期中真题精选（压轴60题专练）-2023-2024学年八年级数学第二学期期中期末高效备考（人教版）

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1．（2022春·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．下列结论：①，②的周长为；③；④当G是线段AD的中点时，．正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2021秋·上海·八年级期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5B．4C．3D．2
3．（2021秋·湖北省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值，其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2021秋·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）在边长为12的正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，将沿线段AE翻折得到，延长AF交BC边于点N，连接EN，延长EF交BC边于点G，其中，连接DF并延长交BC边于点K，连接EK，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
5．（2021春·北京·八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，则______（点、、、、是网格线交点）．
6．（2022春·江西上饶·八年级统考期中）在中，，，，过点的直线把分割成两个三角形且交线段AC于点P，使其中只有一个是等腰三角形，则_____________________．
7．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，点为的中点，点分别为上的点，连接，若，则的长度为_________．
8．（2022春·重庆·八年级重庆市育才中学校联考期中）图，已知为等边三角形，D、E分别为、上一点，并满足，连接、相交于F点，连接，且，过点B作，与相交于G点，现将沿翻折得到，点I为中点，且，则点I到的距离为______．
9．（2022春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）如图，菱形的边长，取对角线上两点E，H，使，当时，则_________．
10．（2022春·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图，在正方形中AB=1．AB与直线的夹角为30°，延长交直线于点作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形 ……依此规律，则__________ （用指数表示即可）
11．（2021秋·北京·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．如果E、F分别是AD、BC上的点，且EF经过AC中点O，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的有______．
①在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG=时，存在E、F、G，H，使得四边形EGFH是正方形．
12．（2021春·天津·八年级耀华中学校考期中）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______．
三、解答题
13．（2022春·北京·八年级统考期中）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形．
(1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）；
①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形
(2)如图1，菱形中，，，分别是，上的点，且，求证：四边形是完美四边形；
(3)如图2和如图3中，四边形均为完美四边形，，，连接．
①在图2中，求证：平分；
②在图3中，当时，直接用等式写出线段，，之间的数量关系．
14．（2022春·山东临沂·八年级统考期中）有一个直角三角形纸片，，两直角边，．
（1）如图1，若将沿着直线折叠，使顶点与点重合，求的长；
（2）如图2，若将沿直线折叠，使落在斜边上，且与重合，求的面积．

15．（2021春·安徽宣城·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8厘米，BC=6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
16．（2020春·北京海淀·八年级清华附中校考期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则______，_______；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
（3）当时，化简_______．
17．（2021春·新疆塔城·八年级统考期中）如图所示，已知中，∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm．P、Q是的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒lcm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）BC= cm；
（2）求当点P在边AC的垂直平分线上时CQ的值；
（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使为等腰三角形的运动时间．
18．（2020春·江苏扬州·八年级校考期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：
（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，点M’是点M的“横负纵变点”，求点M’的坐标．
19．（2020春·上海·八年级上海市文来中学校考期中）图，正方形ABCD的一边在直线AM上，点P在对角线AC上，点E是射线AB上一动点，连接PE，射线交直线AM于点F，已知正方形边长为8，．
(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证．
(2)连接CE，当时，请在图2中画出相应的图形，并求线段AF的长．
(3)如果的角平分线交射线AB于点N，设，，直接写出y关于x的函数解析式，并写出定义域．
20．（2022春·重庆·八年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，在平行四边形中，，于E，于G，交于F．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，平行四边形外部有一点H，连接、，满足，，求证：．
(3)如图3，在上有一点M，连接，将绕着点M顺时针旋转90°得，连接、，点P为的中点，连接．在（1）的条件下，当最小时，直接写出线段的长度．
21．（2022春·广东广州·八年级校联考期中）在□ABCD中，连接BD，若，点E为边AD上一点，连接CE．
(1)如图1，点G在BD上，连接CG，过G作于点H，连接DH并延长交AB于点M．求证：；
(2)如图1，在（1）的前提下，若，．求证：；
(3)如图2，,，点N在BC边上，，若CE是的角平分线，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，，连接BP，NQ，求的最小值．
22．（2022春·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）在平面直角坐标系中，已知，以OA为一边在第一象限内画正方形OABC，为x轴上的一个动点，以BD为一边画正方形BDEF（点F在直线AB右侧）．
(1)当时，试判断线段AF与CD的数量关系，并说明理由；
(2)当时，求点E的坐标；
(3)当D点从A点向右移动9个单位，求这一过程中F点移动的路程是多少？
23．（2022春·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图：正方形ABCD边长为m，正方形DEFG边长为n（n＜m），以AD，DG为边作平行四边形ADGM，以，CD，DE为边作平行四边形CDEN，点P，Q分别是DM，CE的中点．正方形DEFG绕点D旋转．
(1)求证：△MDA≌△ECD；
(2)求△DPQ的面积（用含m，n的代数式表示）
(3)直接写出PQ的长度的最大值（用含m，n的代数式表示）
24．（2022春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中）已知矩形ABCD中，AB = 5，AD = 4，点E在AB边上，AE= 1．点M是线段BC上的动点，BM = x，连ME，把△BME沿ME折叠，得到△FEM，延长MF交CD于点G，连接EG．
(1)当x = _________时，△MCG是等腰三角形；
(2)延长EG与∠CMG的平分线交于点H，连接DH，DE．
①在M移动过程中，四边形DEMH能否成为菱形？若能，加以证明，并写出此时x的值；若不能，请说明理由．
②写出线段DH的最小值为_________ ．
25．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）在中，，，点O是的中点，延长到点D使，连接、．
(1)如图1，求证：四边形是正方形；
(2)如图2，在四边形内部作，连接，若，，求的长；
(3)如图3，在（2）的条件下，点F是上的一点，连接并延长交于点G，若，求的面积．
26．（2022春·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考期中）如图1，一张矩形纸片，其中，，先沿对角线折叠，点落在点的位置，交于点．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)如图2，再折叠一次，使点与重合，折痕交于，求的长．
27．（2022春·福建福州·八年级统考期中）如图1，在正方形ABCD中，BD为对角线，延长AB至点E，使得AB=BE，连接CE
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)如图2，点F在线段BD上，连接EF、CF，若CE=EF，
①求∠BEF的大小；
②求的值．
28．（2022春·福建龙岩·八年级校联考期中）定义：如图，E，F，G，H四点分别在四边形ABCD的四条边上，若四边形EFGH为菱形，我们称菱形EFGH为四边形ABCD的内接菱形．
(1)如图，矩形ABCD，，点E在线段AB上且，四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形，求GC的长度；
(2)如图，平行四边形ABCD，，，点E在线段AB上且，请你在图中画出平行四边形ABCD的内接菱形EFGH，点F在边BC上；（尺规作图，保留痕迹）当BF最短时，请求出BC的长．
29．（2022春·山东济宁·八年级统考期中）【问题情境】如图1，已知点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得的值最小．
小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点P即为所求．
【启发应用】请参考小军同学的思路，探究并解答下列问题：
(1)如图3，在图2的基础上，设与直线l的交点为点C，过点B作，垂足为点D．若，，，求出此时的最小值；
(2)如图3，若，，，则此时的最小值为______；
(3)【解决问题】根据以上解决问题的思路，直接写出的最小值．
30．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图1，在中，，点E在边上，交的延长线于点D．
(1)若，求证：；
(2)如图2，连接，点F为的中点，延长交于点G，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，，点H为的中点，求线段的长．
31．（2022春·浙江舟山·八年级校考期中）如图1，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DFBE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，GF．
(1)求证：四边形EGFH为平行四边形；
(2)若BC＝10，AB＝6，∠ABC＝60°；
①当BG＝GF时，求四边形EGFH的面积：
②如图2，延长FG交AB于点P，连接AG，记ΔAPG的面积为S1，ΔBPG的面积为S2，若FP⊥AB，求的值．
32．（2022春·广东广州·八年级校考期中）正方形中，，分别为，上一点，，，交于点，为的中点．
(1)求证：≌；
(2)求证：；
(3)求证：
33．（2022春·福建莆田·八年级校考期中）平面直角坐标系中有正方形，为坐标原点，点、分别在轴、轴正半轴上，点、、分别为边、、上的点，于．
(1)如图1，若点与点重合，点坐标为，，求点坐标；
(2)如图2，若点与点重合，且为边的中点，求证：；
(3)如图3，若点为线段的中点，连接交于点，连接，试探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
34．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图1，已知正方形ABCD，对角线交于点O，H为边AB上一点，且满足OHBC，
(1)求证：H为AB中点；
(2)如图2，E为AD上一点，F为CD上一点，且AF=BE，求证：AF⊥BE；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接HG，K为AF上一点，连接DK、KC、OK，若满足∠ABE+∠AKD+∠KCD=135°，，△OKD的面积为，求CK长．
35．（2021春·全国·八年级期中）如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（1）求BD的长度；
（2）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（3）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
36．（2022秋·浙江·八年级期中）将一个三角形的三个顶点分别作关于各自对边所在直线的对称点，由这三个对称点确定的三角形叫做原三角形的“再生三角形”．
（1）一个周长为l，面积为S的等边三角形的“再生三角形”的周长是_______，面积是________．
（2）如图1，已知中，，是的“再生三角形”，其中点，，分别是点A，B，C的对称点，试猜想与的面积有怎样的数量关系，并加以证明．（提示：连结，并延长交于点D．）
（3）如图2，已知中，是的“再生三角形”，其中点，，'分别是点A，B，C的对称点．探究：线段与线段的数量关系．
37．（2022春·广东深圳·八年级深圳市光明区光明中学校考期中）已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．
38．（2021春·四川成都·八年级校考期中）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到两边距离的关系，小明发现将角平分线放在三角形中，还可以得出一些线段比例的关系．
请完成下列探索过程：
【研究情景】
如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点D．
【初步思考】
（1）若AB＝4，BC＝7，则＝ ；
【深入探究】
（2）请判断和之间的数值关系，并证明；
【应用迁移】
（3）如图2，△ABC和△ECD都是等边三角形，△ABC的顶点A在△ECD的边ED上，CD交AB于点F，若AE＝4，AD＝2，求△CFB的面积．
39．（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．
（1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长．
图1 图2 图3
40．（2021春·陕西西安·八年级西北工业大学附属中学校考期中）（1）如图①，点P为直线l上一个动点，点A，B是直线l外同侧的两个定点，连接PA，PB，AB．若AB＝2，则PA﹣PB的最大值为 ．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，对角线AC⊥BD，垂足为点O，OA＝2OC，点E为OC中点，点F在AB上，且BF＝3AF，点P为BD上一动点，连接PE，PF，若AC＝6，求PF﹣PE的最大值．
（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝150°，点P为平面内一动点，连接PA，PB，PC．若PA＝2，求PB﹣PC的最大值．
41．（2021春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；
②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝ ．
42．（2021春·山东济南·八年级统考期中）如图1，已知点B（0，9），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．
（1）求证：DE＝BO；
（2）如图2，当点D恰好落在BC上时．
①求点E的坐标；
②如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH+MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH+MG的值；若会变化，简要说明理由．
43．（2021春·山东青岛·八年级胶州市初级实验中学校考期中）如图，在RtABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q，设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段PD= ；PQ= ；CD= ．
（2）当点Q与点C重合时，求t的值；
（3）当线段PQ的垂直平分线经过ABC一边中点时，直接写出t的值．
44．（2022春·广东佛山·八年级校考期中）如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．
（1）求证：△CEF是等边三角形．
（2）△AEF的周长最小值是 ．
（3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．
45．（2021秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）【初步探究】
（1）如图1，在四边形中，，E是边上一点，，连接．请判断的形状，并说明理由．
【问题解决】
（2）若设，试利用图1验证勾股定理．
【拓展应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点C的坐标．
46．（2022秋·全国·八年级期中）已知，在△ABC中，AB=AC，
（1）如图1，若，且点D在CA的延长线上时，求证：；
（2）如图2，若，试判断AD，BD，CD之间的等量关系，并说明理由
（3）如图3，若BD=5，求CD的长．
47．（2022秋·北京海淀·八年级校考期中）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．
（1）如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．
①若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”：_______ （填“是”或“否”） ；
②当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝，则DE＝_______；
③当0°＜∠BAC＜180°时，判断DE与AH之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，DA⊥BA，DC⊥BC，且DA＝DC．
①画出△OAB与△OCD，使它们互为“底余等腰三角形”；
②若△OCD的“余高”长为a，则点A到BC的距离为_______（用含a的式子表示）．
48．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）在矩形ABCD（）中，点E在边AD上，点F在DC延长线上，连接BE、BF，且．
(1)如图1，求证，，
(2)如图2，当E是AD中点时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作交CD于点G，若，求线段DG的长．
49．（2022春·江西宜春·八年级统考期中）[特例感知]如图1，在正方形中，点E，F分别为，的中点，、交于点G．
（1）易证，可知、的关系为___________________；
（2）连接，若，求的长．
[初步探究]如图2，在正方形中，点E为边上一点，分别交、于F、G，垂足为O．求证：．
[基本应用]如图3，将边长为6的正方形折叠，使得点A落在边的中点M处，折痕为，点P、Q分别在边、上，请直接写出折痕的长：________．
[应用拓展]如图4，在四边形中，，，，，于E，交于F，则长为________．
50．（2022春·湖北孝感·八年级统考期中）如图1，为正方形的边上一动点（与、不重合），点在边上，且，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)当运动到中点处时（如图2），连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交、于点、，若，求的长度．
51．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）（1）在菱形ABCD中 ，∠A=60 °，AD=4
①如图1，点E ，点F分别是AB ，BC中点 ，求证：△AED≌△BFD；
②如图2，∠EDF=60⁰ ，点E ，点F分别在边AB ，边BC上 ，求四边形EDFB的面积；
（2）如图3，在菱形ABCD中 ，∠A=∠EDF=45⁰ ，点E ，点F分别在边AB ，边BC上 ，AD=4，求四边形EDFB的面积．
52．（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图１，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∠ADB=90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点；
（3）△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP的长．
53．（2021春·福建莆田·八年级福建省莆田市中山中学校考期中）同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在正边形中，E是对角线上一点（不与点A、C重合），以、为邻边作平行四边形，交于点M，连接．
(1)如图1，当时，过点E作交于点F，连接并延长交于点H．
求证：；
(2)在中，，．过点A作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，直线交直线于点E．如图2，
①依题意补全图形；
②请用等式表示线段，，之间的数量关系，并予以证明．
54．（2022春·广东广州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）当t＝ 时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；
（3）直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值；
（4）整个运动当中，线段PQ扫过的面积是 ．
55．（2021秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）四边形中，，连接．
（1）如图1，若平分，求证：．
（2）如图2，若，，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度．
56．（2021秋·浙江温州·八年级温州市第十四中学校考期中）如图1，在Rt中，，AC=BC=4，D是AB的中点．延长至点，在右侧作，点为射线上一点，连结交于点，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）如图 2，点在射线上，且平分，连结．
①求证：；
②当是以为腰的等腰三角形时，则 ．(直接写出答案，结果保留根号)．
57．（2022春·浙江台州·八年级校联考期中）如图1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，动点P从B出发沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′．
（1）如图2，当点P在线段BC上运动时，直线PB′与CD相交于点M，连接AM，若∠PAM=45°，请直接写出∠B′AM和∠DAM的数量关系；
（2）在（1）的条件下，请求出此时a的值：
（3）当a=8时，
①如图3，当点B′落在AC上时，请求出此时PB的长；
②当点P在BC的延长线上时，请直接写出△PCB′是直角三角形时PB的长度．
58．（2021春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）已知：正方形中，是对角线所在直线上一点．
（1）如图1，若在对角线上，连接，过点作交于点．求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，若，，求的长；
（3）如图3，若在的延长线上，连接，过点作交延长线于点，连接，若，的面积是，求的长．
59．（2022春·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期中）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及的值；（写出结论，不需要证明）
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFC换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及的值．写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转．使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变，你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
60．（2021春·北京·八年级期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为ts．
（1）边的长度为________，的取值范围为________．
（2）从运动开始，当________时，．
（3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．