甘肃省2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（Word版附解析）

这是一份甘肃省2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 若，则关于的不等式的解集是， 如果，那么函数的图象在， 已知函数，下列结论正确的是， 设，则， 下列叙述中正确的是， 下列计算正确的是， 已知等内容，欢迎下载使用。

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的定义域是
A. (0,1]B.
C. D.
4. 若，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如果，那么函数的图象在
A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限
C. 第二、三、四象限D. 第一、二、四象限
6. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上是增函数
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数是奇函数
7 已知函数，则（ ）
A. B. C. 0D.
8. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列叙述中正确的是（ ）
A.
B. 若集合是全集的两个子集，且，则
C. 命题“”的否定是“”
D. 命题“”的否定是“”
10. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得图象
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在实数，函数无最小值
B. 对任意实数，函数都有零点
C. 当时，函数在上单调递增
D. 对任意，都存在实数，使关于的方程有3个不同的实根
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. __________．
14. 青少年视力是社会普遍关注问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据的满足.已知某同学视力的小数记录法数据为，则其视力的五分记录法的数据约为______.
15. 写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③.
16. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知
（1）求的值；
（2）若是第三象限角，化简，并求值.
18. 已知.
（1）求证：；
（2）若，求的最小值.
19. 已知函数是的一个零点.
（1）求；
（2）当时，求的值域.
20. “宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x（百万元）与利润y（百万元）的关系如下表：
当投资成本不高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）关系有两个函数模型与可供选择.
（1）当投资成本不高于12（百万元）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：）
21. 已知函数，且的图象过点.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在上的最小值；
（3）若，比较与的大小.
22. 已知函数．
（1）若是偶函数，求值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．（百万元）
2
4
12
（百万元）
0.4
12.8
2023~2024学年高一第一学期期末学业质量监测卷数学
考生注意：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的定义求解即可
【详解】因为，，
所以，
故选：C
2. “”是“”
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】当,则,则即充分性成立;当,时, 不成立,即必要性不成立,即“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
【点睛】本题考查了充分必要条件的定义,考查不等式性质,难度容易.
3. 函数的定义域是
A. (0,1]B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意知 ，则函数的定义域是.
故选D.
4. 若，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据t的范围，判断，解一元二次不等式可得答案.
【详解】因为，所以，即,
所以,即，解得.
故选：D
5. 如果，那么函数的图象在
A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限
C 第二、三、四象限D. 第一、二、四象限
【答案】B
【解析】
【详解】∴y=的图象过第一、第二象限,且是单调增函数,经过(0,1)，
的图象可看成把y=的图象向下平移−b(−b>1)个单位得到的，
故函数图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，
故选B.
6. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上是增函数
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数是奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由于，，因此，A错误；
对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误；
对于C，，
因此函数的图象关于直线对称，C正确；
对于D，由于，因此函数是偶函数，不是奇函数，D错误.
故选：C
7. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定的函数关系，依次代入计算即得.
【详解】函数，
所以.
故选：A
8. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，借助媒介数比较大小即得.
【详解】由，得，由，得，
即，而，
所以.
故选：B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列叙述中正确的是（ ）
A.
B. 若集合是全集的两个子集，且，则
C. 命题“”的否定是“”
D. 命题“”的否定是“”
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合间的关系可判断选项A，B；根据全称量词命题的否定形式可判断选项C，D.
【详解】对于选项A：因为，所以，故A正确；
对于选项B：B错误，可举特例说明，如，
则，
所以,故B错误；
全称量词命题的否定是：，故选项C正确；选项D错误.
故选：AC.
10. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用指数幂和对数的运算法则即可求解.
【详解】对于选项A，，故选项A正确；
对于选项B，，故选项B不正确；
对于选项C，，故选项C正确；
对于选项D，，故选项D不正确.
故选：AC.
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解.
【详解】解：根据函数的部分图象，
可得，可得，
再根据五点作图法，可得，解得，所以，
对于A中，当，可得，
所以不是函数的对称中心，所以A错误；
对于B中，当时，可得，即函数的最小值，
所以函数的图象关于直线对称，所以B正确；
对于C中，当，可得，
根据余弦函数的性质，可得在函数在先减后增，所以C不正确；
对于D中，将函数该图象向右平移个单位，
可得的图象，所以D正确.
故选：BD.
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在实数，函数无最小值
B. 对任意实数，函数都有零点
C. 当时，函数在上单调递增
D. 对任意，都存在实数，使关于的方程有3个不同的实根
【答案】ABD
【解析】
【分析】取特值结合单调性判断A；分段讨论判断B；举特值分析单调性判断C；分析函数性质，结合图象判断D.
【详解】函数的定义域为R，
函数图象由函数的图象向右平移1个单位而得，函数在R上是增函数，
对于A，当时，函数在上单调递增，当时，，
当时，，此时函数无最小值，A正确；
对于B，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得，
因此对任意实数，函数都有零点，B正确；
对于C，取，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，而，
此时函数在上不单调，C错误；
对于D，对任意，函数在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，
显然恒有，当时，直线与函数的图象有3个交点，
因此方程有3个不同的实根，D正确.
故选：ABD
思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. __________．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.
详解】.
故答案为：
14. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据的满足.已知某同学视力的小数记录法数据为，则其视力的五分记录法的数据约为______.
【答案】4.9
【解析】
【分析】根据对数的运算法则及所给数据求出，最后代入所给公式计算可得.
【详解】解：由，当时，
，
所以.
故答案为：
15. 写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答.
【详解】因函数是指数函数，则令，且，于是得，
由于单调递增，则，又，解得，取，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
16. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合奇函数的特征，区间转化法求解析式，再根据新定义转化为两函数图象的交点，进而转化到方程根的问题，利用基本不等式即可解决.
【详解】由“隐对称点”的定义可知，的图象上存在关于原点对称的点，
设的图象与图象关于原点对称，
设，则， ，
所以，，
故的图象与的图象有交点，
等价于方程有实根，
故，
当且仅当时，取得等号，所以，故实数的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知
（1）求的值；
（2）若是第三象限角，化简，并求值.
【答案】17. 2； 18. 详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用齐次式法计算即得.
（2）利用平方关系化简给定式子，再结合（1）利用同角公式求值即得.
【小问1详解】
由，得，解得，
所以值为2.
【小问2详解】
由（1）知，，即，而，于是，
而是第三象限角，即，因此，
所以.
18. 已知.
（1）求证：；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）8.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式推理即得.
（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【小问1详解】
，则，当且仅当时取等号，
所以.
【小问2详解】
由，且，得，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值8.
19. 已知函数是的一个零点.
（1）求；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的零点，结合特殊角的三角函数值求出.
（2）由（1）求出的解析式，再利用正弦函数性质求出值域即得.
【小问1详解】
依题意，，即，则，而，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，当时，，
而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
因此当，即时，取得最小值，
当，即时，取得最大值1，则，，
所以的值域是.
20. “宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x（百万元）与利润y（百万元）的关系如下表：
当投资成本不高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择.
（1）当投资成本不高于12（百万元）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：）
【答案】（1）最符合实际的函数模型为，解析式为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合表格中的数据，将点，分别代入两个函数的解析式，求得的值，结合时，求得的值，即可得到答案；
（2）根据题意得到利润与投资成本关系式，结合要获得不少于一个亿的利润，得出不等式，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：最符合实际的函数模型为，
理由如下：
若选函数，将点代入可得，
解得，所以，
当时，可得，与实际数据差别较大；
若选函数，
将点代入可得，解得，
所以，当时，可得，符合题意，
综上可得，最符合实际的函数模型为.
【小问2详解】
解：由题意知，利润与投资成本满足关系式,
要获得不少于一个亿的利润，即，
当时，即，即，
又因为，所以；
当时，即，可得，
解得，又因为，所以，
综上可得，，
所以要获得不少于一个亿的利润，投资成本（千万）的范围是.
21. 已知函数，且的图象过点.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在上的最小值；
（3）若，比较与的大小.
【答案】21. ，
22.
23.
【解析】
【分析】（1）由求得，由对数函数的定义得定义域.
（2）函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最小值.
（3）指数式改写为对数式，然后比较的大小，并由已知得出的范围，在此范围内由的单调性得大小关系．
【小问1详解】
依题意，，因此，
由，解得，所以的定义域为.
【小问2详解】
由（1）知，，
，当时，则，
所以，因此当时，函数，
所以在上的最小值.
【小问3详解】
，，则，，
显然，，即有，
于是，而，则，，
又，则，，即，
，，从而，，
因为函数在上是增函数，又在上是减函数，则在上是减函数，
所以.
【点睛】结论点睛：函数在区间上单调，函数在区间上单调，并且在上函数值集合包含于区间，则函数在区间上单调；如果与单调性相同，那么是增函数，如果与单调性相反，那么是减函数.
22. 已知函数．
（1）若是偶函数，求的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助偶函数的性质，计算即可得；
（2）参变分离后换元求解即可的.
【小问1详解】
因为是偶函数，所以，
即，故．
【小问2详解】
由题意知在上恒成立，
则，
又因为，所以，则，
令，则，
可得，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即a的取值范围是．（百万元）
2
4
12
（百万元）
0.4
12.8