2023-2024学年四川省绵阳市江油中学高三上学期第三次阶段性考试数学试题含答案

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第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题(每小题5分，共40分)
1. 的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】应用终边相同的角即可求解.
【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.
故选：A．
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】，
故是的必要不充分条件，
故选：B
3. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域求出，根据二次函数的性质求出，再根据集合的运算法则计算可得.
【详解】因为，，
所以，则.
故选：A
4. 函数是（ ）
A. 偶函数，在区间上是减函数.
B. 奇函数，在区间上是增函数.
C. 偶函数，在区间上是减函数.
D. 奇函数，在区间上是增函数.
【答案】A
【解析】
【分析】求得函数的定义域，运用奇偶性的定义和对数函数的单调性，即可得到结论．
【详解】解：函数的定义域为，
且有，可得为偶函数，
当时，函数且单调递增；
当时，函数且单调递减．故A项正确.
故选：A.
5. 核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（ ）．（参考数据：，）
A. 36.9B. 41.5C. 58.5D. 63.1
【答案】C
【解析】
【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解．
【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a，
由题意可得，，即，
所以，即，
故．
故选：C．
6. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值．
【详解】∵，∴，即，∴，
∴，得，∴，
∴或，
∵，且，∴由三角函数定义知，
∴，故．
故选：D.
7. 某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的图象确定的变化趋势，确定正确选项．
【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，
从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，
是常数，该常数为2，只有D满足，
故选：D．
8. 已知为定义在上的奇函数，且满足，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性、单调性比较大小.
【详解】法一：
第一步：判断在上的单调性
当时，，
，所以在上单调递减．
因为，
所以的图象关于直线对称，则在上单调递增．
因为为定义在上的奇函数，所以在上单调递增．
第二步：利用作差法并结合的单调性即可比较大小.
因为，所以，
因为，所以，
因为，，
所以，
所以，即，故D正确．
法二：
第一步：判断在上的单调性
当时，，，
所以在上单调递减．
因为，
所以的图象关于直线对称，则在上单调递增．
因为为定义在上的奇函数，所以在上单调递增．
第二步：利用作商法并结合的单调性即可比较大小
因为，所以，
因为，所以，
因为，，所以，
所以，即.故D正确.
故选：D．
二、多选题（每小题5分，共20分，多选错选不得分，漏选得2分）
9. 若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】AB
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的定义求解.
【详解】由，解得或，所以p：或，
因为p是q的必要不充分条件，所以方程一定有解，则，
所以或，解得或，
故选:AB.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B. 若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是2
C. 经过4小时时针转了120°
D. 若角与终边关于轴对称，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数值在各象限的符号来判断A选项；
根据弧度数公式判断B选项；
根据角的定义判断C选项；
根据终边关于轴对称的角的关系判断D选项.
【详解】对于A：若角终边在第二象限或第四象限，则，是真命题，充分性成立；
若，则角终边在第二象限或第四象限，是真命题，必要性成立，所以角终边在第二象限或第四象限是充要条件，故A正确.
对于B：由弧度数公式，得，即，故B正确.
对于C：经过4小时时针转了，故C错误；
对于D：若角与终边关于轴对称，则，故D错误.
故选：AB.
11. 小王两次购买同一种物品，已知物品单价分别为和，且每次购买这种物品所花的钱数一样，两次购物的平均价格为，则下面正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】依题意得到，结合基本不等式即可得解.
【详解】依题意，设两次花费的钱数为，
则两次购物的平均价格为，故A错误，B正确；
又，所以，
根据基本不等式及其取等号的条件可得，
所以，即，故C正确，D错误；
故选：BC．
12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A. 函数不存在跟随区间
B. 若为的跟随区间，则
C. 二次函数存在“3倍跟随区间”
D. 若函数存在跟随区间，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.
【详解】对于A选项，由题，因为函数在区间与上均为增函数，
若存在跟随区间则有，即为的两根．
即的根，故，故A错误．
对于B选项，若为的跟随区间，
因为在区间为增函数，故其值域为，
根据题意有，解得或，因为故，故B正确．
对于C选项，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为，当时，易得在区间上单调递增，
此时易得为方程的两根，
求解得或.故定义域，则值域为．故C正确．
对于D选项，若函数存在跟随区间，
因为为减函数，
故由跟随区间的定义可知，
即，
因为，所以．
易得．
所以，
令代入化简可得，
同理也满足，
即在区间上有两不相等的实数根．
故，解得，故D错误．
故选：BC
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数、对数运算求得正确答案.
【详解】
.
故答案：
14. 下列各组函数中，表示同一个函数的是______．
①．， ②．，
③．， ④．，
【答案】③
【解析】
【分析】根据同一函数的判断标准，只要定义域相同，解析式一致，即为同一函数
【详解】对于①：两个函数定义与不同：f（x）的定义域为，g（x）的定义域为R，故不是同一个函数；
对于②：f（x）定义域为R，g（x）定义域，定义域不同，故不是同一个函数；
对于③：f（x）与g（x）定义域均为R，解析式也一样，故是同一个函数；
对于④：f（x）定义域为，g（x）定义域为，故不是同一个函数.
故答案为：③
15. 已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据解析式分析的单调性并画出大致图象，将问题化为与仅有一个交点，数形结合求参数值.
【详解】由函数解析式，在上递减，、上递增，且在处连续，
所以大致图象如下，
由函数仅有一个零点，即与仅有一个交点，
由图知：.
故答案为：0
16. 函数为奇函数，且，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由为奇函数可得，解得，再由结合，即可得出答案.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，
所以，即，解得：或（舍去），
故，
因为，，
则
所以，又，所以.
故答案为：
四、解答题（17题10分，18—22题每题12分，共70分，解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）
17. 如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，且，记．
（1）若，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，求的值．
【答案】（1）两点坐标分别为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数定义结合条件即得；
（2）由题可得点的坐标为，然后结合条件及三角函数的定义即得.
【小问1详解】
因为，
所以，所以点坐标为,
因为，
所以，
所以点坐标为；
所以两点坐标分别为；
【小问2详解】
由点在单位圆上，得，
又点位于第一象限，则，
所以点的坐标为，
即．
所以，
所以．
18. 已知函数在R上是偶函数，当时，，
（1）求函数在上的表达式。
（2）在所给的坐标系中做出函数的图象；

（3）写出函数的单调区间和值域.
【答案】（1）
（2）图象见详解 （3）答案见详解
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；
（2）根据二次函数的图象画法以及偶函数的性质画图；
（3）根据二次函数的图象及性质得出结果即可.
【小问1详解】
当时，，函数在R上是偶函数，
当时，，,
所以.
【小问2详解】
【小问3详解】
当时，，函数的对称轴为,
当时，，函数的对称轴为,
函数,单调递增，在,单调递减，
当,函数有最小值，最小值为，所以函数的值域为.
19. 已知关于的方程有实根，集合.
（1）求的取值集合；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分，两种情况讨论，结合判别式求解；
（2）若，则，分，两种情况讨论，列出不等式求解即可.
【小问1详解】
方程有实根，
若，该方程无解；
若，则，解得或，
综上，.
【小问2详解】
若，则，
当时，，符合题意；
当时，，
∵，∴或，∴，
综上，.
20 已知函数对任意，，总有，且当时，，．
（1）求证：是上的奇函数；
（2）求证：是上的减函数；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用进行赋值，即可得到函数奇偶性.
（2）结合定义法证明在上的增减性.
（3）利用单调性和奇偶性进行不等式的变形，之后借助单调性进行不等式的求解.
【小问1详解】
证明：函数对任意，，总有，令，则，解得.
令，得到，则
可证，是上的奇函数.
【小问2详解】
证明：在上任取、且，则，
由（1）是上的奇函数，
所以，
因为，所以.
由题可知，当时，，
所以.即
所以函数是上的减函数.
【小问3详解】
因为，
令，则
令，则.
因为，
所以
又因为函数是上的减函数，
所以，则，解得，
则实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：在对抽象函数进行奇偶性求解时，可先进行赋值计算，再令代入即可判断函数的奇偶性.
21. 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：
（1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③
（2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值.
【答案】21. 见解析
22.
【解析】
【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；
（2）根据（1）中结论可将不等式整理为对恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最大值，进而得到的取值范围，从而得到结果.
【小问1详解】
从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
函数增长的速度越来越快，
选择③（且）
代入表格中的三个点可得：，解得：
，.
【小问2详解】
由（1）可知：，
故不等式对恒成立，
对恒成立，
令，则， ，，
在单调递增，则，
.
22. 已知是定义在上的奇函数．
（1）求的值；
（2）已知函数若函数与在上有两个交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1； （2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义即得值,还需检验；
（2）根据两函数图像有交点等价转化为对应方程由实根，再分离参数，将其转化为直线与新函数的交点问题，结合函数单调性绘制简图即得参数范围.
【小问1详解】
因是定义在上的奇函数，故解得：
此时，
故时，是奇函数.
【小问2详解】
由（1）得：
由函数与在上有两个交点可知：方程在上有两个实根，
即：方程在上有两个实根，
设，则，
不妨记，依题意，须使函数与在上有两个交点，
易知，的图像在上单调递减，在单调递增，（证明见人教A版（2019）第79页例3.）且的值在上恒为正数，
故在上单调递增，在单调递减，且时，,如图.
要使函数与在上有两个交点，须使，即实数的取值范围是
建立平台第年
1
2
3
4
会员个数（千人）
14
20
29
43