题关键．
11．（2023•平远县校级开学）如图，反映了小明从家出发到超市购物以及从超市返回家的时间与距离之间的关系．
（1）图中自变量是 时间 ，因变量是 小明距家的距离 ．
（2）小明到达超市用了 20 分钟，小明往返途中共花了 35 分钟．
（3）小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义，即可进行解答；
（2）根据函数图象，即可进行解答；
（3）根据图象可得，小明从家到超市时路程为900米，时间为20分钟，返回时路程为900米，时间为45﹣30＝15分钟，根据速度公式即可进行解答．
【解答】解：（1）由图可知：
图中自变量是时间，因变量是小明距离家的路程．
故答案为：时间，小明距离家的路程．
（2）由图可知：
小明到达超市用了20分钟，小明往返途中共花了45﹣（30﹣20）＝35（分钟）．
故答案为：20，35．
（3）根据图象可得，小明从家到超市时路程为900米，时间为20分钟，
∴小明从家到超市时速度为：（米/分钟），
返回时路程为900米，时间为45﹣30＝15（分钟），
∴返回时的速度为：（米/分钟）．
答：小明从家到超市时的平均速度是45米/分钟，返回时的平均速度是60米/分钟．
【点评】本题主要考查了根据函数图象解决问题，解题的关键是观察图象，根据图象得出需要的数据．
六．动点问题的函数图象（共3小题）
12．（2023•武昌区模拟）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为ts，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到BC的中点时，△PAD的面积为（ ）
A．7B．7.5C．8D．8.6
【分析】首先结合图形和函数图象判断出CD的长和AD的长，进而可得AB的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当5＜t≤10时直线解析式，然后再代入t的值计算出s即可．
【解答】解：根据题意得：四边形ABCD是梯形，
当点P从C运动到D处需要2秒，则CD＝2，△ADP面积为4，
则AD＝4，
根据图象可得当点P运动到B点时，△ADP面积为10，
则AB＝5，则运动时间为5秒，
∴E（5，10），
设当5＜t≤10时，函数解析式为s＝kt+b，
∴，
解得，
∴当5＜t≤10时，函数解析式为S＝﹣t+16，
当P运动到BC中点时时间t＝7.5，
则S＝7，
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键．
13．（2023春•淮阳区月考）如图1，等腰Rt△ABC的边BC与正方形DEFG的边DE都在直线l上，且点C与点D重合，AB＝BC＝DG＝2cm，将△ABC沿着射线DE方向移动至点B与点E重合停止，连接BG，设C、D两点间的距离为xcm，B、G两点间的距离为ycm．
小陈根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小陈的探究过程，请补充完整．
（1）列表：如表的已知数据是根据C、D两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值；请你通过计算补全表格a＝ 2.24 ，b＝ 2 ；
（2）描点、连线：如图2，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）探究性质：随着x值的逐渐增大，y的值是怎样变化的？ 当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，当2＜x≤4时，y随x的增大而增大 ．
（4）解决问题：当BG+CD＝4.5时，C、D两点间的距离x是 0.5 ．
【分析】（1）根据勾股定理进行计算便可；
（2）用描点法作出函数图象；
（3）根据函数图象解答；
（4）根据表格中数据可得结果．
【解答】解：（1）当x＝1时，CD＝1，
∴BD＝AC＝CD＝2﹣1，
∴y＝a＝BG＝，
当x＝2时，CD＝2，
∵BC＝2，
∴B与D重合，
∴y＝b＝BG＝＝DG＝2，
故答案为：2.24；2；
（2）根据描点法作出图象如下：
（3）由函数图象可知，当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，当2＜x≤4时，y随x的增大而增大，
故答案为：当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，当2＜x≤4时，y随x的增大而增大；
（4）由表格数据可知，当x+y＝3时，x≈0.5，
故答案为：0.5．
【点评】本题动点问题的函数图象，勾股定理，正方形的性质，关键是正确作图函数图象，从函数图象上获取信息．
14．（2023春•思明区校级月考）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．
（1）直接写出m＝ 1 ，a＝ 4 ，b＝ 9 ；
（2）求长方形的长；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式．
【分析】（1）当x＝a时，S△ABP＝8，从而得出a和m的值，当x＝b时，S△ABP＝4，从而求得b的值；
（2）由图象可知，BC的长度，在5≤x≤7时，S△ABP＝12，求出BC的长；
（3）分0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤4三种情况讨论．
【解答】解：（1）当x＝a时，S△ABP＝×4×BP＝8，
∴BP＝4，
∴CP＝2，
∴a＝5﹣（2÷2）＝4，
∴m＝＝1，
当x＝b时，S△ABP＝×4×AP＝4，
∴AP＝2，
∴DP＝4，
∴b＝7+（4÷2）＝9，
故答案为：1；4；9；
（2）在5≤x≤7时，△ABP的面积不变，
此时：点P在BC上运动，速度为每秒2个单位，
∴AD＝BC＝2×2＝4，
在5≤x≤7时，△ABP的面积为12，
∴×4×BC＝12，
∴BC＝6，
∴长方形的长为6；
（3）根据题意可知，BC＝4×1+1×2＝6，CD＝2×2＝4；
当0≤x≤1时，如图，BP＝3+x，CQ＝x，
∴y＝BP•CQ＝×（3+x）•x＝x2+x；
当1＜x≤2时，如图，BP＝4+2（x﹣1）＝2x+2，CQ＝x，
y＝BP•CQ＝×（2x+2）•x＝x2+x；
当2＜x≤4时，如图，CP＝2（x﹣2），CQ＝x，
∴PQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x，
∴y＝BP•CQ＝×（4﹣x）•6＝12﹣3x；
∴y＝．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，掌握矩形的性质，三角形的面积公式，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
七．函数的表示方法（共2小题）
15．（2023春•南海区校级月考）科学家认为二氧化碳（CO2）的释放量越来越多是全球变暖的原因之一．下表1950﹣2020年全球排放的二氧化碳量：
其中因变量为 二氧化碳（CO2）的释放量 ．
【分析】根据自变量、因变量的定义分别得出即可．
【解答】解：由表可知，二氧化碳（CO2）的释放量随着年份的增加而增大．
∴因变量为二氧化碳（CO2）的释放量；
故答案为：二氧化碳（CO2）的释放量．
【点评】本题主要考查了自变量、因变量的定义，解题的关键是熟记定义进行判断．
16．（2023春•济阳区期中）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
（1）自变量是 刹车时车速 ，因变量是 刹车距离 ；
（2）当刹车时车速为100km/h时，刹车距离是 25 m；
（3）该种型号汽车的刹车距离用y（m）表示，刹车时车速用x（km/h）表示，根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式： y＝0.25x（x≥0） ；
（4）你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由．
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据表格数据可得答案；
（3）根据刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，可得答案；
（4）结合（3）的结论得出可得车速为110km/h的，刹车距离，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
（2）当刹车时车速为100km/h时，刹车距离是25m．
故答案为：25；
（3）由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，
∴y与x之间的关系式为：y＝0.25x（x≥0），
故答案为：y＝0.25x（x≥0）；
（4）当x＝110时，y＝110×0.25＝27.5，
∵27.5＜31，
∴该汽车不会和前车追尾．
【点评】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键．
八．一次函数的定义（共2小题）
17．（2023春•天山区月考）下列函数：①y＝；②y＝﹣；③y＝3﹣x；④y＝3x2﹣2；⑤y＝x2﹣（x﹣3）（x+2）；⑥y＝6x．其中，是一次函数的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．当b＝0时，函数为y＝kx（k≠0），所以正比例函数是一种特殊的一次函数．
【解答】解：①y＝x，正比例函数，属于一次函数，符合题意；
②不是整式，不符合题意；
③y＝﹣x+3，符合题意；
④x的次数是2，不符合题意；
⑤y＝x2﹣（x2﹣x﹣6）＝x+6，符合题意；
⑥这是x次方，不是1次，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的概念，注意一次函数必须是整式，x的最高次数只能是1，对于⑤要化简后再判断．
18．（2023•沙坪坝区校级开学）已知函数是关于x的一次函数，则m的值是 ﹣4 ．
【分析】根据一次函数的定义求解．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣4）xm2﹣15+6是关于x的一次函数，
∴m﹣4≠0且m2﹣15＝1，
解得：m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
九．正比例函数的定义（共2小题）
19．（2023春•渝中区校级月考）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据正比例函数y＝kx（k≠0）定义来判断即可．
【解答】解：A、，是一次函数，但不是正比例函数，不符合题意；
B、，是正比例函数，符合题意；
C、，不是正比例函数，不符合题意；
D、，不是正比例函数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数是常数是0的一次函数是解题的关键．
20．（2023春•衡山县校级月考）定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数．若特征数是[2，k﹣2]的一次函数为正比例函数，则k的值是 2 ．
【分析】根据新定义写出一次函数的表达式；由正比例函数的定义确定k的值．
【解答】解：根据题意，特征数是[2，k﹣2]的一次函数表达式为：y＝2x+（k﹣2）．
因为此一次函数为正比例函数，所以k﹣2＝0，
解得：k＝2．
故填2．
【点评】此题为阅读理解题，结合考查正比例函数的定义，有新意，但难度不大．
一十．一次函数的图象（共2小题）
21．（2023春•包河区月考）在一次函数y＝ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据y＝kx+b，k＜0时，y随x的增大而减小，可得答案．
【解答】解：在y＝ax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，
故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象，利用一次函数的性质是解题关键．
（多选）22．（2023春•胶州市期中）已知直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列选项是关于x的不等式k1x+b1＞k2x+b2的正整数解的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据函数的图象得出两函数的交点坐标，再根据图象得出即可．
【解答】解：∵根据图象可知：两函数的交点坐标为（3，2），
∴关于x的不等式k1x+b1＞k2x+b2的正整数解的取值范围是x＜3，
∴1和2是关于x的不等式k1x+b1＞k2x+b2的正整数解．
故选：AB．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式和一次函数的性质，能根据函数的图象得出两函数的交点坐标是解此题的关键．
一十一．正比例函数的图象（共1小题）
23．（2023春•桐柏县校级月考）如图，三个一次函数的图象分别对应解析式①y＝k1x+b1；②y＝k2x；③y＝k3x+b3．将k1，k2，k3从小到大排列，并用“＜”连接为（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k3＜k2＜k1D．k3＜k1＜k2
【分析】根据函数图象所经过的象限判断k的符号；然后根据直线的倾斜情况确定k的大小．
【解答】解：如图所示，k3＜0，k1＞0，k2＞0，
∴k3最小．
∵直线y＝k1x+b1比直线y＝k2x倾斜度小，
∴k1＜k2，
∴k3＜k1＜k2．
故选：D．
【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
一十二．一次函数的性质（共3小题）
24．（2023春•北碚区校级月考）一次函数y＝﹣2x+5的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】一次项系数﹣2＜0，则图象经过二、四象限；常数项5＞0，则图象还过第一象限．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴图象经过二、四象限；
∵5＞0，
∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，图象经过第一象限．
∴一次函数y＝﹣2x+5的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
25．（2023春•靖江市期中）若点（﹣3，y1）、（3，y2）都在函数y＝x+1的图象上，则y1和y2的大小关系为y1 ＜ y2（用“＞”、“＝”、“＜”填空）．
【分析】由k＝1＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣3＜3，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点（﹣3，y1）、（3，y2）都在函数y＝x+1的图象上，且﹣3＜3，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
26．（2023春•盐湖区校级月考）如图，已知一次函数y＝﹣x+3，当x ＝5 时，y＝﹣2；
当x ＞5 时，y＜﹣2；
当x ＜5 时，y＞﹣2；
当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 0＜x＜6 ．
【分析】根据函数图像上即可求解．
【解答】解：如图，
y＝﹣2，即﹣x+3＝﹣2，解得x＝5，
故答案为：x＝5．
y＜﹣2即，在y＝﹣2直线下方所有的横坐标点的集合．
故答案为：x＞5．
y＞﹣2即，在y＝﹣2直线上方所有的横坐标点的集合．
故答案为：x＜5．
﹣3＜y＜3即，在y＝﹣3、y＝3直线之间所有的横坐标点的集合．
故答案为：0＜x＜6．
【点评】本题考查了一次函数图像与一元一次不等式，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
一十三．正比例函数的性质（共2小题）
27．（2023•碑林区校级二模）已知正比例函数y＝kx中，y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣kx+k的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四
【分析】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、二、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质和一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限．
28．（2023•惠阳区开学）已知正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据正比例函数的性质，得到m＜0，|m|＝1，然后求解即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，
∴m＜0，|m|＝1，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的有关性质．
一十四．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
29．（2023春•沙坪坝区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b≥0D．k＜0，b≤0
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，
∴k＜0，b≥0．
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交是解题的关键．
30．（2023春•渝中区校级月考）若关于x的一次函数y＝（7﹣m）x﹣9的图象不经过第二象限，且关于y的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是（ ）
A．16B．10C．18D．14
【分析】根据题意和一次函数的性质、分式方程有意义的条件，可以得出m的取值范围，再写出符合要求的m的整数值，再计算即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（7﹣m）x﹣9的图象不经过第二象限，
∴7﹣m＞0，
解得m＜7，
解方程可得，，
∵分式方程有有非负数解，
∴且，
解得m＞2且m≠4，
由上述可得，m的取值范围为2＜m＜7且m≠4，
∴m的整数值为3，5，6，
∴3+5+6＝14．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象与系数的关系、解分式方程、解一元一次不等式，解决本题的关键是明确题意，求出m的取值范围．
31．（2023•红桥区一模）若一次函数y＝2x+b﹣1（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是 b＞1 ．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+b﹣1的图象经过第一、二、三象限，
∴b﹣1＞0，
∴b＞1．
故答案为：b＞1．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．记住k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
一十五．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
32．（2023•靖江市模拟）已知点在一次函数y＝（m2+1）x+2n（m，n为常数）的图象上，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法判断
【分析】由偶次方的非负性可得出m2≥0，进而可得出m2+1＞0，利用一次函数的性质可得出y值随x的增大而增大，再结合﹣1＜3，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵m2≥0，
∴m2+1＞0，
∴y值随x的增大而增大．
∵a2+1﹣（2a﹣1）＝a2﹣2a+1+1＝（a﹣1）2+1＞0，
∴a2+1＞2a﹣1，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及偶次方的非负性，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
33．（2023春•新城区校级月考）如图，函数y＝2x﹣4与x轴，y轴交于点（2，0），（0，﹣4），当﹣4＜y＜0时，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．0＜x＜2D．﹣1＜x＜2
【分析】由图知：当0＜x＜2时，﹣4＜y＜0；因此当﹣4＜y＜0时，0＜x＜2，由此可得解．
【解答】解：函数y＝2x﹣4与x轴、y轴交于点（2，0），（0，﹣4），
即当0＜x＜2时，函数值y的范围是﹣4＜y＜0，
因而当﹣4＜y＜0时，x的取值范围是0＜x＜2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想是解决本题的关键．
一十六．一次函数图象与几何变换（共3小题）
34．（2023春•崇川区校级月考）将直线y＝﹣2x﹣2向上平移1个单位长度，可得直线的表达式为y＝ y＝﹣2x﹣1 ．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝﹣2x﹣2向上平移1个单位长度，可得直线的解析式为：y＝﹣2x﹣2+1，即y＝﹣2x﹣1．
故答案为：y＝﹣2x﹣1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象“上加下减，左加右减”的平移法则是解答此题的关键．
35．（2023春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过t秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，则t的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】依题意，直线经过平行四边形对角线的交点时，平分平行四边形的面积，求出对角线交点坐标，进而根据一次函数平移的性质即可求解．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y＝kx+b，
∵平行于y＝2x+1，
∴k＝2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握平行四边形的中心对称性质，直线经过对角线的交点是解题的关键．
36．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴上，AO＝4，CO＝2，直线y＝x+1以每秒1个单位长度向下移动，经过 2 秒该直线可将矩形OABC的面积平分．
【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝x+1经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝x+1的直线解析式，从而可得直线y＝x+1要向下平移2个单位，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，
当y＝x+1经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分；
∵AC，BO是▱OABC的对角线，
∴OD＝BD，
∵AO＝4，CO＝2，
∴B（4，2），
∴D（2，1），
根据题意设平移后直线的解析式为y＝x+b，
∵D（2，1），
∴1＝2+b，解得b＝﹣1，
∴平移后的直线的解析式为y＝x﹣1，
∴直线y＝x+1要向下平移2个单位，
∴时间为2秒，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．
一十七．待定系数法求一次函数解析式（共4小题）
37．（2023春•崇川区校级月考）已知y与x﹣3成正比例，当x＝6时，y＝18，求：
（1）y与x的函数解析式；
（2）当y＝12时，求x的值．
【分析】（1）根据正比例函数的定义，设y＝k（x﹣3），然后把已知的一组对应值代入求出k，从而得到y与x的函数解析式；
（2）利用（1）中的解析式，计算函数值为12所定义的自变量的值即可．
【解答】解：（1）设y＝k（x﹣3），
把x＝6，y＝18代入得18＝k×（6﹣3），
解得k＝6，
∴y＝6（x﹣3），
即y与x的函数解析式为y＝6x﹣18；
（2）当y＝12时，6x﹣18＝12，
解得x＝5．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
38．（2023•梅州校级开学）已知直线y＝（m+2）x+m2+m﹣4（m为常数）的截距是﹣2，那么该直线的表达式为 y＝3x﹣2 ．
【分析】由直线y＝（m+2）x+m2+m﹣4（m为常数）的截距是﹣2，得到m2+m﹣4＝﹣2，求出m的值，又m+2≠0，得到m＝1，即可求出直线的表达式．
【解答】解：∵直线y＝（m+2）x+m2+m﹣4（m为常数）的截距是﹣2，
∴m2+m﹣4＝﹣2，
∴m＝1或m＝﹣2，
∵m+2≠0，
∴m≠﹣2，
∴m＝1，
∴该直线的表达式为：y＝3x﹣2．
故答案为：y＝3x﹣2．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，关键是掌握一次函数的性质．
39．（2023春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，0）和（﹣3，﹣2）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出该一次函数图象，并求它的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．
（2）利用直线解析式求得直线与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，0）和（﹣3，﹣2）．
∴，解得：．
∴这个一次函数的解析式为：y＝x﹣1．
（2）如图，
令x＝0，则y＝x﹣1＝﹣1，
∴直线与y轴的交点为（0，﹣1），
∴图象与坐标轴围成的三角形的面积＝＝．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
40．（2023•海曙区开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．
【分析】延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．把将多边形OABCDE分割两个矩形，过两个矩形的对角线的交点的直线把多边形OABCDE分割成面积相等的两部分．而M点正是矩形ABFO的中心，求得矩形CDEF的中心N的坐标，设y＝kx+b，利用待定系数法求k，b即可．
【解答】解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．
又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，
过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线MN即为所求的直线l．设直线l的函数表达式为y＝kx+b，则
解得，故所求直线l的函数表达式为．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），要有两组对应量确定解析式，即得到k，b的二元一次方程组．同时考查了不规则图形面积的平分方法；过矩形对角线交点的直线必平分它的面积．
一十八．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）
41．（2023•博罗县开学）若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，求该正比例函数的解析式．
【分析】利用正比例函数的定义得出k的值即可，得到函数解析式．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，
∴m﹣2≠0，m2﹣4＝0，
解得：m＝﹣2，
∴该正比例函数的解析式为y＝﹣4x．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
一十九．一次函数与一元一次方程（共2小题）
42．（2023春•福州期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象为直线l，则关于x的方程的解为 x＝2+ ．
【分析】根据一次函数图象可得一次函数y＝ax+b的图象经过（2，0）点，则函数y＝a（x﹣x）+b的图象经过（2+，0）点，进而得到方程的解．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过（2，0）点，
∴一次函数y＝ax+b的图象向右平移单位后，交x轴于点（2+，0），
∴关于x的方程的解为x＝2+，
故答案为：x＝2+．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与几何变换，关键是正确利用数形结合的方法解决问题．
43．（2023春•沙坪坝区校级月考）某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入x＝﹣4，输出y＝﹣1；输入x＝，输出y＝﹣1；输入x＝，输出y＝1．
（1）a＝ 4 ，k＝ 2 ，b＝ ﹣2 ；
（2）在平面直角坐标系中，请作出x≥0时的函数图象；
（3）请写出一条该函数的性质：
当x≥0时，y随着x的增大而增大 ；
（4）根据函数图象，直接写出关于x的方程kx+b＝﹣x+4解．
【分析】（1）根据待定系数求解即可；
（2）根据利用两点法作出图象即可；
（3）根据图象写出一条性质即可；
（4）作出直线y＝﹣x+4，根据直线y＝2x﹣2与直线y＝﹣x+4的交点为（2，2）即可得到答案．
【解答】解：（1）当x＜0时，，当x＝﹣4，输出y＝﹣1；
∴，
∴a＝4；
∴当x＜0时，，
当x≥0时，y＝kx+b，输入，输出y＝﹣1；
输入，输出y＝1．
∴，
解得，
∴当x≥0时，y＝2x﹣2，
故答案为：4，2，﹣2
（2）当x＝0时，y＝2x﹣2＝﹣2，
当y＝0时，0＝2x﹣2，
解得x＝1，
得到点（0，﹣2），（1，0），根据x≥0即可作出函数图象如下：
（3）该函数的性质：当x≥0时，y随着x的增大而增大；
故答案为：当x≥0时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）；
（4）如图，
根据函数图象，直线y＝2x﹣2与直线y＝﹣x+4的交点为（2，2），
∴关于x的方程kx+b＝﹣x+4解为x＝2．
【点评】此题考查一次函数与一元一次方程、反比例函数和一次函数的图象和性质、一次函数图象交点问题，数形结合和准确计算是解题的关键．
二十．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
44．（2023•未央区校级模拟）如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ）
A．x≥4B．x≤4C．x≥1D．x≤1
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．
【解答】解：∵y＝x+3经过点A（m，4），
∴m+3＝4，
解得：m＝1，
∴A（1，4），
∴关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息．
45．（2023春•城阳区期中）已知在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，那么不等式的解集为 x＞1 ．
【分析】根据两函数的交点坐标得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵从图象可知：两一次函数y＝x+与y＝﹣x+2的图象的交点坐标是（1，），
∴不等式x+＜﹣x+2的解集为x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，能了解两一次函数的交点坐标与一元一次不等式的解集的关系是解此题的关键．
二十一．一次函数的应用（共3小题）
46．（2023春•北碚区校级期中）A、B两地相距4000米，甲货车从A地匀速开往B地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从B地沿同一公路出发匀速开往A地，到达A地后停止，而甲继续开往B地，到达B地后才停止．两车之间的距离y（米）与甲货车出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图中的折线CD—DE—EF—FG所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从B地到A地用的时间为分钟；④当乙到达A地时，甲离B地的距离为米．上述说法正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③D．②④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲乙两货车的速度，然后即可计算出乙货车从B地到A地用的时间，再根据函数图象中的数据，即可计算出当乙到达A地时，甲离B地的距离．
【解答】解：由题意可得，
甲货车的速度为：4000÷40＝100（米/分钟），故①正确；
由甲乙两车在22分钟相遇可得乙货车的速度为：（4000﹣10×100）÷（22﹣10）﹣100＝150（米/分钟），故②错误；
乙货车从B地到A地用的时间为：（分钟），故③正确；
当乙到达A地时，甲行驶时间为分钟，此时离B地的距离为（米），故④正确；
正确的有①③④；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
47．（2023春•南召县月考）如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象．
①乙点前4秒是匀速运动，4秒后速度不断增加；
②甲点比乙点早4秒将速度提升到32cm/s；
③在4至8秒时间段内，甲的速度都大于乙的速度；
④甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等．
上述结论正确的是 ①②③ （只填序号）．
【分析】根据前4s内，乙的速度﹣时间图象是一条平行于x轴的直线，即速度不变，4秒后直线呈上升趋势，则速度不断增加；8秒时速度是32cm/s，乙12秒时速度是32cm/s，直接可判断②；在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，可判断③；算出甲、乙3秒所走路程即可判断④．
【解答】解：根据图象可得，乙前4秒的速度不变，是匀速运动，4秒后速度不断增加，
故①正确，；
从图象可知，甲点8秒时速度是32cm/s，乙点12秒时速度是32cm/s，
故②正确，；
在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，
故③正确；
甲每秒增加的速度为：32÷8＝4（米/秒），3×4＝12（米/秒），
∴甲前3秒平均速度为＝6（米/秒），运动路程为6×3＝18（米）；
乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×3＝36米，
所以甲、乙两点到第3秒时运动的路程不相等，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了一次函数的应用，弄清函数图象表示的意义是解本题的关键．
48．（2023•市北区校级开学）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中l甲，l乙分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法中正确的是 ①③④ ．
①乙比甲提前12分钟到达；
②甲平均速度为0.25千米/小时；
③甲、乙相遇时，乙走了6千米；
④乙出发6分钟后追上甲．
【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，
所以乙比甲提前了12分钟到达，
故①正确；
②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度＝10÷＝15（km/h），
故②错误•；
④设乙出发x分钟后追上甲，则有：×x＝×（18+x），
解得x＝6，
故④正确；
③由④知：乙遇到甲时，所走的距离为：6×＝6（km），
故③正确．
所以正确的结论有三个：①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
二十二．一次函数综合题（共6小题）
49．（2023春•雨花区期中）约定：如果函数的图象经过点（m，n），我们就把此函数称作“（m，n）族函数”．比如：正比例函数y＝2x的图象经过点（1，2），所以正比例函数y＝2x就是“（1，2）族函数”．
（1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是 BE （填选项）
②以下是“（﹣1，1）族函数”的是 AEF （填选项）
A.
B．|y|＝x
C．y＝x2+2x﹣4
D．y＝|x|+1
E．y2＝﹣x
F．y＝2x+3
（2）已知一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）．
①若该函数是“（﹣，4）族函数”，求k的值．
②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．
（3）已知一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”．当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有，求该一次函数的解析式．
【分析】（1）①根据函数的定义即可求解；
②将点（﹣1，1）代入各选项函数解析式中即可解答；
（2）①将点（﹣，4）代入一次函数y＝kx﹣k+1中，即可求解；
②函数解析式可变形为y＝k（x﹣1）+1，令x﹣1＝0即可求解；
（3）由题意可知一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），联立两函数解析式，求得交点为（﹣1，2），即m＝﹣1，n＝2，进而得到当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有2≤y≤4，再分k＞0或k＜0两种情况，当k＞0时，此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4）；当k＜0时，此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2）；再分别根据待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）①对于B选项，|y|＝x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
对于E选项，y2＝﹣x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
故答案为：BE；
②A．∵，∴是“（﹣1，1）族函数”，
B．∵1≠﹣1，∴|y|＝x不是“（﹣1，1）族函数”，
C．∵1≠1﹣2﹣4，∴y＝x2+2x﹣4不是“（﹣1，1）族函数”，
D.1≠1+1，∴y＝|x|+1不是“（﹣1，1）族函数”，
E.1＝﹣（﹣1），∴y2＝﹣x是“（﹣1，1）族函数”，
F.1＝﹣2+3，∴y＝2x+3是“（﹣1，1）族函数”，
故答案为：AEF；
（2）①∵一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）是“（﹣，4）族函数”，
∴4＝﹣k+1，
解得：k＝﹣2；
②∵y＝kx﹣k+1＝k（x﹣1）+1，
令x﹣1＝0，则x＝1，y＝1，
∴无论k取何值，该函数必经过一定点（1，1）；
（3）∵一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”，
∴一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），
联立得：，
解得：，
∴交点为（﹣1，2），
∴m＝﹣1，n＝2，
∵当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有，
∴当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有2≤y≤4，
①当k＞0时，
此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4），
∴，
解得：，
∴y＝x+3；
②当k＜0时，
此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2），
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+3；
综上，该一次函数的解析式为y＝x+3或y＝﹣x+3．
【点评】本题主要考查函数的定义、新定义、用待定系数法求函数解析式、一次函数的性质，理解新定义，并学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．
50．（2023春•雨花区期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段AB的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作AQ∥BP交PM的延长线于Q，PM交y轴于点C，连接OM．
（1）线段OM的长；
（2）①证明：四边形AQBP是平行四边形；
②当m取何值时，四边形AQBP是菱形；
（3）若点M坐标为（3，4），当﹣3≤m≤﹣2时，记（其中OC示线段OC的长度），求s的最大值．
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后依据点M是线段AB的中点得出点M的坐标，即可求解；
（2）①证明△AMQ≌△BMP（ASA），根据全等三角形的性质得AQ＝BP，根据平行四边形的判定即可得出结论；
②根据菱形的判定和性质即可求解；
（3）利用待定系数法求出直线PM的解析式为y＝x+，可得C （0，），则OC＝，s＝＝2m﹣6，根据一次函数的性质即可求解．
【解答】（1）解：∵y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，﹣x+8＝0，
解得x＝6，
∴A（0，8），B（6，0），
∵点M是线段AB的中点，
∴点M（3，4），
∴OM＝＝5；
（2）①证明：∵AQ∥BP，
∴∠AQM＝BPM，
∵点M是线段AB的中点，
∴AM＝BM，
∵∠AMQ＝∠BMP，
∴△AMQ≌△BMP（ASA），
∴AQ＝BP，
∵AQ∥BP，
∴四边形AQBP是平行四边形；
②解：当AP＝BP时，平行四边形AQBP是菱形，
∵点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，
∴P（m，0）（m＜0），
∵A（0，8），B（6，0），
∴BP＝＝，AP＝6﹣m，
∴＝6﹣m，解得m＝﹣，
∴当m＝﹣时，四边形AQBP是菱形；
（3）解：设直线PM的解析式为y＝kx+b，
∵M（3，4），P（m，0）（﹣3≤m≤﹣2），
∴，解得，
∴直线PM的解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
∴C （0，），
∴OC＝，
∴s＝＝2m﹣6，
∵2＞0，
∴s随m的增大而增大，
∵﹣3≤m≤﹣2，
∴当m＝﹣2时，s的最大值为2×（﹣2）﹣6＝﹣10．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
51．（2023春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．
（1）求直线CD的解析式；
（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；
（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出OA，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形OBCP的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形PQC的面积，即可求出点Q的坐标；
（3）先求出直线l为y＝﹣x+3，然后得到OE＝3，然后分情况进行分析：当OE＝3作为矩形OEMN的边时；当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则x＝1，
∴点A为（1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝OD＝4OA＝4，
∴点C为（4，0），点D为（0，4），
设直线CD的解析式为y＝kx+b；
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：在y＝2x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B为（0，﹣2），
∵，
解得，
∴点P的坐标为（2，2）；
∴；
∵点Q在直线AB上，则设点Q为（x，2x﹣2），则
当点Q在点B的下方时，如图：
∵AC＝3，点P的坐标为（2，2），
∴，
∵S△PQC＝S四边形OBCP，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为；
当点Q在点P的上方时，如图：
，
∴，
∴
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为；
综合上述，点Q的坐标为或；
（3）解：∵直线CD向下平移1个单位长度得到直线l，
∴直线l为y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴点E的坐标为（3，0），
即OE＝3；
当OE＝3作为矩形OEMN的边时，如图：
∴点N的坐标为（0，3），
∴点M的坐标为（3，3）；
当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时，如图：
∴点F的坐标为，
∵tan∠OEN＝|﹣1|＝1，
∴∠OEN＝45°，
∵ON⊥NE，
∴△ONE是等腰直角三角形，
∴ON＝NE，
∴四边形ONEM是正方形，
∴MN⊥OE，MN＝OE，
∴，
∴点M的坐标为；
综合上述，则点M的坐标为（3，3）或；
【点评】本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
52．（2023春•宜兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），点B、C都在x轴上，BC＝12，AD∥BC，CD所在直线的函数表达式为y＝﹣x+9，E是BC的中点，点P是BC边上一个动点．
（1）当PB＝ 1或11 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
【分析】（1）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD＝PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；
（2）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（1）知，当BP＝11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边，证明它们相等即可证明是菱形．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，
∴D点的纵坐标为4，y＝4时，4＝﹣x+9，x＝5，
∴D点的横坐标为5，
∴D（5，4），
∵CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，y＝0时，0＝﹣x+9，x＝9，
∴C（9，0），
∴OC＝9，
作DN⊥BC交于N，如图1所示，
则四边形OADN为矩形，
∴CN＝OC﹣ON＝OC﹣AD＝9﹣5＝4，DN＝4，
∴△DNC为等腰直角三角形，
∴CD＝＝4，
若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD＝PE＝5，
有两种情况：①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE＝6，
∴PB＝BE﹣PE＝6﹣5＝1；
②当P在E的右边，
PB＝BE+PE＝6+5＝11；
故当PB＝1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，
故答案为：1或11；
（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形，理由如下：
①当BP＝1时，此时CN＝DN＝4，NE＝6﹣4＝2，
∴DE＝＝＝2≠AD，
故不能构成菱形．
②当BP＝11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴EP＝AD＝5，
过D作DN⊥BC于N，如图2所示：
由（1）得：DN＝CN＝4，
∴NP＝BP﹣BN＝BP﹣（BC﹣CN）＝11﹣（12﹣4）＝3．
∴DP＝＝＝5，
∴EP＝DP＝AD＝5，
故此时平行四边形PDAE是菱形，
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
53．（2023春•福州期中）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0．
（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；
（2）若∠ABO＝60°．
①求直线l1的解析式；
②若直线l2：y＝mx+m与直线l1相交，且两条直线所夹的锐角为45°，求m的值．
【分析】（1）根据当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，可得当x＝3时，y＝0，即A（3，0），即可得k，b的关系式为k＝﹣；
（2）①由A（3，0），∠ABO＝60°，可得B（0，），用待定系数法即可得直线l1的解析式为y＝﹣x+；②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，分两种情况：当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，由y＝mx+m可得D（﹣1，0），即可得BD2+AB2＝AD2，故∠ABD＝90°＝∠DBC，从而△BCD是等腰直角三角形，由∠CBH＝∠ABO＝60°，可得C（﹣，+1），代入y＝mx+m得m＝﹣2﹣；当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，由△BDC是等腰直角三角形，有AC＝AB﹣BC＝2﹣2，而∠ABO＝60°，即可得C（，﹣1），代入y＝mx+m得m＝2﹣．
【解答】解：（1）∵当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，
∴当x＝3时，y＝0，即A（3，0），
∴3k+b＝0，
∴k＝﹣，
∴k，b的关系式为k＝﹣；
（2）①如图：
由（1）知，A（3，0），
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB＝＝＝，
∴B（0，），
把A（3，0），B（0，）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+；
②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，
当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，如图：
在y＝mx+m中，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
∵A（3，0），B（0，），
∴AD＝4，AB＝2，BD＝2，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°＝∠DBC，
∵∠ACD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
在Rt△BCH中，∠CBH＝∠ABO＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝BC＝1，CH＝BH＝，
∴C（﹣，+1），
把C（﹣，+1）代入y＝mx+m得：
﹣m+m＝+1，
解得m＝﹣2﹣；
当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，如图：
∵∠BCD＝45°，∠DBC＝90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
∵AB＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣2，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
在Rt△ACK中，
CK＝AC＝﹣1，AK＝CK＝3﹣，
∴OK＝OA﹣AK＝3﹣（3﹣）＝，
∴C（，﹣1），
把C（，﹣1）代入y＝mx+m得：
m+m＝﹣1，
解得m＝2﹣，
综上所述，两条直线所夹的锐角为45°，m的值为﹣2﹣或2﹣．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
54．（2023春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD．
（1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．
①当∠CBP＝ 30 °时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；
②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求出此时x的值．
【分析】（1）过C作CH⊥y轴于H，在y＝﹣x+3中，可得A（4，0），B（0，3），即有OA＝4，OB＝3，AB＝5，而C（3，7），故OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，可证△AOB≌△BHC（SAS），得AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，从而可得∠ABC＝90°，根据四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，即知四边形ABCD是正方形；
（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，由Q在AD的垂直平分线上，可得BQ＝CQ，而C关于直线BP的对称点是Q，有BC＝BQ，故△BCQ是等边三角形，∠CBQ＝60°，即可得∠CBP＝∠QBP＝∠CBQ＝30°；
②由∠AQD＝90°，C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，可得∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，而AB＝BQ，有∠BQA＝∠BAQ，故∠DQE＝∠QDE，即得QE＝DE，从而可得DE＝QE＝AE＝，设CP＝PQ＝x，在Rt△PDE中有（5﹣x）2+（）2＝（x+）2，从而可解得x的值是．
【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，理由如下：
过C作CH⊥y轴于H，如图：
在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝＝5，
∵C（3，7），
∴BH＝OH﹣BO＝4，CH＝3，
∴OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，
在△AOB和△BHC中，
，
∴△AOB≌△BHC（SAS），
∴AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠ABO+∠HBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，如图：
∵Q在AD的垂直平分线上，
∴直线QK是正方形ABCD的对称轴，
∴QK是BC的垂直平分线，
∴BQ＝CQ，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴BC＝BQ，
∴BC＝BQ＝CQ，
∴△BCQ是等边三角形，
∴∠CBQ＝60°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴∠CBP＝∠QBP＝∠CBQ＝30°，
故答案为：30；
②如图：
∵∠AQD＝90°，
∴∠DQE+∠EQA＝90°，∠QDE+∠DAQ＝90°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，
∴∠BQP＝∠C＝90°，∠BAD＝90°，AB＝BC＝BQ，
∴∠BQE＝90°＝∠BQA+∠EQA，∠BAQ+∠DAQ＝90°，
∴∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，
∵AB＝BQ，
∴∠BQA＝∠BAQ，
∴∠DQE＝∠QDE，
∴QE＝DE，
∵∠EQA＝90°﹣∠DQE＝90°﹣∠QDE＝∠EAQ，
∴QE＝AE，
∴DE＝QE＝AE，
∴QE＝DE＝AD＝AB＝，
设CP＝PQ＝x，则PD＝CD﹣x＝5﹣x，PE＝PQ+QE＝x+，
在Rt△PDE中，PD2+DE2＝PE2，
∴（5﹣x）2+（）2＝（x+）2，
解得x＝，
∴x的值是．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及正方形的判定，等边三角形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握对称的性质．
解析式
（为常数，且）
自变量取值范围
全体实数
图像
形状
过（0，）和（，0）点的一条直线
、的取值
示意图
位置
经过一、二、三象限
经过一、三、四象限
经过一、二、四象限
经过二、三、四象限
趋势
从左向右上升
从左向右下降
函数变化规律
随的增大而增大
随的增大而减小
方程（组）、不等式问题
函 数 问 题
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解
为何值时，函数的值为0？
确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标
求关于、的二元一次方程组的解．
为何值时，函数与函数的值相等？
确定直线与直线的交点的坐标
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集
为何值时，函数的值大于0？
确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y
2.83
2.5
a
2.06
b
2.06
2.24
2.5
2.83
年份
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
2020
全球CO2排放量/百万吨
6002
9475
14989
19287
22588
24688
34180
35962
刹车时车速（km/h）
0
10
20
30
40
50
…
刹车距离（m）
0
2.5
5
7.5
10
12.5
…
一．常量与变量（共2小题） 二．函数的概念（共1小题）
三．函数关系式（共3小题） 四．函数自变量的取值范围（共2小题）
五．函数的图象（共3小题） 六．动点问题的函数图象（共3小题）
七．函数的表示方法（共2小题） 八．一次函数的定义（共2小题）
九．正比例函数的定义（共2小题） 十．一次函数的图象（共2小题）
十一．正比例函数的图象（共1小题） 十二．一次函数的性质（共3小题）
十三．正比例函数的性质（共2小题） 十四．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
十五．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 十六．一次函数图象与几何变换（共3小题）
十七．待定系数法求一次函数解析式（共4小题） 十八．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）
十九．一次函数与一元一次方程（共2小题） 二十．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
二十一．一次函数的应用（共3小题） 二十二．一次函数综合题（共6小题）
一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法.
二、一次函数的相关概念
一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
三、一次函数的图像及性质
1、函数的图像
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.
要点诠释：
直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图像之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图像特征
掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质）
要点诠释：
理解、对一次函数的图像和性质的影响：
（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
与相交；
，且与平行；
，且与重合；
（3）直线与一次函数图像的联系与区别
一次函数的图像是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图像.
四、用函数的观点看方程、方程组、不等式
一．常量与变量（共2小题）
1．（2023春•福州期中）某种签字笔每只a元，买5只签字笔共支出b元，下列选项判断正确的是（ ）
A．a是常量时，b是变量
B．a是变量时，b是常量
C．a是变量时，b也是变量
D．无论a论常量还是变量，b都是变量
【分析】根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，判断即可．
【解答】解：根据题意，可知a是变量时，b也是变量，
故选：C．
【点评】本题考查了常量和变量，熟练掌握常量和变量的概念是解题的关键．
2．（2023春•中原区期中）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．在上述变化过程中，因变量是 汽车的速度 ．
【分析】根据变量与常量的定义进行判定即可得出答案．
【解答】解：汽车的速度随时间的变化而变化，在该变化过程中因变量是汽车的速度．
故答案为：汽车的速度．
【点评】本题主要考查了变量与常量，熟练掌握变量与常量的定义进行求解是解决本题的关键．
二．函数的概念（共1小题）
3．（2023春•淮阳区月考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【解答】解：∵在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
∴只有选项C不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
三．函数关系式（共3小题）
4．（2023春•平阴县期中）一蜡烛高24厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是 h＝24﹣4t （0≤t≤6）．
【分析】根据蜡烛点燃后剩余的高度＝蜡烛的高度﹣蜡烛燃烧的高度可列关系式．
【解答】解：由题意得蜡烛点燃后剩余的高度h（cm）与燃烧时间t（时）之间的关系式为h＝24﹣4t．
故答案为：h＝24﹣4t．
【点评】本题主要考查函数关系式，找准等量关系是解题的关键，属于基础题．
5．（2023•梅州校级开学）已知长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，面积为ycm2，则这个长方形的面积y与x之间的关系可表示为 y＝﹣x2+8x ．
【分析】用含有x的代数式表示出矩形的长，进而表示出面积y即可．
【解答】解：由矩形的面积的计算方法得：
y＝x×＝﹣x2+8x，
故答案为：y＝﹣x2+8x．
【点评】本题考查函数的表示方法，用代数式表示边长和面积，是正确解答的前提．
6．（2023•龙川县校级开学）如图，△ABC的边BC长是8，BC边上的高AD′是4，点D在BC运动，设BD长为x，请写出△ACD的面积y与x之间的函数关系式 y＝﹣2x+16 ．
【分析】直接利用三角形面积求法得出y与x之间的函数关系即可．
【解答】解：由题意可得，△ACD的面积y与x之间的函数关系式为：
y＝AD′•DC＝×4×（8﹣x）＝﹣2x+16．
故答案为：y＝﹣2x+16．
【点评】此题主要考查了函数关系式，正确掌握钝角三角形面积求法是解题关键．
四．函数自变量的取值范围（共2小题）
7．（2023•文山州一模）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x≤2D．x＜2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：4﹣2x≥0，
解得：x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8．（2023春•原阳县月考）函数自变量a的取值范围 a≠2和﹣3 ．
【分析】根据分式的分母不为0、负整数指数幂的概念列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：a﹣2≠0且a+3≠0，
解得：a≠2和﹣3，
故答案为：a≠2和﹣3．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0、负整数指数幂的概念是解题的关键．
五．函数的图象（共3小题）
9．（2023春•济阳区期中）在1000米中长跑考试中，小明开始慢慢加速，当达到某一速度后保持匀速，最后200米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据小明的速度的变化判断即可．
【解答】解：由小明立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与x轴平行；最后2000米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡．
故选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键．
10．（2023•龙川县校级开学）如图，折线ABC为从甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y（元）与通话时间t（min）之间变化关系的图象．
（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？
（2）由图象可知，当通话时间为2min时，应付电话费多少元？当通话时间为5min时，应付电话费多少元？
【分析】（1）根据题意，可得两个变量是电话费y（元）与通话时间t（分钟）；
（2）根据观察函数图象的纵坐标，可得相应的函数值．
【解答】（1）所需付的电话费 y（元）与通话时间 t（min） 之间的关系；
（2）当通话时间为 2min 时，应付电话费 2.4 元；
当通话时间为 5min 时，应付电话费 4.4 元．
【点评】本题考查了函数图象，利用了函数的定义，观察函数图象获取信息是解题关键．
11．（2023•平远县校级开学）如图，反映了小明从家出发到超市购物以及从超市返回家的时间与距离之间的关系．
（1）图中自变量是 时间 ，因变量是 小明距家的距离 ．
（2）小明到达超市用了 20 分钟，小明往返途中共花了 35 分钟．
（3）小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义，即可进行解答；
（2）根据函数图象，即可进行解答；
（3）根据图象可得，小明从家到超市时路程为900米，时间为20分钟，返回时路程为900米，时间为45﹣30＝15分钟，根据速度公式即可进行解答．
【解答】解：（1）由图可知：
图中自变量是时间，因变量是小明距离家的路程．
故答案为：时间，小明距离家的路程．
（2）由图可知：
小明到达超市用了20分钟，小明往返途中共花了45﹣（30﹣20）＝35（分钟）．
故答案为：20，35．
（3）根据图象可得，小明从家到超市时路程为900米，时间为20分钟，
∴小明从家到超市时速度为：（米/分钟），
返回时路程为900米，时间为45﹣30＝15（分钟），
∴返回时的速度为：（米/分钟）．
答：小明从家到超市时的平均速度是45米/分钟，返回时的平均速度是60米/分钟．
【点评】本题主要考查了根据函数图象解决问题，解题的关键是观察图象，根据图象得出需要的数据．
六．动点问题的函数图象（共3小题）
12．（2023•武昌区模拟）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为ts，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到BC的中点时，△PAD的面积为（ ）
A．7B．7.5C．8D．8.6
【分析】首先结合图形和函数图象判断出CD的长和AD的长，进而可得AB的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当5＜t≤10时直线解析式，然后再代入t的值计算出s即可．
【解答】解：根据题意得：四边形ABCD是梯形，
当点P从C运动到D处需要2秒，则CD＝2，△ADP面积为4，
则AD＝4，
根据图象可得当点P运动到B点时，△ADP面积为10，
则AB＝5，则运动时间为5秒，
∴E（5，10），
设当5＜t≤10时，函数解析式为s＝kt+b，
∴，
解得，
∴当5＜t≤10时，函数解析式为S＝﹣t+16，
当P运动到BC中点时时间t＝7.5，
则S＝7，
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键．
13．（2023春•淮阳区月考）如图1，等腰Rt△ABC的边BC与正方形DEFG的边DE都在直线l上，且点C与点D重合，AB＝BC＝DG＝2cm，将△ABC沿着射线DE方向移动至点B与点E重合停止，连接BG，设C、D两点间的距离为xcm，B、G两点间的距离为ycm．
小陈根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小陈的探究过程，请补充完整．
（1）列表：如表的已知数据是根据C、D两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值；请你通过计算补全表格a＝ 2.24 ，b＝ 2 ；
（2）描点、连线：如图2，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）探究性质：随着x值的逐渐增大，y的值是怎样变化的？ 当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，当2＜x≤4时，y随x的增大而增大 ．
（4）解决问题：当BG+CD＝4.5时，C、D两点间的距离x是 0.5 ．
【分析】（1）根据勾股定理进行计算便可；
（2）用描点法作出函数图象；
（3）根据函数图象解答；
（4）根据表格中数据可得结果．
【解答】解：（1）当x＝1时，CD＝1，
∴BD＝AC＝CD＝2﹣1，
∴y＝a＝BG＝，
当x＝2时，CD＝2，
∵BC＝2，
∴B与D重合，
∴y＝b＝BG＝＝DG＝2，
故答案为：2.24；2；
（2）根据描点法作出图象如下：
（3）由函数图象可知，当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，当2＜x≤4时，y随x的增大而增大，
故答案为：当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，当2＜x≤4时，y随x的增大而增大；
（4）由表格数据可知，当x+y＝3时，x≈0.5，
故答案为：0.5．
【点评】本题动点问题的函数图象，勾股定理，正方形的性质，关键是正确作图函数图象，从函数图象上获取信息．
14．（2023春•思明区校级月考）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．
（1）直接写出m＝ 1 ，a＝ 4 ，b＝ 9 ；
（2）求长方形的长；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式．
【分析】（1）当x＝a时，S△ABP＝8，从而得出a和m的值，当x＝b时，S△ABP＝4，从而求得b的值；
（2）由图象可知，BC的长度，在5≤x≤7时，S△ABP＝12，求出BC的长；
（3）分0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤4三种情况讨论．
【解答】解：（1）当x＝a时，S△ABP＝×4×BP＝8，
∴BP＝4，
∴CP＝2，
∴a＝5﹣（2÷2）＝4，
∴m＝＝1，
当x＝b时，S△ABP＝×4×AP＝4，
∴AP＝2，
∴DP＝4，
∴b＝7+（4÷2）＝9，
故答案为：1；4；9；
（2）在5≤x≤7时，△ABP的面积不变，
此时：点P在BC上运动，速度为每秒2个单位，
∴AD＝BC＝2×2＝4，
在5≤x≤7时，△ABP的面积为12，
∴×4×BC＝12，
∴BC＝6，
∴长方形的长为6；
（3）根据题意可知，BC＝4×1+1×2＝6，CD＝2×2＝4；
当0≤x≤1时，如图，BP＝3+x，CQ＝x，
∴y＝BP•CQ＝×（3+x）•x＝x2+x；
当1＜x≤2时，如图，BP＝4+2（x﹣1）＝2x+2，CQ＝x，
y＝BP•CQ＝×（2x+2）•x＝x2+x；
当2＜x≤4时，如图，CP＝2（x﹣2），CQ＝x，
∴PQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x，
∴y＝BP•CQ＝×（4﹣x）•6＝12﹣3x；
∴y＝．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，掌握矩形的性质，三角形的面积公式，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
七．函数的表示方法（共2小题）
15．（2023春•南海区校级月考）科学家认为二氧化碳（CO2）的释放量越来越多是全球变暖的原因之一．下表1950﹣2020年全球排放的二氧化碳量：
其中因变量为 二氧化碳（CO2）的释放量 ．
【分析】根据自变量、因变量的定义分别得出即可．
【解答】解：由表可知，二氧化碳（CO2）的释放量随着年份的增加而增大．
∴因变量为二氧化碳（CO2）的释放量；
故答案为：二氧化碳（CO2）的释放量．
【点评】本题主要考查了自变量、因变量的定义，解题的关键是熟记定义进行判断．
16．（2023春•济阳区期中）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
（1）自变量是 刹车时车速 ，因变量是 刹车距离 ；
（2）当刹车时车速为100km/h时，刹车距离是 25 m；
（3）该种型号汽车的刹车距离用y（m）表示，刹车时车速用x（km/h）表示，根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式： y＝0.25x（x≥0） ；
（4）你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由．
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据表格数据可得答案；
（3）根据刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，可得答案；
（4）结合（3）的结论得出可得车速为110km/h的，刹车距离，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
（2）当刹车时车速为100km/h时，刹车距离是25m．
故答案为：25；
（3）由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，
∴y与x之间的关系式为：y＝0.25x（x≥0），
故答案为：y＝0.25x（x≥0）；
（4）当x＝110时，y＝110×0.25＝27.5，
∵27.5＜31，
∴该汽车不会和前车追尾．
【点评】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键．
八．一次函数的定义（共2小题）
17．（2023春•天山区月考）下列函数：①y＝；②y＝﹣；③y＝3﹣x；④y＝3x2﹣2；⑤y＝x2﹣（x﹣3）（x+2）；⑥y＝6x．其中，是一次函数的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．当b＝0时，函数为y＝kx（k≠0），所以正比例函数是一种特殊的一次函数．
【解答】解：①y＝x，正比例函数，属于一次函数，符合题意；
②不是整式，不符合题意；
③y＝﹣x+3，符合题意；
④x的次数是2，不符合题意；
⑤y＝x2﹣（x2﹣x﹣6）＝x+6，符合题意；
⑥这是x次方，不是1次，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的概念，注意一次函数必须是整式，x的最高次数只能是1，对于⑤要化简后再判断．
18．（2023•沙坪坝区校级开学）已知函数是关于x的一次函数，则m的值是 ﹣4 ．
【分析】根据一次函数的定义求解．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣4）xm2﹣15+6是关于x的一次函数，
∴m﹣4≠0且m2﹣15＝1，
解得：m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
九．正比例函数的定义（共2小题）
19．（2023春•渝中区校级月考）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据正比例函数y＝kx（k≠0）定义来判断即可．
【解答】解：A、，是一次函数，但不是正比例函数，不符合题意；
B、，是正比例函数，符合题意；
C、，不是正比例函数，不符合题意；
D、，不是正比例函数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数是常数是0的一次函数是解题的关键．
20．（2023春•衡山县校级月考）定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数．若特征数是[2，k﹣2]的一次函数为正比例函数，则k的值是 2 ．
【分析】根据新定义写出一次函数的表达式；由正比例函数的定义确定k的值．
【解答】解：根据题意，特征数是[2，k﹣2]的一次函数表达式为：y＝2x+（k﹣2）．
因为此一次函数为正比例函数，所以k﹣2＝0，
解得：k＝2．
故填2．
【点评】此题为阅读理解题，结合考查正比例函数的定义，有新意，但难度不大．
一十．一次函数的图象（共2小题）
21．（2023春•包河区月考）在一次函数y＝ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据y＝kx+b，k＜0时，y随x的增大而减小，可得答案．
【解答】解：在y＝ax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，
故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象，利用一次函数的性质是解题关键．
（多选）22．（2023春•胶州市期中）已知直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列选项是关于x的不等式k1x+b1＞k2x+b2的正整数解的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据函数的图象得出两函数的交点坐标，再根据图象得出即可．
【解答】解：∵根据图象可知：两函数的交点坐标为（3，2），
∴关于x的不等式k1x+b1＞k2x+b2的正整数解的取值范围是x＜3，
∴1和2是关于x的不等式k1x+b1＞k2x+b2的正整数解．
故选：AB．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式和一次函数的性质，能根据函数的图象得出两函数的交点坐标是解此题的关键．
一十一．正比例函数的图象（共1小题）
23．（2023春•桐柏县校级月考）如图，三个一次函数的图象分别对应解析式①y＝k1x+b1；②y＝k2x；③y＝k3x+b3．将k1，k2，k3从小到大排列，并用“＜”连接为（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k3＜k2＜k1D．k3＜k1＜k2
【分析】根据函数图象所经过的象限判断k的符号；然后根据直线的倾斜情况确定k的大小．
【解答】解：如图所示，k3＜0，k1＞0，k2＞0，
∴k3最小．
∵直线y＝k1x+b1比直线y＝k2x倾斜度小，
∴k1＜k2，
∴k3＜k1＜k2．
故选：D．
【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
一十二．一次函数的性质（共3小题）
24．（2023春•北碚区校级月考）一次函数y＝﹣2x+5的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】一次项系数﹣2＜0，则图象经过二、四象限；常数项5＞0，则图象还过第一象限．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴图象经过二、四象限；
∵5＞0，
∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，图象经过第一象限．
∴一次函数y＝﹣2x+5的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
25．（2023春•靖江市期中）若点（﹣3，y1）、（3，y2）都在函数y＝x+1的图象上，则y1和y2的大小关系为y1 ＜ y2（用“＞”、“＝”、“＜”填空）．
【分析】由k＝1＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣3＜3，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点（﹣3，y1）、（3，y2）都在函数y＝x+1的图象上，且﹣3＜3，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
26．（2023春•盐湖区校级月考）如图，已知一次函数y＝﹣x+3，当x ＝5 时，y＝﹣2；
当x ＞5 时，y＜﹣2；
当x ＜5 时，y＞﹣2；
当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 0＜x＜6 ．
【分析】根据函数图像上即可求解．
【解答】解：如图，
y＝﹣2，即﹣x+3＝﹣2，解得x＝5，
故答案为：x＝5．
y＜﹣2即，在y＝﹣2直线下方所有的横坐标点的集合．
故答案为：x＞5．
y＞﹣2即，在y＝﹣2直线上方所有的横坐标点的集合．
故答案为：x＜5．
﹣3＜y＜3即，在y＝﹣3、y＝3直线之间所有的横坐标点的集合．
故答案为：0＜x＜6．
【点评】本题考查了一次函数图像与一元一次不等式，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
一十三．正比例函数的性质（共2小题）
27．（2023•碑林区校级二模）已知正比例函数y＝kx中，y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣kx+k的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四
【分析】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、二、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质和一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限．
28．（2023•惠阳区开学）已知正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据正比例函数的性质，得到m＜0，|m|＝1，然后求解即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，
∴m＜0，|m|＝1，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的有关性质．
一十四．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
29．（2023春•沙坪坝区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b≥0D．k＜0，b≤0
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，
∴k＜0，b≥0．
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交是解题的关键．
30．（2023春•渝中区校级月考）若关于x的一次函数y＝（7﹣m）x﹣9的图象不经过第二象限，且关于y的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是（ ）
A．16B．10C．18D．14
【分析】根据题意和一次函数的性质、分式方程有意义的条件，可以得出m的取值范围，再写出符合要求的m的整数值，再计算即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（7﹣m）x﹣9的图象不经过第二象限，
∴7﹣m＞0，
解得m＜7，
解方程可得，，
∵分式方程有有非负数解，
∴且，
解得m＞2且m≠4，
由上述可得，m的取值范围为2＜m＜7且m≠4，
∴m的整数值为3，5，6，
∴3+5+6＝14．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象与系数的关系、解分式方程、解一元一次不等式，解决本题的关键是明确题意，求出m的取值范围．
31．（2023•红桥区一模）若一次函数y＝2x+b﹣1（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是 b＞1 ．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+b﹣1的图象经过第一、二、三象限，
∴b﹣1＞0，
∴b＞1．
故答案为：b＞1．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．记住k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
一十五．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
32．（2023•靖江市模拟）已知点在一次函数y＝（m2+1）x+2n（m，n为常数）的图象上，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法判断
【分析】由偶次方的非负性可得出m2≥0，进而可得出m2+1＞0，利用一次函数的性质可得出y值随x的增大而增大，再结合﹣1＜3，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵m2≥0，
∴m2+1＞0，
∴y值随x的增大而增大．
∵a2+1﹣（2a﹣1）＝a2﹣2a+1+1＝（a﹣1）2+1＞0，
∴a2+1＞2a﹣1，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及偶次方的非负性，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
33．（2023春•新城区校级月考）如图，函数y＝2x﹣4与x轴，y轴交于点（2，0），（0，﹣4），当﹣4＜y＜0时，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．0＜x＜2D．﹣1＜x＜2
【分析】由图知：当0＜x＜2时，﹣4＜y＜0；因此当﹣4＜y＜0时，0＜x＜2，由此可得解．
【解答】解：函数y＝2x﹣4与x轴、y轴交于点（2，0），（0，﹣4），
即当0＜x＜2时，函数值y的范围是﹣4＜y＜0，
因而当﹣4＜y＜0时，x的取值范围是0＜x＜2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想是解决本题的关键．
一十六．一次函数图象与几何变换（共3小题）
34．（2023春•崇川区校级月考）将直线y＝﹣2x﹣2向上平移1个单位长度，可得直线的表达式为y＝ y＝﹣2x﹣1 ．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝﹣2x﹣2向上平移1个单位长度，可得直线的解析式为：y＝﹣2x﹣2+1，即y＝﹣2x﹣1．
故答案为：y＝﹣2x﹣1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象“上加下减，左加右减”的平移法则是解答此题的关键．
35．（2023春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过t秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，则t的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】依题意，直线经过平行四边形对角线的交点时，平分平行四边形的面积，求出对角线交点坐标，进而根据一次函数平移的性质即可求解．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y＝kx+b，
∵平行于y＝2x+1，
∴k＝2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握平行四边形的中心对称性质，直线经过对角线的交点是解题的关键．
36．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴上，AO＝4，CO＝2，直线y＝x+1以每秒1个单位长度向下移动，经过 2 秒该直线可将矩形OABC的面积平分．
【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝x+1经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝x+1的直线解析式，从而可得直线y＝x+1要向下平移2个单位，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，
当y＝x+1经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分；
∵AC，BO是▱OABC的对角线，
∴OD＝BD，
∵AO＝4，CO＝2，
∴B（4，2），
∴D（2，1），
根据题意设平移后直线的解析式为y＝x+b，
∵D（2，1），
∴1＝2+b，解得b＝﹣1，
∴平移后的直线的解析式为y＝x﹣1，
∴直线y＝x+1要向下平移2个单位，
∴时间为2秒，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．
一十七．待定系数法求一次函数解析式（共4小题）
37．（2023春•崇川区校级月考）已知y与x﹣3成正比例，当x＝6时，y＝18，求：
（1）y与x的函数解析式；
（2）当y＝12时，求x的值．
【分析】（1）根据正比例函数的定义，设y＝k（x﹣3），然后把已知的一组对应值代入求出k，从而得到y与x的函数解析式；
（2）利用（1）中的解析式，计算函数值为12所定义的自变量的值即可．
【解答】解：（1）设y＝k（x﹣3），
把x＝6，y＝18代入得18＝k×（6﹣3），
解得k＝6，
∴y＝6（x﹣3），
即y与x的函数解析式为y＝6x﹣18；
（2）当y＝12时，6x﹣18＝12，
解得x＝5．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
38．（2023•梅州校级开学）已知直线y＝（m+2）x+m2+m﹣4（m为常数）的截距是﹣2，那么该直线的表达式为 y＝3x﹣2 ．
【分析】由直线y＝（m+2）x+m2+m﹣4（m为常数）的截距是﹣2，得到m2+m﹣4＝﹣2，求出m的值，又m+2≠0，得到m＝1，即可求出直线的表达式．
【解答】解：∵直线y＝（m+2）x+m2+m﹣4（m为常数）的截距是﹣2，
∴m2+m﹣4＝﹣2，
∴m＝1或m＝﹣2，
∵m+2≠0，
∴m≠﹣2，
∴m＝1，
∴该直线的表达式为：y＝3x﹣2．
故答案为：y＝3x﹣2．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，关键是掌握一次函数的性质．
39．（2023春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，0）和（﹣3，﹣2）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出该一次函数图象，并求它的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．
（2）利用直线解析式求得直线与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，0）和（﹣3，﹣2）．
∴，解得：．
∴这个一次函数的解析式为：y＝x﹣1．
（2）如图，
令x＝0，则y＝x﹣1＝﹣1，
∴直线与y轴的交点为（0，﹣1），
∴图象与坐标轴围成的三角形的面积＝＝．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
40．（2023•海曙区开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．
【分析】延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．把将多边形OABCDE分割两个矩形，过两个矩形的对角线的交点的直线把多边形OABCDE分割成面积相等的两部分．而M点正是矩形ABFO的中心，求得矩形CDEF的中心N的坐标，设y＝kx+b，利用待定系数法求k，b即可．
【解答】解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．
又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，
过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线MN即为所求的直线l．设直线l的函数表达式为y＝kx+b，则
解得，故所求直线l的函数表达式为．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），要有两组对应量确定解析式，即得到k，b的二元一次方程组．同时考查了不规则图形面积的平分方法；过矩形对角线交点的直线必平分它的面积．
一十八．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）
41．（2023•博罗县开学）若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，求该正比例函数的解析式．
【分析】利用正比例函数的定义得出k的值即可，得到函数解析式．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，
∴m﹣2≠0，m2﹣4＝0，
解得：m＝﹣2，
∴该正比例函数的解析式为y＝﹣4x．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
一十九．一次函数与一元一次方程（共2小题）
42．（2023春•福州期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象为直线l，则关于x的方程的解为 x＝2+ ．
【分析】根据一次函数图象可得一次函数y＝ax+b的图象经过（2，0）点，则函数y＝a（x﹣x）+b的图象经过（2+，0）点，进而得到方程的解．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过（2，0）点，
∴一次函数y＝ax+b的图象向右平移单位后，交x轴于点（2+，0），
∴关于x的方程的解为x＝2+，
故答案为：x＝2+．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与几何变换，关键是正确利用数形结合的方法解决问题．
43．（2023春•沙坪坝区校级月考）某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程图．若输入x＝﹣4，输出y＝﹣1；输入x＝，输出y＝﹣1；输入x＝，输出y＝1．
（1）a＝ 4 ，k＝ 2 ，b＝ ﹣2 ；
（2）在平面直角坐标系中，请作出x≥0时的函数图象；
（3）请写出一条该函数的性质：
当x≥0时，y随着x的增大而增大 ；
（4）根据函数图象，直接写出关于x的方程kx+b＝﹣x+4解．
【分析】（1）根据待定系数求解即可；
（2）根据利用两点法作出图象即可；
（3）根据图象写出一条性质即可；
（4）作出直线y＝﹣x+4，根据直线y＝2x﹣2与直线y＝﹣x+4的交点为（2，2）即可得到答案．
【解答】解：（1）当x＜0时，，当x＝﹣4，输出y＝﹣1；
∴，
∴a＝4；
∴当x＜0时，，
当x≥0时，y＝kx+b，输入，输出y＝﹣1；
输入，输出y＝1．
∴，
解得，
∴当x≥0时，y＝2x﹣2，
故答案为：4，2，﹣2
（2）当x＝0时，y＝2x﹣2＝﹣2，
当y＝0时，0＝2x﹣2，
解得x＝1，
得到点（0，﹣2），（1，0），根据x≥0即可作出函数图象如下：
（3）该函数的性质：当x≥0时，y随着x的增大而增大；
故答案为：当x≥0时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）；
（4）如图，
根据函数图象，直线y＝2x﹣2与直线y＝﹣x+4的交点为（2，2），
∴关于x的方程kx+b＝﹣x+4解为x＝2．
【点评】此题考查一次函数与一元一次方程、反比例函数和一次函数的图象和性质、一次函数图象交点问题，数形结合和准确计算是解题的关键．
二十．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
44．（2023•未央区校级模拟）如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ）
A．x≥4B．x≤4C．x≥1D．x≤1
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．
【解答】解：∵y＝x+3经过点A（m，4），
∴m+3＝4，
解得：m＝1，
∴A（1，4），
∴关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息．
45．（2023春•城阳区期中）已知在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，那么不等式的解集为 x＞1 ．
【分析】根据两函数的交点坐标得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵从图象可知：两一次函数y＝x+与y＝﹣x+2的图象的交点坐标是（1，），
∴不等式x+＜﹣x+2的解集为x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，能了解两一次函数的交点坐标与一元一次不等式的解集的关系是解此题的关键．
二十一．一次函数的应用（共3小题）
46．（2023春•北碚区校级期中）A、B两地相距4000米，甲货车从A地匀速开往B地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从B地沿同一公路出发匀速开往A地，到达A地后停止，而甲继续开往B地，到达B地后才停止．两车之间的距离y（米）与甲货车出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图中的折线CD—DE—EF—FG所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从B地到A地用的时间为分钟；④当乙到达A地时，甲离B地的距离为米．上述说法正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③D．②④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲乙两货车的速度，然后即可计算出乙货车从B地到A地用的时间，再根据函数图象中的数据，即可计算出当乙到达A地时，甲离B地的距离．
【解答】解：由题意可得，
甲货车的速度为：4000÷40＝100（米/分钟），故①正确；
由甲乙两车在22分钟相遇可得乙货车的速度为：（4000﹣10×100）÷（22﹣10）﹣100＝150（米/分钟），故②错误；
乙货车从B地到A地用的时间为：（分钟），故③正确；
当乙到达A地时，甲行驶时间为分钟，此时离B地的距离为（米），故④正确；
正确的有①③④；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
47．（2023春•南召县月考）如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象．
①乙点前4秒是匀速运动，4秒后速度不断增加；
②甲点比乙点早4秒将速度提升到32cm/s；
③在4至8秒时间段内，甲的速度都大于乙的速度；
④甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等．
上述结论正确的是 ①②③ （只填序号）．
【分析】根据前4s内，乙的速度﹣时间图象是一条平行于x轴的直线，即速度不变，4秒后直线呈上升趋势，则速度不断增加；8秒时速度是32cm/s，乙12秒时速度是32cm/s，直接可判断②；在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，可判断③；算出甲、乙3秒所走路程即可判断④．
【解答】解：根据图象可得，乙前4秒的速度不变，是匀速运动，4秒后速度不断增加，
故①正确，；
从图象可知，甲点8秒时速度是32cm/s，乙点12秒时速度是32cm/s，
故②正确，；
在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，
故③正确；
甲每秒增加的速度为：32÷8＝4（米/秒），3×4＝12（米/秒），
∴甲前3秒平均速度为＝6（米/秒），运动路程为6×3＝18（米）；
乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×3＝36米，
所以甲、乙两点到第3秒时运动的路程不相等，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了一次函数的应用，弄清函数图象表示的意义是解本题的关键．
48．（2023•市北区校级开学）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中l甲，l乙分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法中正确的是 ①③④ ．
①乙比甲提前12分钟到达；
②甲平均速度为0.25千米/小时；
③甲、乙相遇时，乙走了6千米；
④乙出发6分钟后追上甲．
【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，
所以乙比甲提前了12分钟到达，
故①正确；
②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度＝10÷＝15（km/h），
故②错误•；
④设乙出发x分钟后追上甲，则有：×x＝×（18+x），
解得x＝6，
故④正确；
③由④知：乙遇到甲时，所走的距离为：6×＝6（km），
故③正确．
所以正确的结论有三个：①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
二十二．一次函数综合题（共6小题）
49．（2023春•雨花区期中）约定：如果函数的图象经过点（m，n），我们就把此函数称作“（m，n）族函数”．比如：正比例函数y＝2x的图象经过点（1，2），所以正比例函数y＝2x就是“（1，2）族函数”．
（1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是 BE （填选项）
②以下是“（﹣1，1）族函数”的是 AEF （填选项）
A.
B．|y|＝x
C．y＝x2+2x﹣4
D．y＝|x|+1
E．y2＝﹣x
F．y＝2x+3
（2）已知一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）．
①若该函数是“（﹣，4）族函数”，求k的值．
②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．
（3）已知一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”．当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有，求该一次函数的解析式．
【分析】（1）①根据函数的定义即可求解；
②将点（﹣1，1）代入各选项函数解析式中即可解答；
（2）①将点（﹣，4）代入一次函数y＝kx﹣k+1中，即可求解；
②函数解析式可变形为y＝k（x﹣1）+1，令x﹣1＝0即可求解；
（3）由题意可知一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），联立两函数解析式，求得交点为（﹣1，2），即m＝﹣1，n＝2，进而得到当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有2≤y≤4，再分k＞0或k＜0两种情况，当k＞0时，此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4）；当k＜0时，此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2）；再分别根据待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）①对于B选项，|y|＝x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
对于E选项，y2＝﹣x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
故答案为：BE；
②A．∵，∴是“（﹣1，1）族函数”，
B．∵1≠﹣1，∴|y|＝x不是“（﹣1，1）族函数”，
C．∵1≠1﹣2﹣4，∴y＝x2+2x﹣4不是“（﹣1，1）族函数”，
D.1≠1+1，∴y＝|x|+1不是“（﹣1，1）族函数”，
E.1＝﹣（﹣1），∴y2＝﹣x是“（﹣1，1）族函数”，
F.1＝﹣2+3，∴y＝2x+3是“（﹣1，1）族函数”，
故答案为：AEF；
（2）①∵一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）是“（﹣，4）族函数”，
∴4＝﹣k+1，
解得：k＝﹣2；
②∵y＝kx﹣k+1＝k（x﹣1）+1，
令x﹣1＝0，则x＝1，y＝1，
∴无论k取何值，该函数必经过一定点（1，1）；
（3）∵一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”，
∴一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），
联立得：，
解得：，
∴交点为（﹣1，2），
∴m＝﹣1，n＝2，
∵当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有，
∴当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有2≤y≤4，
①当k＞0时，
此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4），
∴，
解得：，
∴y＝x+3；
②当k＜0时，
此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2），
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+3；
综上，该一次函数的解析式为y＝x+3或y＝﹣x+3．
【点评】本题主要考查函数的定义、新定义、用待定系数法求函数解析式、一次函数的性质，理解新定义，并学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．
50．（2023春•雨花区期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段AB的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作AQ∥BP交PM的延长线于Q，PM交y轴于点C，连接OM．
（1）线段OM的长；
（2）①证明：四边形AQBP是平行四边形；
②当m取何值时，四边形AQBP是菱形；
（3）若点M坐标为（3，4），当﹣3≤m≤﹣2时，记（其中OC示线段OC的长度），求s的最大值．
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后依据点M是线段AB的中点得出点M的坐标，即可求解；
（2）①证明△AMQ≌△BMP（ASA），根据全等三角形的性质得AQ＝BP，根据平行四边形的判定即可得出结论；
②根据菱形的判定和性质即可求解；
（3）利用待定系数法求出直线PM的解析式为y＝x+，可得C （0，），则OC＝，s＝＝2m﹣6，根据一次函数的性质即可求解．
【解答】（1）解：∵y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，﹣x+8＝0，
解得x＝6，
∴A（0，8），B（6，0），
∵点M是线段AB的中点，
∴点M（3，4），
∴OM＝＝5；
（2）①证明：∵AQ∥BP，
∴∠AQM＝BPM，
∵点M是线段AB的中点，
∴AM＝BM，
∵∠AMQ＝∠BMP，
∴△AMQ≌△BMP（ASA），
∴AQ＝BP，
∵AQ∥BP，
∴四边形AQBP是平行四边形；
②解：当AP＝BP时，平行四边形AQBP是菱形，
∵点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，
∴P（m，0）（m＜0），
∵A（0，8），B（6，0），
∴BP＝＝，AP＝6﹣m，
∴＝6﹣m，解得m＝﹣，
∴当m＝﹣时，四边形AQBP是菱形；
（3）解：设直线PM的解析式为y＝kx+b，
∵M（3，4），P（m，0）（﹣3≤m≤﹣2），
∴，解得，
∴直线PM的解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
∴C （0，），
∴OC＝，
∴s＝＝2m﹣6，
∵2＞0，
∴s随m的增大而增大，
∵﹣3≤m≤﹣2，
∴当m＝﹣2时，s的最大值为2×（﹣2）﹣6＝﹣10．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
51．（2023春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．
（1）求直线CD的解析式；
（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；
（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出OA，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形OBCP的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形PQC的面积，即可求出点Q的坐标；
（3）先求出直线l为y＝﹣x+3，然后得到OE＝3，然后分情况进行分析：当OE＝3作为矩形OEMN的边时；当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则x＝1，
∴点A为（1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝OD＝4OA＝4，
∴点C为（4，0），点D为（0，4），
设直线CD的解析式为y＝kx+b；
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：在y＝2x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B为（0，﹣2），
∵，
解得，
∴点P的坐标为（2，2）；
∴；
∵点Q在直线AB上，则设点Q为（x，2x﹣2），则
当点Q在点B的下方时，如图：
∵AC＝3，点P的坐标为（2，2），
∴，
∵S△PQC＝S四边形OBCP，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为；
当点Q在点P的上方时，如图：
，
∴，
∴
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为；
综合上述，点Q的坐标为或；
（3）解：∵直线CD向下平移1个单位长度得到直线l，
∴直线l为y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴点E的坐标为（3，0），
即OE＝3；
当OE＝3作为矩形OEMN的边时，如图：
∴点N的坐标为（0，3），
∴点M的坐标为（3，3）；
当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时，如图：
∴点F的坐标为，
∵tan∠OEN＝|﹣1|＝1，
∴∠OEN＝45°，
∵ON⊥NE，
∴△ONE是等腰直角三角形，
∴ON＝NE，
∴四边形ONEM是正方形，
∴MN⊥OE，MN＝OE，
∴，
∴点M的坐标为；
综合上述，则点M的坐标为（3，3）或；
【点评】本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
52．（2023春•宜兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），点B、C都在x轴上，BC＝12，AD∥BC，CD所在直线的函数表达式为y＝﹣x+9，E是BC的中点，点P是BC边上一个动点．
（1）当PB＝ 1或11 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
【分析】（1）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD＝PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；
（2）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（1）知，当BP＝11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边，证明它们相等即可证明是菱形．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，
∴D点的纵坐标为4，y＝4时，4＝﹣x+9，x＝5，
∴D点的横坐标为5，
∴D（5，4），
∵CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，y＝0时，0＝﹣x+9，x＝9，
∴C（9，0），
∴OC＝9，
作DN⊥BC交于N，如图1所示，
则四边形OADN为矩形，
∴CN＝OC﹣ON＝OC﹣AD＝9﹣5＝4，DN＝4，
∴△DNC为等腰直角三角形，
∴CD＝＝4，
若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD＝PE＝5，
有两种情况：①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE＝6，
∴PB＝BE﹣PE＝6﹣5＝1；
②当P在E的右边，
PB＝BE+PE＝6+5＝11；
故当PB＝1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，
故答案为：1或11；
（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形，理由如下：
①当BP＝1时，此时CN＝DN＝4，NE＝6﹣4＝2，
∴DE＝＝＝2≠AD，
故不能构成菱形．
②当BP＝11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴EP＝AD＝5，
过D作DN⊥BC于N，如图2所示：
由（1）得：DN＝CN＝4，
∴NP＝BP﹣BN＝BP﹣（BC﹣CN）＝11﹣（12﹣4）＝3．
∴DP＝＝＝5，
∴EP＝DP＝AD＝5，
故此时平行四边形PDAE是菱形，
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
53．（2023春•福州期中）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0．
（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；
（2）若∠ABO＝60°．
①求直线l1的解析式；
②若直线l2：y＝mx+m与直线l1相交，且两条直线所夹的锐角为45°，求m的值．
【分析】（1）根据当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，可得当x＝3时，y＝0，即A（3，0），即可得k，b的关系式为k＝﹣；
（2）①由A（3，0），∠ABO＝60°，可得B（0，），用待定系数法即可得直线l1的解析式为y＝﹣x+；②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，分两种情况：当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，由y＝mx+m可得D（﹣1，0），即可得BD2+AB2＝AD2，故∠ABD＝90°＝∠DBC，从而△BCD是等腰直角三角形，由∠CBH＝∠ABO＝60°，可得C（﹣，+1），代入y＝mx+m得m＝﹣2﹣；当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，由△BDC是等腰直角三角形，有AC＝AB﹣BC＝2﹣2，而∠ABO＝60°，即可得C（，﹣1），代入y＝mx+m得m＝2﹣．
【解答】解：（1）∵当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，
∴当x＝3时，y＝0，即A（3，0），
∴3k+b＝0，
∴k＝﹣，
∴k，b的关系式为k＝﹣；
（2）①如图：
由（1）知，A（3，0），
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB＝＝＝，
∴B（0，），
把A（3，0），B（0，）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+；
②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，
当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，如图：
在y＝mx+m中，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
∵A（3，0），B（0，），
∴AD＝4，AB＝2，BD＝2，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°＝∠DBC，
∵∠ACD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
在Rt△BCH中，∠CBH＝∠ABO＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝BC＝1，CH＝BH＝，
∴C（﹣，+1），
把C（﹣，+1）代入y＝mx+m得：
﹣m+m＝+1，
解得m＝﹣2﹣；
当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，如图：
∵∠BCD＝45°，∠DBC＝90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
∵AB＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣2，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
在Rt△ACK中，
CK＝AC＝﹣1，AK＝CK＝3﹣，
∴OK＝OA﹣AK＝3﹣（3﹣）＝，
∴C（，﹣1），
把C（，﹣1）代入y＝mx+m得：
m+m＝﹣1，
解得m＝2﹣，
综上所述，两条直线所夹的锐角为45°，m的值为﹣2﹣或2﹣．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
54．（2023春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD．
（1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．
①当∠CBP＝ 30 °时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；
②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求出此时x的值．
【分析】（1）过C作CH⊥y轴于H，在y＝﹣x+3中，可得A（4，0），B（0，3），即有OA＝4，OB＝3，AB＝5，而C（3，7），故OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，可证△AOB≌△BHC（SAS），得AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，从而可得∠ABC＝90°，根据四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，即知四边形ABCD是正方形；
（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，由Q在AD的垂直平分线上，可得BQ＝CQ，而C关于直线BP的对称点是Q，有BC＝BQ，故△BCQ是等边三角形，∠CBQ＝60°，即可得∠CBP＝∠QBP＝∠CBQ＝30°；
②由∠AQD＝90°，C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，可得∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，而AB＝BQ，有∠BQA＝∠BAQ，故∠DQE＝∠QDE，即得QE＝DE，从而可得DE＝QE＝AE＝，设CP＝PQ＝x，在Rt△PDE中有（5﹣x）2+（）2＝（x+）2，从而可解得x的值是．
【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，理由如下：
过C作CH⊥y轴于H，如图：
在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝＝5，
∵C（3，7），
∴BH＝OH﹣BO＝4，CH＝3，
∴OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，
在△AOB和△BHC中，
，
∴△AOB≌△BHC（SAS），
∴AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠ABO+∠HBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，如图：
∵Q在AD的垂直平分线上，
∴直线QK是正方形ABCD的对称轴，
∴QK是BC的垂直平分线，
∴BQ＝CQ，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴BC＝BQ，
∴BC＝BQ＝CQ，
∴△BCQ是等边三角形，
∴∠CBQ＝60°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴∠CBP＝∠QBP＝∠CBQ＝30°，
故答案为：30；
②如图：
∵∠AQD＝90°，
∴∠DQE+∠EQA＝90°，∠QDE+∠DAQ＝90°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，
∴∠BQP＝∠C＝90°，∠BAD＝90°，AB＝BC＝BQ，
∴∠BQE＝90°＝∠BQA+∠EQA，∠BAQ+∠DAQ＝90°，
∴∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，
∵AB＝BQ，
∴∠BQA＝∠BAQ，
∴∠DQE＝∠QDE，
∴QE＝DE，
∵∠EQA＝90°﹣∠DQE＝90°﹣∠QDE＝∠EAQ，
∴QE＝AE，
∴DE＝QE＝AE，
∴QE＝DE＝AD＝AB＝，
设CP＝PQ＝x，则PD＝CD﹣x＝5﹣x，PE＝PQ+QE＝x+，
在Rt△PDE中，PD2+DE2＝PE2，
∴（5﹣x）2+（）2＝（x+）2，
解得x＝，
∴x的值是．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及正方形的判定，等边三角形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握对称的性质．
解析式
（为常数，且）
自变量取值范围
全体实数
图像
形状
过（0，）和（，0）点的一条直线
、的取值
示意图
位置
经过一、二、三象限
经过一、三、四象限
经过一、二、四象限
经过二、三、四象限
趋势
从左向右上升
从左向右下降
函数变化规律
随的增大而增大
随的增大而减小
方程（组）、不等式问题
函 数 问 题
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解
为何值时，函数的值为0？
确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标
求关于、的二元一次方程组的解．
为何值时，函数与函数的值相等？
确定直线与直线的交点的坐标
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集
为何值时，函数的值大于0？
确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y
2.83
2.5
a
2.06
b
2.06
2.24
2.5
2.83
年份
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
2020
全球CO2排放量/百万吨
6002
9475
14989
19287
22588
24688
34180
35962
刹车时车速（km/h）
0
10
20
30
40
50
…
刹车距离（m）
0
2.5
5
7.5
10
12.5
…
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