2023-2024学年河北省石家庄二十八中八年级（上）质检数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄二十八中八年级（上）质检数学试卷（10月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中：x+y2，−3ba，1x+y，x+y2，分式的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.若分式2x−5有意义，则x的取值范围是( )
A. x>5B. x≠5C. x=5D. x<5
3.根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是( )
A. ab=a+2b+2B. −a+2b=−a+2b
C. ab=3a3bD. ab=a2b2
4.如图：Rt△ABC≌Rt△DEF，则∠D的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
5.下列分式属于最简分式的是( )
A. x2xB. xx2C. x+yx2+y2D. a2−1a+1
6.如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是( )
A. 只有(1)
B. (1)和(2)可以
C. (1)和(3)可以
D. (1)、(2)、(3)都可以
7.计算：abc⋅c2a2的结果是( )
A. c2a2bB. cabC. c2abD. a2bc
8.如果把分式2x−3yx+y中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值( )
A. 扩大为原来的3倍B. 缩小为原来的13C. 扩大为原来的9倍D. 保持不变
9.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是( )
A. AB=3cm，BC=7cm，AC=4cm
B. AB=3cm，BC=7cm，∠C=40°
C. ∠A=30°，AB=3cm，∠B=100°
D. ∠A=30°，∠B=100°，∠C=50°
10.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
11.某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为( )
A. 1080x=1080x−15+6B. 1080x=1080x−15−6
C. 1080x+15=1080x−6D. 1080x+15=1080x+6
12.下列命题中，它的逆命题成立的是( )
A. 两条直线平行，内错角相等
B. 全等三角形的对应角相等
C. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
13.若关于x的方程xx−3+3a3−x=3a有增根，则a的值为( )
A. −1B. 17C. 13D. 1
14.如图，D为AE延长线上一点，且AB=AC，EB=EC，CD=BD，则图中全等三角形共有( )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
15.甲从A地到B地要走m小时，乙从B地到A地要走n小时，若甲、乙二人同时从A、B两地出发，经过几小时相遇( )
A. (m+n)小时B. m+n2小时C. m+nmn小时D. mnm+n小时
16.如图，在长方形ABCD中，AD=2AB=6，E为BC边上一点，且CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着BC−CD−DA运动，到达点A立即停止，运动时间记为t秒，当△ABP≌△DCE时，t的值为( )
A. 2B. 3C. 3或13D. 2或13
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
17.命题“两条直线平行，同旁内角互补”的逆命题是______，它是______命题(填真或假)．
18.当x= ______ 时，分式2xx−2的值为零．
19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点F.请你添加一个适当的条件，使△AEF≌△CEB.添加的条件是：______.(写出一个即可)
20.定义运算“※”：a※b=aa−b,a>bbb−a,a0)；②若5※x=2，则x的值为______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
(1)化简：a2a−b+b2b−a；
(2)先化简：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1，并从0，−1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值；
(3)x−3x−2+1=32−x．
22.(本小题8分)
如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE/​/CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．
23.(本小题8分)
探究规律：
(1)填空：
①1x−1x+1= ______ ；
②1x−1x+2= ______ ；
③1x−1x+3= ______ ．
(2)根据(1)中的填空猜想1x−1x+n= ______ (n为整数)；
(3)受上述规律启蒙，计算：1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+…+1(x+9)(x+10)．
24.(本小题8分)
淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB/​/OH/​/CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD.垂足为D，已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
25.(本小题8分)
如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
26.(本小题8分)
如图，BF是经过∠ABC顶点B的一条直线，AB=BC，E、D分别是直线BF上两点，且∠AEB=∠BDC=α．

(1)若直线BF经过∠ABC的内部，且E、D在射线BF上．
【问题情景】如图1，若∠ABC=90°，α=90°，则AE、DE、DC之间的数量关系是______ ；
【问题解决】如图2，若α=120°，那么当∠ABC= ______ °时，【问题情景】中的结论仍然成立，并说明理由；
(2)若直线BF经过∠ABC的外部．
【拓展提升】如图3，∠ABC=α，请写出关于AE、DE、DC三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：分式有−3ba,1x+y，
故选：B．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可．
本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．
2.【答案】B
【解析】解：∵分式2x−5有意义，
∴x−5≠0，
解得：x≠5．
故选：B．
直接利用分式的定义分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意；
B.−a+2b=−a−2b，故原选项错误，不符合题意；
C.分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确，符合题意；
D.ab=abb2，故原选项错误，不符合题意．
故选：C．
根据分式的基本性质分别计算后判断即可．
本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
4.【答案】A
【解析】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠D=∠A；
∵在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，且∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴∠D=30°．
故选A．
根据Rt△ABC≌Rt△DEF，则可知∠D=∠A；在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，且∠B=60°，即可得∠A的度数，即可得解．
本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键在于准确把握两个全等三角形对应角．
5.【答案】C
【解析】解：A、x2x的分子和分母有公因式x，不是最简分式，不符合题意；
B、xx2的分子和分母有公因式x，不是最简分式，不符合题意；
C、x+yx2+y2的分子和分母没有公因式或公因数，是最简分式，符合题意；
D、a2−1a+1=(a+1)(a−1)a+1的分子和分母有公因式(a+1)，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
根据最简分式的定义逐项判断即可得出答案．
本题考查最简分式的识别，解题的关键是掌握最简分式的定义．一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．
6.【答案】B
【解析】解：理由如下：只要能够找到全等的条件画一个和原来三角形全等的就可以．
第(3)个不能画，(1)符合“角边角”的条件，(2)符合“边角边”的条件．
故选：B．
符合判断三角形全等的条件，就可以确定三角形的形状及大小．
此题考查了全等三角形的应用；全等的条件不仅能判断两个三角形全等，而且能用它来确定三角形，还原三角形．
7.【答案】B
【解析】解：原式=ac⋅cac⋅ab=cab．
故选：B．
由原式得到原式=ac⋅cac⋅ab，然后分子分母都约去ac即可．
本题考查了分式的乘法：ba⋅dc=bdac.也考查了约分．
8.【答案】D
【解析】解：把分式2x−3yx+y中的x，y的值都扩大为原来的3倍，
∴2⋅3x−3⋅3y3x+3y=3(2x−3y)3(x+y)=2x−3yx+y，
∴分式的值保持不变，
故选：D．
根据分式的基本性质，可得答案．
本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：A、虽然是边边边，但是三角形的一边得长等于另两边的和，因此构不成三角形，故不能；
B、已知的是AB和BC，如果按全等三角形的判定依据，只有知道∠B的值才能确定全等，故不能；
C、符合全等三角形的ASA，故能作出唯一的三角形；
D、知道3个角的度数，不能画出唯一的△ABC，不能得到全等．故不能；
故选：C．
考虑是否符合符合三角形全等的判定依据即可．
本题主要考查了作图的理论依据，三角形全等的判定．
10.【答案】A
【解析】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
由作图过程可得MO=NO，NC=MC，再加上公共边CO=CO，可利用“SSS”定理判定△NOC≌△MOC．
解：由作图过程可知NC=MC，
在△NOC和△MOC中，
ON=OMCO=CONC=MC,
△NOC≌△MOC(SSS)．
故选：A．
11.【答案】C
【解析】解：根据题意，得：1080x+15=1080x−6．
故选：C．
关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量=所用A型包装箱的数量−6，由此可得到所求的方程．
考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：包装箱的个数=课外书的总本数÷每个包装箱装的课外书本数．
12.【答案】A
【解析】解：A、两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题成立；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，逆命题不成立；
C、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，逆命题不成立；
D、如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，逆命题不成立；
故选：A．
分别写出各个它们的逆命题，根据平行线的判定定理、全等三角形的判定定理、实数的运算判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13.【答案】D
【解析】解：去分母，得：x−3a=3a(x−3)，
由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程，可得：a=1．
故选：D．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−3=0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】C
【解析】解：①∵AB=AC，EB=EC，AE=AE，
∴△BEA≌△CEA(SSS)．
②∵EB=EC，CD=BD，DE=DE，
∴△BDE≌△CDE(SSS)．
③AB=AC，CD=BD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
所以图中的全等三角形共有3对．
故选：C．
单个全等的是△BDE≌△CDE，△BEA≌△CEA.由2部分组成全等的是：△ABD≌△ACD.做题时要注意从已知条件开始思考结合全等的判定方法逐一判断，做到不重不漏，由易到难．
本题考查了三角形全等的判定方法；找三角形全等应有规律的去找，先找单个的全等三角形，再找由2部分或2部分以上组成全等的三角形．
15.【答案】D
【解析】解：依题意得：1÷(1m+1n)=1÷m+nmn=mnm+n(小时).故选D．
时间=路程÷甲乙速度之和，题中没有路程，可设路程为1，关键描述语是：甲、乙二人同时从A、B两地出发．
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
16.【答案】D
【解析】解：当△ABP≌△DCE时，
如图所示：
①当P在BC上时，
∵AB=CD，∠ABC=∠C，BP′=EC，
∴△ABP′≌△DCE(SAS)，
此时，BP′=EC=2，
∴t=21=2s，
②当P在AD上时，
∵AB=DC，∠BAD=∠C，AP′′=EC，
∴△ABP′′≌△DCE(SAS)，
路程=6+3+(6−2)=13，
∴t=131=13s，
故选：D．
点拨：分别讨论，①当P在BC上时，使△ABP′′≌△DCE时，BP′=EC=2，可得t=21=2s，②当P在AD上时，△ABP′≌△DCE(SAS)，路程=6+3+(6−2)=13，可得t=131=13s．
本题主要考查了动点问题，分类讨论思想，全等三角形判定，熟练使用分类讨论思想是解决问题的关键．
17.【答案】同旁内角互补，两直线平行 真
【解析】解：逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，是真命题．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；真．
根据逆命题的定义，把原命题的题设与结论交换即可，再根据平行线的判定判断命题的真假．
本题考查了命题与定理，主要考查了逆命题与命题的关系，熟记二者的关系是解题的关键．
18.【答案】0
【解析】解：当分式2xx−2的值为零时，
有2x=0，解得x=0，
此时x−2=0−2=−2≠0，
故答案为：0．
根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，即可得到答案．
本题考查分式值为0的条件，掌握分子为0，分母不为0是解题的关键．
19.【答案】AF=CB(答案不唯一)
【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEF中，∠EAF=90°−∠AFE，
又∵∠EAF=∠BAD，
∴∠BAD=90°−∠AFE，
在Rt△AEF和Rt△CDF中，∠CFD=∠AFE，
∴∠EAF=∠DCF，
∴∠EAF=90°−∠CFD=∠BCE，
所以根据AAS添加AFF=CB或EF=EB；
根据ASA添加AE=CE．
可证△AEF≌△CEB．
故填空答案：AF=CB或EF=EB或AE=CE．
根据垂直关系，可以判断△AEF与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
20.【答案】3；52或10
【解析】解：①由m>0，得到3m>2m，
根据题中的新定义得：原式=3m3m−2m=3；
②当x>5时，化简得：xx−5=2，
解得：x=10，
经检验x=10是分式方程的解；
当x<5时，化简得：55−x=2，
解得：x=52，
经检验x=52是分式方程的解，
综上，x的值为52或10，
故答案为：3；52或10
①原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值；
②已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)a2a−b+b2b−a
=a2−b2a−b
=a+b；
(2)(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1
=3−a2+1a+1×a+1(a−2)2
=−a−2a−2，
把a=0代入−a−2a−2=1；
(3)x−3x−2+1=32−x，
化为整式方程得：x−3+x−2=−3，
解得：x=1，
经验，x=1时，x−2≠0，
∴原分式方程的解是x=1．
【解析】(1)根据分式的加减解答即可；
(2)根据分式的混合计算化简后代入数值解答即可；
(3)根据分式方程的解法解答即可．
此题考查分式的化简求值，关键是根据分式的混合计算化简后代入数值解答．
22.【答案】(1)证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵BE/​/CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
∠DBE=∠DCFBD=CD∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF(ASA)；
(2)解：∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE−AF=13−7=6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3．
【解析】(1)利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；
(2)由题意可得EF=AE−AF=6，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
23.【答案】1x(x+1) 2x(x+2) 3x(x+3) nx(x+n)
【解析】解：(1)①1x−1x+1=1x(x+1)；
②1x−1x+2=2x(x+2)；
③1x−1x+3=3x(x+3)；
(2)1x−1x+n=nx(x+n)，
(3)1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+...+1(x+9)(x+10)
=1x+1−1x+2+1x+2−1x+3++1x+9−1x+10
=1x+1−1x+10
=9(x+1)(x+10)；
故答案为：(1)①1x(x+1)；②2x(x+2)；③3x(x+3)；
(2)nx(x+n)．
(1)根据所给的等式，直接计算即可；
(2)通过观察所给的等式，同法进行计算可得结论；
(3)利用(2)的规律解答即可．
本题考查数字的变化规律和分式的加减，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律计算是解题的关键．
24.【答案】解：∵AB/​/CD，∴∠ABO=∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，
∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OB，
在△ABO与△CDO中，
∠ABO=∠CDOOB=OD∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴CD=AB=20(m)．
【解析】由AB/​/CD，利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO=90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，利用ASA定理可得，△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．
本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
25.【答案】解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，
依题意，得：7200(1+50%)x−3200x=40，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
∴(1+50%)x=60，3200x=80，7200(1+50%)x=120．
答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．
【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，根据数量=总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其分别代入(1+50%)x，3200x，7200(1+50%)x中即可得出结论．
26.【答案】AE=DC+DE 60
【解析】解：(1)【问题情景】∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBD=90°，
∵α=90°，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBD，
又∵∠AEB=∠BDC=90°，AB=BC，
∴△ABE≌△BCD(AAS)，
∴AE=BD，BE=CD，
∵BD=BE+DE，
∴AE=DC+DE；
故答案为：AE=DC+DE；
【问题解决】当∠ABC=60°时，【问题情景】中的结论仍然成立，理由如下：
∵∠AEB=∠BDC=α=120°
∴∠ABE+∠BAE=180°−∠AEB=60°．
又∵∠ABC=∠ABE+∠DBC=60°，
∴∠BAE=∠CBD．
在△ABE和△BCD中，
∠BEA=∠BDC∠BAE=∠CBDAB=BC，
∴△ABE≌△BCD(AAS)．
∴BE=DC，AE=BD
∵BD=BE+ED=DC+ED
∴AE=DC+DE；
故答案为：60；
(2)【拓展提升】DE=AE+DC.理由如下：
∵∠AEB=∠BDC=∠ABC=α
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=∠BAE+∠AEB．
又∵∠AEB=∠ABC，
∴∠EAB=∠CBD．
在△ABE和△BCD中，
∠BEA=∠BDC∠BAE=∠CBDAB=BC，
∴△ABE≌△BCD(AAS)，
∴BE=DC，AE=BD，
∴ED=BD+BE=AE+DC．
(1)【问题情景】首先证明出△ABE≌△BCD(AAS)，然后利用全等三角形的性质求解即可；
【问题解决】首先证明出△ABE≌△BCD(AAS)，然后利用全等三角形的性质求解即可；
(2)【拓展提升】首先证明出△ABE≌△BCD(AAS)，然后利用全等三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理．商品
进价(元/件)
数量(件)
总金额(元)
甲
7200
乙
3200