2024北京海淀高三上学期期末数学试卷和答案

这是一份2024北京海淀高三上学期期末数学试卷和答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

海淀区 2023—2024 学年第一学期期末练习
高三数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（1）A
（2）D
（3）B
（4）D
（5）C
（6）A
（7）D
（8）B
（9）B
（10）D
（ 11 ） 5
7 5
5
（13） 1
（15）②④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）连接 AD1 .
（12） 2
（14）1 1 （答案不唯一）
在四棱柱 ABCD  A1B1C1D1 中，侧面CDD1C1 为平行四边形，所以C1D1 // CD ， C1D1  CD .
B1
C
A1
因为 AB // CD ， CD  1 AB ， M 为 AB 中点，B
2
所以CD // AM ， CD  AM .
M
所以C1D1 // AM ， C1D1  AM .C1
所以四边形 MAD1C1 为平行四边形.A
所以 MC1 // AD1 .DD1
因为C1M  平面 ADD1A1 ，所以C1M // 平面 ADD1A1 ．
（Ⅱ）在正方形 ABB1 A1 中， AA1  AB .因为平面 ABB1A1  平面 ABCD ，所以 AA1  平面 ABCD .
所以 AA1  AD .
因为 AD  B1M , B1M  平面 ABB1 A1 ， B1M 与 AA1 相交，
所以 AD  平面 ABB1 A1 .
所以 AD  AB .
如图建立空间直角坐标系 A  xyz .
不妨设 AD  1 ，则
A(0,0,0) ，C1(1, 2,1) ，B1(0, 2, 2) ，M (0,0,1) .
所 以 AC1  (1, 2,1) ， C1B1  (1,0,1) ，z
MC1  (1, 2,0) .
设平面 MB1C1 的法向量为
B
B1
C
C1
y
D
D1
x
A1
n  (x, y, z)，则
n  C B  0,x  z  0,M
1 1即
n  MC1  0,x  2 y  0.
A
令 x  2 ，则 y  1 ，z  2 .于是n  (2, 1, 2) .
因为cs 
AC1  n  6 ，
AC1, n 
| AC1 |  | n|9
所以直线 AC 与平面 MB C 所成角的正弦值为 6 .
11 19
（17）（共 14 分）
解：（Ⅰ）由正弦定理
a 
sin A
b
sin B
 c
sin C
及2c cs A  2b  a ，得
2sin C cs A  2sin B  sin A . ①因为 A  B  C  π ，
所以sin B  sin(A  C)  sin AcsC  cs Asin C . ②由①②得2sin AcsC  sin A  0 .
因为 A(0, π) ，所以sin A  0 .
所以cs C  1 .
2
因为C (0, π) ，
所以C  π .
3
（Ⅱ）选条件②： sin B  sin A  1 .
2
由（Ⅰ）知， B  π  π  A  2π  A .
33
所以sin B  sin A  sin( 2π  A)  sin A
3
 3 cs A  1 sin A  sin A  3 cs A  1 sin A
2222
 sin( π  A) .
3
所以sin( π  A)  1 .
32
, )
因为 A (0, 2π) ，所以 π  A( π π .
333 3
所以 π  A  π ，即 A  π .
366
3
所以△ ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形.因为c ，
所以 AC 
AB
sin C
3
sin π
3
 2 .
所以 AC 边上的中线的长为1 .
选条件③： b2  2a2  2 .
由余弦定理得a2  b2  ab  3.
设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得
22b2ab
d  a
 2 cs C
42
 a2
b2  ab
42
 a2
b2
4
 a2  b2  3 2
 1.
所以 AC 边上的中线的长为1 .
（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10 场比赛中，甲共获胜3 场，分别是第3 场，第8 场，第10 场.
设 A 表示“从10 场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则
P( A)  3 .
10
（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10 场比赛中，甲得分不低于10 分的场次有6 场，分别是第2 场，第3 场，第5 场，第8 场，第9 场，第10 场，其中乙得分大于丙
得分的场次有 4 场，分别是第2 场、第5 场、第8 场、第9 场.
所以 X 的所有可能取值为0 ，1 ， 2 ．
C2C01
C1  C18
C0C22
6
6
P( X  0)  2 4 ， P( X  1)  24 ， P( X  2)  2 4 .
C
C
C
6
5
215
2152
所以 X 的分布列为
所以E( X )  0  1  1 8  2  2  4 .
151553
（Ⅲ） D(Y2 )  D(Y1 )  D(Y3 ) .
X
0
1
2
P
1
8
2
15
15
5
（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）由题意知a  3 ， 2c  2 5 .
所以c  5 ， b2  a2  c2  4 ．
x2  y2 
所以椭圆 E 的方程为
94
1 ，其短轴长为4 ．
（Ⅱ）设直线CD 的方程为 x  my 1 ，
 x2  y2 
C(x1, y1 ) ， D(x2 , y2 ) ，则 M (x1,  y1 ) .
由

 94
x  my  1
1, 得(4m2  9) y2  8my  32  0 .
所以 y1  y2
 8m .
4m2  9
由 A(3,0) 得直线 AM 的方程为 y  y1 (x  3) .
x1  3

 y  y1 (x  3),
2 y
由
x1  3
得 y  1 .
3  x  my

x  my  111
因为 x1  my1 1 ，
所以 y  y1 ， x  m( y1 )  1  2  my1 .
222
所以 N ( 2  my1 ,  y1 ) .
22
因为Q 为OD 的中点，且 x2  my2  1，
所以Q( my2  1, y2 ) .
22
所以直线 NQ 的斜率
y2  y1
k  22  y2  y1 
8m
4m2  9 8m.
my2  1  2  my1m( y2  y1 ) 1

8m2 12m2  9
224m2  9 1
当 m  0 时， k  0 .
当 m  0 时，
12  9
因为12m  9  2
m
 12 3 ，当且仅当m 
3 时，等号成立.
2
所以k 
8m 12m2  9
 2 3 .
9
所以当m 
3 时， k 取得最大值 2 3 ．
29
（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ）①当a  1时， f (x)  x2  x sin x  b  x(x  sin x)  b .记 g(x)  x  sin x （ x  0 ），则 g '(x) 1 cs x  0 . 所以 g(x) 在[0,  ) 上是增函数.
所以当 x  0 时， g(x)  g(0)  0 .
所以当 x  0 时， f (x)  x(x sin x)  b  b .
②由 f (x)  x2  x sin x  b 得 f '(x)  2x  sin x  x cs x ，且 f '(0)  0 .
当 x  0 时， f '(x)  x(1 cs x)  x sin x .
因为1  cs x  0 ， x  sin x  0 ，所以 f '(x)  0 .
因为 f '(x)   f '(x) 对任意 x  R 恒成立，所以当 x  0 时， f '(x)  0 .
所以0 是 f (x) 的唯一极值点.
设曲线 y  f (x) 与曲线 y  cs x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为 x1 ， x2 ，其斜率分别为k1 ， k2 ，则k1k2  1 .
因为(cs x)'  sin x ，
所以sin x1  sin x2  k1k2  1 .
所以{sin x1 ,sin x2} {1,1} .
不妨设sin x  1 ，则 x  2k   ， k  Z .
112
因为k1  f '(x1)  2ax1  sin x1  x1 cs x1 ，
由“优切线”的定义可知2ax1  sin x1  x1 cs x1  sin x1 .
所以a  1 
x1
2
4k   
， k  Z .
由“优切线”的定义可知 1  x2  x sin x  b  cs x ，
x
1111
1
所以b  0 .
当 a 
2， k  Z ， b  0 时，取 x  2k   ， x
 2k   ，则
4k  

1222
f (x1)  cs x1  0 ， f (x2 )  cs x2  0 ， f '(x1)  sin x1  1 ， f '(x2 )  sin x2  1，符合题意.
所以a 
2
4k  
， k  Z ， b  0 .
（21）（共 15 分）
解：
（Ⅰ） f ( A1 )  10 , H (A1)  12 ；
f (A2 )  12 ， H ( A2 )  15 ．
由定义可知：将数表 A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列）， H (A) ， f (A)
的值不变. 因为m 为奇数，aij { 1,1} ，所以r(1), r(2), , r(m)，c(1),c(2), , c(m) 均不为0 .
（Ⅱ）当 s {0, m} 或t {0, m}时，不妨设 s  0 ，即 r(i)  0 ， i 1, 2, , m .
若t  0 ，结论显然成立；
若t  0 ，不妨设c( j)  0 ， j 1, 2, ,t ，则(i, j)  H ，i 1, 2, , m ， j 1, 2, ,t .
所以 H(A)  mt ，结论成立.
当 s {0, m} 且t {0, m}时，不妨设r(i)  0 ，i  1, 2, , s ，c( j)  0 ， j 1, 2, ,t ，则当 s  1  i  m 时， r(i)  0 ；当t 1  j  m 时， c( j)  0 .
ij
因为当i  1, 2, , s ， j  t 1,t  2, , m 时， r(i)  0 ， c( j)  0 ，所以(aij  r(i))  (aij  c( j))  a2  r(i)  c( j)  0 .
所以(i, j)  H .
同 理 可 得 ： (i, j)  H j 1, 2, ,t .
， i  s 1, s  2, , m ，
所以 H(A)  s(m  t)  (m  s)t  mt  ms  2st .
当m  5 时，H (A) 的最小值为 8 . 对于如下的数表
f ( A)9
A ， H ( A)  8 .
f ( A)9
下面证明： H ( A)  8 .
f ( A)9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
设 r(1) ， r(2) ，…， r(m) 中恰有 s 个正数， c(1) ， c(2) ，…， c(m) 中恰有t 个正数， s, t {0,1, 2,3, 4,5} .
①若 s {0,5} 或t {0,5} ，不妨设 s  0 ，即r(i)  0 ， i 1, 2, ,5 .
所以当aij  1 时， (i, j)  H .
由 A 中所有数不全相同，记数表 A 中1 的个数为a ，则a  1 ，且
52  r(1)  r(2)  r(5)25  a  (25  a)
f (A)  a ， H (A)  a .
22
所以 H ( A)  1  8 .
f ( A)9
52  | r(1)  r(2)  r(5) |
②由①设 s {0,5} 且t {0,5} .若 s {2,3} 或t {2,3} ，不妨设 s  2 ，则由（Ⅱ）中结论知： H(A)  5t 10  4t 10  t 11.
因为0  f (A)  12 ，
2
所以 H ( A)  11  8 .
f ( A)129
③由①②设 s {0, 2,3,5} 且t {0, 2,3,5} .
若{s,t}  {1, 4}，则由（Ⅱ）中结论知： H(A)  25  8 17 .
因为0  f (A) 12 ，所以 H ( A)  17  8 .

f ( A)129
若 s  t ， s {1, 4}，不妨设 s  t  1 ， r(1)  0 ， c(1)  0 ，且 H ( A)  1 ，由（Ⅱ）
f ( A)
中结论知： H (A)  8 .所以 f (A)  H (A)  8 .
若数表 A 中存在aij （ i, j {2,3, 4,5}）为1 ，将其替换为1 后得到数表 A' .
因为 H(A')  H(A) 1 ， f (A')  f (A) 1，
所以 H (A')  H (A) 1  H (A) .

f (A')f (A) 1f (A)
所以将数表 A 中第i 行第 j 列（ i, j  2,3, 4,5 ）为1 的数替换为1 后 H ( A) 值变小.
f ( A)
所以不妨设aij  1 （ i, j  2,3, 4,5 ）.
因为 H(A)  5  5  2  8 ， f (A)  9 ，所以 H ( A)  8 .
f ( A)9