天津市第二十中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份天津市第二十中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）sin60°的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“购买1张彩票，中奖”是不可能事件
B．“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件
C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3
D．某射击运动员射击了九次都没有中靶，故他射击的第十次也一定不中靶
4．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有5个红球和4个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，点A（6，3）、B（6，0）在直角坐标系内．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（2，1）
6．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
7．（3分）把抛物线y＝3（x﹣2）2+1的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．y＝3（x﹣3）2﹣1B．y＝3（x﹣3）2+3
C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x﹣1）2+3
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．30°B．40°C．70°D．110°
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D，连接BD，AD．若∠ACD＝50°，则∠DBA的度数是（ ）
A．15°B．35°C．65°D．75°
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：
（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；
（2）分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；
（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD•CE；所有正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：
①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为 ．
14．（3分）已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为 ．
15．（3分）用一个圆心角为120°，半径为5的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 ．
16．（3分）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有 人．
17．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点B，C均落在格点上，点A在网格线上，且AC＝．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）以AB为直径的半圆与边BC相交于点D，在圆上有一点P，使得BP平分∠ABC，请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（1）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2精过程如下框：
你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法．
（2）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）+m2+1＝0有两个不相等的实数根，若方程的两实数根分别为x1，x2，（x1≠x2），且满足，求实数m的值．
20．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m．设CD的长为x m．
（1）则AB的长为 m，BC的长为 m，（用含x的代数式表示）
（2）若花圃的面积为120m2，求花圃一边AB的长；
（3）花圃的面积能达到130m2吗？说明理由．
21．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
22．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若DC＝6，AB＝13，求AF的长．
23．如图，某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，已知喷出的水柱为相同的抛物线，且在距离水池中心3米处达到最大高度为5米，以水池直径所在的直线为x轴，立柱所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）第一象限第抛物线第顶点坐标为 ，与x轴交点B坐标为 ；
（2）求第一象限水柱所在抛物线的函数表达式；
（3）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝OA．点B为x轴上一点，现在以B为旋转中心，将PB顺时针旋转60°至BM，连接PM．
（1）：
①∠PBM＝ ；
②求证：△PBM为等边三角形；
（2）当PA⊥x轴，B（，0）时，求AM的长；
（3）当点B的坐标为（5，0）时，求线段AM的最大值（直接写出结果即可）．
25．在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（﹣3，0），B（3，0）．已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a为常数，a≠0），与y轴相交于点C，P为顶点．
（1）当抛物线过点A时，求该抛物线的顶点P的坐标；
（2）若点P在x轴上方，当∠POB＝45°时，求a的值；
（3）在（1）的情况下，连接AC，BC，点E，点F分别是线段CO，BC上的动点，且CE＝BF，连接AE，AF，求AE+AF的最小值，并求此时点E和点F的坐标．
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）sin60°的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：sin60°＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
2．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：根据概念，知
A、B、D既是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：C．
【点评】掌握中心对称图形的概念．
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“购买1张彩票，中奖”是不可能事件
B．“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件
C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3
D．某射击运动员射击了九次都没有中靶，故他射击的第十次也一定不中靶
【分析】根据概率的意义进行判定即可得出答案．
【解答】解：A、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
B、“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件，故本选项正确，符合题意；
C、抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，不能说明正面朝上的概率是0.3，随着实验次数的增多越来越接近于理论数值0.5，故本选项错误，不符合题意；
D、射击运动员射击一次中靶与不中靶的可能性不相等，所以他击中靶的概率不是0.5，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．
4．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有5个红球和4个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据袋子中装有9个球，其中2个红球，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵袋子中装有9个球，其中5个红球，
∴它是红球的概率是；
故选：D．
【点评】本题考查了概率的公式．正确记忆概率＝所求情况数与总情况数之比是解题关键．
5．（3分）如图，点A（6，3）、B（6，0）在直角坐标系内．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（2，1）
【分析】根据得A、B的坐标求出OB、AB的长，根据位似的概念得到比例式，计算求出OD、CD的长，得到点C的坐标．
【解答】解：∵A（6，3）、B（6，0），
∴OB＝6，AB＝3，
由题意得，△ODC∽△OBA，相似比为，
∴＝＝，
∴OD＝2，CD＝1，
∴点C的坐标为（2，1），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质以及坐标与图形的性质，掌握位似的两个图形一定是相似形和相似三角形的性质是解题的关键．
6．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
【分析】根据k＞0，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，
∴点A，B在第三象限，C在第一象限，
∴y2＜y1＜y3；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
7．（3分）把抛物线y＝3（x﹣2）2+1的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．y＝3（x﹣3）2﹣1B．y＝3（x﹣3）2+3
C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x﹣1）2+3
【分析】找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），
∴平移后抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴平移后抛物线的解析式为y＝3（x﹣1）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出平移后抛物线的解析式是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．30°B．40°C．70°D．110°
【分析】先根据平行线的性质得∠DCA＝BAC＝70°，再根据旋转的性质得∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC＝∠ACD＝70°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD＝40°，即可确定旋转角的度数．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC＝70°，
∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝40°，
∴∠BAE＝∠CAD＝40°，即旋转角的度数为40°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D，连接BD，AD．若∠ACD＝50°，则∠DBA的度数是（ ）
A．15°B．35°C．65°D．75°
【分析】根据切线的性质得出∠CAO＝90°，AC＝CD，求出∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣∠ACD）＝65°，求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再求出答案即可．
【解答】解：∵CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D，
∴∠CAO＝90°，AC＝CD，
∵∠ACD＝50°，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣∠ACD）＝65°，
∴∠DAB＝90°﹣∠CAD＝90°﹣65°＝25°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBA＝90°﹣∠DAB＝90°﹣25°＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【解答】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数y＝﹣cx+b经过第一、二、四象限，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．
11．（3分）如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：
（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；
（2）分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；
（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD•CE；所有正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．
【解答】解：由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，故①正确，
∴OP⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠AOD＝∠AOC＝45°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∴∠AOD＝∠OBC＝45°，
∴OD∥BC，故②正确，
∴＝＜1，
∴OE＜EC，故③错误，
连接CD．
∵∠DCE＝∠DCO，∠CDE＝∠COD＝45°，
∴△DCE∽△OCD，
∴＝，
∴CD2＝OD•CE，
∵∠AOD＝∠DOC，
∴＝，
∴AD＝CD，
∴AD2＝OD•CE，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：
①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①正确；根据一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故②错误；根据对称轴为直线x＝﹣1得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故③错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故④正确．
【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴为直线x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故②错误；
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣2a+c＜0，
∴c﹣a＜0，故③错误；
当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故④正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为 （3，﹣2） ．
【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（﹣3，2），
∴点P′的坐标（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．
14．（3分）已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为 4π ．
【分析】连接OA、OB，证出△AOB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径，然后求得周长即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAM＝60°，
∴OM＝OA•sin∠OAM，
∴OA＝＝＝2，
∴⊙O的周长为4π，
故答案为：4π．
【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OA是解决问题的关键．
15．（3分）用一个圆心角为120°，半径为5的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 ．
【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的弧长＝＝π＝，
∴圆锥的底面半径为π÷2π＝．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的弧长公式，正确记忆圆锥的弧长等于底面周长是解题关键．
16．（3分）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有 9 人．
【分析】设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝72，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴该小组共有9人．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 3 ．
【分析】连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，根据等边三角形的性质得到AB＝CB＝4，∠BCH＝ACB＝60°＝30°，根据直角三角形的性质得到BH＝AB＝2，CH＝BC＝×4＝2，由切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝＝，推出当点P运动到H点时，CP最小，于是得到结论．
【解答】解：连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AB＝CB＝4，∠BCH＝ACB＝60°＝30°，
∴BH＝AB＝2，CH＝BC＝×4＝2，
∵PQ为⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
在Rt△CPQ中，PQ＝＝，
∵点P是AB边上一动点，
∴当点P运动到H点时，CP最小，
即CP的最小值为2，
∴PQ的最小值为＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等边三角形的性质．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点B，C均落在格点上，点A在网格线上，且AC＝．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）以AB为直径的半圆与边BC相交于点D，在圆上有一点P，使得BP平分∠ABC，请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 如图，取AB与格线的交点O，取格点E，F，连接E，F交格线于点G，连接OG交半圆于点P，则点P即为所求 ．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理直接求解即可．
（Ⅱ）如图，取AB与格线的交点O，取格点E，F，连接E，F交格线于点G，连接OG交半圆于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）由题意AB＝＝，
故答案为：．
（Ⅱ）如图，点P即为所求作．
故答案为：如图，取AB与格线的交点O，取格点E，F，连接E，F交格线于点G，连接OG交半圆于点P，则点P即为所求．
解法二：如图，在AC上找一点使得CQ＝QA＝，取AB与格线的交点O，连接OQ交半圆于点P，则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理．角平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（1）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2精过程如下框：
你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法．
（2）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）+m2+1＝0有两个不相等的实数根，若方程的两实数根分别为x1，x2，（x1≠x2），且满足，求实数m的值．
【分析】（1）小敏和小霞的做法都是错误的．利用因式分解法求解即可；
（2）根据题意和根与系数的关系，可以求得m的值．
【解答】解：（1）小敏和小霞的做法都是错误的．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣（2m+1），x1，x2＝m2+1，
又，
∴，
∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m2+1）＝15，
解得，m1＝2，m2＝﹣4，
又Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）＝4m﹣3＞0，
∴，
∴m＝2．
【点评】本题考查根与系数的关系、解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法和根与系数的关系．
20．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m．设CD的长为x m．
（1）则AB的长为 x m，BC的长为 （32﹣2x） m，（用含x的代数式表示）
（2）若花圃的面积为120m2，求花圃一边AB的长；
（3）花圃的面积能达到130m2吗？说明理由．
【分析】（1）根据CD的长为x m，则BC的长为（32﹣2x） m；
（2）根据花圃的面积为120m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长18m，即可确定AB的长；
（3）花圃的面积不能达到130m2，设AB的长为ym，则BC的长为（32﹣2y）m，根据花圃的面积为130m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣4＜0，可得出该方程没有实数根，即花圃的面积能达到130m2．
【解答】解：（1）AB的长为x米，BC的长为（32﹣2x）米，
故答案为：x，（32﹣2x）；
（2）∵0＜32﹣2x≤18，
∴7≤x＜16，
由题意知x（32﹣2x）＝120，
解得x1＝6（舍去），x2＝10，
∴花圃一边AB的长为10m．
（3）x（32﹣2x）＝130，
x2﹣16x+65＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝162﹣4×1×65＝﹣4＜0，
∴花圃的面积不能达到130m2，不能围成．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．
21．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠CDB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系可得答案；
（2）由半径的关系可得∠ODB＝∠OBD，再利用∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°可得∠CDB＝20°，最后根据直角三角形锐角互余可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝56°，
∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．
（II ）∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，
∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，
∴20°+∠CDB＝2∠CDB，
∴∠CDB＝20°，
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．
【点评】本题考查圆的有关概念和性质，熟练掌握圆周角定理和推论是解题关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若DC＝6，AB＝13，求AF的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BF，交AC与点E，首先借助圆周角定理证明四边形CEFD为矩形，由矩形性质可得EF＝CD＝6，OC⊥BF，利用垂径定理即可推导BF＝12；然后在Rt△ABF中，由勾股定理计算AF的长即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC＝∠CAO，
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠FAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BF，交AC于点E，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠DFE＝180°﹣∠AFB＝90°，
∵CD⊥AF，CD⊥OC，
∴∠FDC＝∠DCE＝90°，
∴四边形CEFD为矩形，
∴EF＝CD＝6，∠CEF＝90°，即CE⊥BF，
∵OC为⊙O半径，
∴BF＝2EF＝2×6＝12，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AF＝＝5．
【点评】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键．
23．如图，某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，已知喷出的水柱为相同的抛物线，且在距离水池中心3米处达到最大高度为5米，以水池直径所在的直线为x轴，立柱所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）第一象限第抛物线第顶点坐标为 （3，5） ，与x轴交点B坐标为 （8，0） ；
（2）求第一象限水柱所在抛物线的函数表达式；
（3）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？请说明理由．
【分析】（1）根据题意写出顶点坐标和与x轴的交点坐标即可；
（2）设抛物线顶点式代入点（8，0）解出a值即可得到解析式；
（3）令y＝1.8代入抛物线解析式求出x值作答即可．
【解答】解：（1）根据题意和图示，第一象限抛物线的顶点坐标为（3，5），
根据题意和图示，第一象限抛物线与x轴的交点坐标为（8，0），
故答案为：（3，5）；（8，0）．
（2）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，
得：25a+5＝0，
解得：，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，
（3）为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．理由如下：
当y＝1.8时，有，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y＝1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝OA．点B为x轴上一点，现在以B为旋转中心，将PB顺时针旋转60°至BM，连接PM．
（1）：
①∠PBM＝ 60° ；
②求证：△PBM为等边三角形；
（2）当PA⊥x轴，B（，0）时，求AM的长；
（3）当点B的坐标为（5，0）时，求线段AM的最大值（直接写出结果即可）．
【分析】（1）由旋转的性质可得PB＝BM，∠PBM＝60°，可得结论；
（2）由锐角三角函数可求∠ABP＝30°，由直角三角形的性质和勾股定理可求解；
（3）由“SAS”可证△ABM≌△EBP，可得AM＝EP，则当PE取最大值时，AM有最大值，即可求解．
【解答】（1）①解：由旋转的性质得∠PBM＝60°，
故答案为：60°；
②证明：由旋转的性质得PB＝BM，∠PBM＝60°，
∴△PBM是等边三角形；
（2）解：∵A（2，0），PA＝OA，PA⊥x轴，
∴PA＝2，∠PAB＝90°，
∵B（，0），
∴OB＝，
∴AB＝，
∴∠ABP＝30°，
∴PB＝2PA＝4，
∵△PBM是等边三角形，
∴PB＝BM＝4，∠PBM＝60°，
∴∠ABM＝90°，
∴AM＝＝2，
若点P在x轴下方时，同理可求AM＝2，
综上所述：AM的长为2或2．
（3）解：如图，以AB为边在x轴下方作等边三角形ABE，连接PE，
∵点B的坐标为（5，0），点A（2，0），△ABE，△PBM都是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE＝3，PB＝BM，∠ABE＝∠PBM＝60°，
∴∠PBE＝∠ABM，
∴△ABM＝△EBP（SAS），
∴AM＝EP，
∴当PE取最大值时，AM有最大值，
∵OA＝AP，
∴点P在以点A为圆心，AP为半径的圆上运动，
∴当点P，点A，点E共线时，PE有最大值＝2+3＝5，
∴AM的最大值为5．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25．在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（﹣3，0），B（3，0）．已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a为常数，a≠0），与y轴相交于点C，P为顶点．
（1）当抛物线过点A时，求该抛物线的顶点P的坐标；
（2）若点P在x轴上方，当∠POB＝45°时，求a的值；
（3）在（1）的情况下，连接AC，BC，点E，点F分别是线段CO，BC上的动点，且CE＝BF，连接AE，AF，求AE+AF的最小值，并求此时点E和点F的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，即可得出顶点的坐标；
（2）利用配方法或公式法可得抛物线 y＝ax2﹣5ax+4 的顶点P的坐标为（，），过点P作PQ⊥x轴于点Q，由∠POB＝45°，可得PQ＝OQ，建立方程求解即可得出答案；
（3）过点B作 A′B⊥x 轴，且使得 A′B＝AC＝5，连接A′F，AA′，可证得△A′BF≌△ACE（SAS），得出AE＝A′F，进而可得AE+AF＝A'F+AF，当A，A′，F三点共线时，AE+AF 取得最小值，运用勾股定理即可求得AA′＝．利用待定系数法可得：直线BC为 ，直线AA′为 ，联立方程组求解即可得出交点F的坐标，运用两点间距离公式可得CE＝BF＝，得出OE＝，即可得出点E的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣5ax+4 经过点 A（﹣3，0），
∴0＝9a+15a+4，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴该抛物线的顶点P的坐标为（，）；
（2）∵y＝ax2﹣5ax+4＝a（x﹣）2+，
∴抛物线 y＝ax2﹣5ax+4 的顶点P的坐标为（，）．
∵点P在x轴上方，且∠POB＝45°，
∴点P在第一象限．
如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
则∠POQ＝∠OPQ＝45°，
∴PQ＝OQ，即＝，
解得：a＝；
（3）如图，过点B作 A′B⊥x 轴，且使得 A′B＝AC＝5，连接A′F，AA′，
∵A′B⊥x 轴，
∴∠A′BO＝90°＝∠COA，
∴A′B∥OC，
∴∠A′BF＝∠ACE，
在△A′BF和△ACE中，
，
∴△A′BF≌△ACE（SAS），
∴AE＝A′F，
∴AE+AF＝A'F+AF，
当A，A′，F三点共线时，AE+AF 取得最小值，
在Rt△AA′B中，AB＝6，A′B＝5，
∴，
∴AE+AF 的最小值为 ．
此时点F是AA′与BC的交点，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，4）代入，得：
，
解得：，
∴直线BC为 ，
设直线AA′的解析式为y＝k′x+b′，把A（﹣3，0），A′（3，5）代入，得：
，
解得：，
∴直线AA′为 ，
联立，得：，
解得：，
∴直线AA′与直线BC的交点F的坐标为（，），
∴CE＝BF＝＝，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣＝，
∴E（0，），
综上所述，AE+AF 的最小值为 ，此时E（0，），F（，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形性质，两点间距离公式，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握待定系数法、添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
小敏：
两边同除以（x﹣3），得，
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
小敏：
两边同除以（x﹣3），得，
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．