期中模拟预测卷03（测试范围：前三章）-2023-2024学年八年级数学第二学期期中期末高效备考（人教版）

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考生注意：
本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．
本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，故A选项错误；
B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故B选项正确；
C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故C选项错误；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，B．2，3，4C．4，5，6D．6，8，11
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：A、∵12+12＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵62+82≠112，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：A．
【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
3．在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】本题可逐个分析各项，利用排除法得出答案．
【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D选项错误．
故选：B．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM．有如下结论：
①△ADF≌△DCE；②MN＝FN；③CN＝2AN；④S△ADN：SCNFB＝2：5．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①本题需先根据已知条件，得出△ADF与△DCE相似，即可得出结果．
②本题需先根据AE＝AF，∠NAF＝∠NAE，AN＝AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出结论．
③本题需先根据AF∥CD，得出CN与AN的比值，即可求出结果．
④本题需先连接CF，再设S△ANF＝1，即可得出S△ADN与S四边形CNFB的比值即可．
【解答】解：①在△ADF和△DCE中，
∴△ADF≌△DCE（AAS），
故本选项正确；
②∵△ADF≌△DCE，
∴DE＝AF，
∵AE＝DE，
∴AE＝AF，
在△ANF和△ANE中，
，
∴△ANF≌△ANE（SAS），
∴NF＝NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN＝FN错误，
故本选项错误；
③∵AF∥CD，
∴∠CDN＝∠NFA，∠DCN＝∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形，
∴AF＝AB＝DC，
∴＝＝2，
∴CN＝2AN，
故本选项正确；
④连接CF，
设S△ANF＝1，
则S△ACF＝3，S△ADN＝2，
∴S△ACB＝6，
∴S四边形CNFB＝5，
∴S△ADN：S四边形CNFB＝2：5，
故本选项正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质问题，在解题时要注意全等三角形、相似等知识的综合利用，在做题时要结合图形是解题的关键．
5．大于﹣且小于的所有整数的是（ ）
A．0B．2C．3D．4
【分析】首先要能够估算出无理数的大小，进而找出满足条件的数．相加得时候，注意互为相反数的两个数的和是0．
【解答】解：∵﹣4＜＜﹣3，4＜＜5，
∴大于﹣而小于的所有整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
相加得大于﹣而小于的所有整数的和是4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的值．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∴∠BAE＝∠BEA
∴BE＝AB＝3
∵BC＝AD＝5
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
7．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，
而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，
整理得16x＝48，所以x＝3．
故选：A．
【点评】折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题．
8．已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
【解答】解：∵有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴＝﹣a．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数．
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为（ ）
A．B．2C．1.5D．
【分析】首先连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：连接BE，如图所示：
由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝，
∴S△BDE＝2S△BOE＝．
∴DE•AB＝，
又∵AB＝2，
∴DE＝，
∴BE＝
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝1.5．
故选：C．
【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．
【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC且EF＝AC，
同理，GH∥AC且GH＝AC，
∴EF∥GH且EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，以及矩形的判定，连接四边形的中点得到的四边形的形状主要与原四边形的对角线的关系有关，原四边形的对角线相等，则得到的四边形是菱形，原四边形对角线互相垂直，则得到的四边形是矩形，连接任意四边形的四条边的中点得到的四边形都是平行四边形．
二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
11．如果两个最简二次根式与能合并，那么a＝ 4 ．
【分析】由两个最简二次根式与能合并，可得两个最简二次根式与是同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义，可得方程3a﹣1＝2a+3，解此方程即可求得答案．
【解答】解：∵两个最简二次根式与能合并，
∴两个最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a﹣1＝2a+3，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
12．＝ 3 ．
【分析】直接进行平方的运算即可．
【解答】解：原式＝3．
故答案为：3
【点评】此题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，注意仔细运算即可．
13．已知是整数，自然数n的最小值为 2 ．
【分析】根据自然数和二次根式的性质得出18﹣n＝16，求出即可．
【解答】解：∵是整数，n为最小自然数，
∴18﹣n＝16，
∴n＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能根据题意得出18﹣n＝16是解此题的关键．
14．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为 2 ．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB＝∠CGE＝45°，再求出∠GDT＝45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB＝∠CGE＝45°，
∴∠GDT＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠DTG＝180°﹣∠GDT﹣∠CGE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG＝8﹣4＝4，
∴GT＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质．关键是掌握正方形的对角线平分一组对角．
15．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为 17 ．
【分析】由平行四边形的性质得出OA＝OC＝3，OB＝OD＝6，BC＝AD＝8，即可求出△OBC的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝6，BC＝AD＝8，
∴△OBC的周长＝OB+OC+AD＝3+6+8＝17．
故答案为：17．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．解题时注意平行四边形基本性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．
16．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若AB＝10，则DC的长是 5 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AB．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10，
∴CD＝AB＝×10＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
17．在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过点B作AC的垂线，垂足为E，若AC＝10，OE＝3，则线段BC的长为 2或4 ．
【分析】分两种情况：当E在线段OA上，当E在线段OC上，根据矩形的性质和已知条件CE，由勾股定理求得BE，在根据勾股定理求出结论．
【解答】解：如图1，当E在线段OA上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝5，
∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，
∵BE⊥AC，
∴BE2＝OB2﹣OE2＝52﹣32＝42，
∴BC＝＝＝4；
如图2，当E在线段OC上，
CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2，
∵BE⊥AC，
∴BE2＝OB2﹣OE2＝52﹣32＝42，
∴BC＝＝＝2，
故答案为：2或4．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，根据勾股定理求出BE是解决问题的关键．
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝18cm，∠A＝60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF为等边三角形时，t的值为 3 ．
【分析】连接BD．易证△ADE≌△BDF，即可推出AE＝BF，列出方程即可解决问题．
【解答】解：连接BD．如图：
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AD＝CD＝BC＝AB＝18，△ADB，△BDC都是等边三角形，
∴AD＝BD，∠ADB＝∠DBF＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°，
∴∠ADB＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∴2t＝18﹣4t，
∴t＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识，解题的关键是利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．计算：
（1）（1﹣2）（1+2）；
（2）+﹣×+．
【分析】（1）根据平方差公式即可求出答案．
（2）根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝1﹣12
＝﹣11．
（2）原式＝4+﹣+2
＝5+．
【点评】本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
20．已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．
【分析】首先计算x2的值，然后代入所求的式子利用平方差公式计算，最后合并同类二次根式即可．
【解答】解：x2＝（2﹣）2＝7﹣4，
则原式＝（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+
＝49﹣48+1+
＝2+．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键．
21．平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】先证四边形AEBO是平行四边形，再证AB＝OE，则四边形AEBO是矩形，则AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．
又∵OE＝CD，
∴AB＝OE，
∴平行四边形AEBO是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
【点评】本题考查了菱形的判定，涉及到平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的判定和性质是解题的关键．
22．在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF＝DC．
【分析】根据矩形的性质和DF⊥AE于F，可以得到∠DEC＝∠AED，∠DFE＝∠C＝90，进而依据AAS可以证明△DFE≌△DCE．然后利用全等三角形的性质解决问题．
【解答】证明：连接DE．（1分）
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE．（1分）
∵有矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠C＝90°．（1分）
∴∠ADE＝∠DEC，（1分）
∴∠DEC＝∠AED．
又∵DF⊥AE，
∴∠DFE＝∠C＝90°．
∵DE＝DE，（1分）
∴△DFE≌△DCE．
∴DF＝DC．（1分）
【点评】此题比较简单，主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，综合利用它们解题．
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝4，求CF的长．
【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，可得AB＝DE＝CD，即D为CE中点，然后再得CE＝4，再利用三角函数可求出HF和CH的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∵AE∥DB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝CD，
即D为CE中点．
∵AB＝4，
∴CE＝8，
∵AB∥CD，
∴∠ECF＝∠ABC＝45°，
过E作EH⊥BF于点H，
∵CE＝8，∠ECF＝45°，
∴，
∵∠EFC＝30°，
∴，
∴．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握平行四边形对边相等．
24．如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．
（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．
【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图平行四边形ABDE即为所求（点D的位置还有6种情形可取）．
（2）如图，直线l即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，平行四边形的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
【分析】（1）根据AB＝CD，BE＝DF，利用HL即可证明．
（2）只要证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵AB＝CD，BE＝DF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用特殊四边形的性质解决问题．
26．【阅读材料】如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：且仅当a＝b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析】已知x＞0，求式子y＝x+的最小值．
解：令a＝x，b＝，则由，得y＝x+＝2＝2×＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x＝ 1 时，式子x+取到最小值，最小值为 2 ；
（2）用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）已知x＞0，则x＝ 3 时，分式取到最大值，最大值为 ．
【分析】（1）利用实例剖析中的方法解答即可；
（2）设这个长方形的长为xm，宽为ym，利用实例剖析中的方法解答即可；
（3）取分式的倒数，将倒数适当整理，利用实例剖析中的方法解答．
【解答】解：（1）由，得：
x+≥2＝2×＝1，
当且仅当x＝时，即x＝1时，式子有最小值，最小值为2．
故答案为：1；2；
（2）设这个长方形的长为xm，宽为ym，由题意得：xy＝100．
由，得：
x+y≥2＝2×＝20，
当且仅当x＝y时，即x＝10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m；
∴这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m．
（3）设y＝＝x+﹣2，
由，得：
y＝x+﹣2≥2﹣2＝2×3﹣2＝4，
当且仅当x＝时，即x＝3时，式子有最小值，最小值为4，
∴分式取到最大值，最大值为．
故答案为：3；．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，分式的加减法，式子的极值，本题是阅读型题目，理解并熟练应用实例剖析中的方法是解题的关键．