三年江苏中考数学模拟题分类汇总之尺规作图

这是一份三年江苏中考数学模拟题分类汇总之尺规作图，共31页。试卷主要包含了，连接BE、BD等内容，欢迎下载使用。
1．（2021•东海县模拟）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（ ）
A．S△ABC＝BC•AHB．AC平分∠BAD
C．BH垂直平分线段ADD．AB＝AD
2．（2021•邗江区二模）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
3．（2021•苏州二模）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，若AD＝5，CD＝6，则AB的长是（ ）
A．53B．8C．45D．10
4．（2022•丰县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝4，则△AFH的周长为（ ）
A．8B．6C．4D．152
5．（2022•海州区校级二模）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4B．8C．6D．10
6．（2022•东海县二模）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023•仪征市二模）尺规作图：如图（1），在△ABC中，∠C＝45°，AC＞AB，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
8．（2023•苏州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，按以下步骤作图：第一步，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M、N两点；第二步，分别以点M、N为圆心，大于12M、N的长为半径作弧，两弧相交于点P；第三步，作射线AP，交BC于点E．则AE的长为（ ）
A．55B．8C．73D．10
9．（2023•沛县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（ ）
A．35B．45C．10−35D．10−45
二．填空题（共7小题）
10．（2021•滨海县一模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝40°，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD．则∠EBD的度数为 °．
11．（2021•建湖县二模）如图是一长为12cm，宽为5cm的长方形木板，在桌面上作无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚时被桌面上另一小木块挡住，且使木板与桌面成30°角，则A翻滚到A2时，共经过的路径长为 cm．
12．（2022•江都区校级三模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为 ．
13．（2022•宿豫区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若CD＝4，则AC的长为 ．
14．（2022•宿城区二模）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 ．
15．（2022•如皋市二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部交于点F；
③作射线BF，交AC于点G．
如果AB＝6，BC＝9，△ABG的面积为9，则△ABC的面积为 ．
16．（2023•工业园区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则AB的长是 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2021•武进区校级模拟）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在线段BC上找一点D，使它到A、B两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．连接AD，则tan∠CDA＝ ；
（2）如图2，⊙O经过正方形网格中的格点A、B、C、D，请利用（1）得到的结论，仅用网格中的格点及无刻度的直尺分别在图2中画出一个满足下列两个条件的∠P；
①顶点P在⊙O上且不与点A、B、C、D重合；
②∠P在图2中的正弦值为45．
18．（2021•新吴区二模）如图，在6×6的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出AC边上的点E，使得AE＝3CE；
（2）在图2中作出BC边上的点F（不与点B重合），使得BD＝DF；
（3）在图3中作出AB边上的点G，使得tan∠ACG=12．
19．（2021•无锡模拟）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
20．（2022•淮安二模）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图①中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．
（2）在图②中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．
（3）如图③，▱ABCD中，CM⊥BD于点M，若AN⊥BD于点N，请仅用无刻度的直尺在图③中作出符合题意的点N．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
21．（2023•盐都区一模）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮）
（1）如图①，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6m，AC＝8m，若在△ABC的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，EF垂直平分BC，垂足为点F，交AC于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积；
（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝5m，BC＝6m，AD为BC边上的高，在△ABC的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积；
（3）如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形．
22．（2023•海陵区校级模拟）为了加强树木的稳定性，园林部门常常在树的周围打上木撑子（如图1），若木撑在地面上的三个落脚点构成等边三角形，即图中的△ABC，树的根部正好在等边三角形的中心O处．
（1）若OA的长为50cm，求△ABC的边长．
（2）如图2，已知树根部O及木撑的落脚点A确定，试只用圆规确定另两个落脚点B、C．（不写作法，保留作图的痕迹）
江苏三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总---尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2021•东海县模拟）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（ ）
A．S△ABC＝BC•AHB．AC平分∠BAD
C．BH垂直平分线段ADD．AB＝AD
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【解答】解：如图，连接CD，BD．
由作图可知，CA＝CD，BA＝BD，
∴BH垂直平分线段AD，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2021•邗江区二模）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．
【答案】B
【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，得到∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
3．（2021•苏州二模）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，若AD＝5，CD＝6，则AB的长是（ ）
A．53B．8C．45D．10
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】利用基本作图得到DA＝DB＝5，再证明∠ADC＝∠C得到AC＝AD＝5，过A点作AH⊥CD于H，利用等腰三角形的性质得到则DH＝CH＝3，接着利用勾股定理计算出AH，然后利用勾股定理计算出AB的长．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB＝5，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠ADC＝∠B+∠DAB＝2∠B，
∠C＝2∠B，
∴∠ADC＝∠C，
∴AC＝AD＝5，
过A点作AH⊥CD于H，则DH＝CH=12CD＝3，
在Rt△ADH中，AH=52−32=4，
在Rt△ABH中，AB=AH2+BH2=42+82=45．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
4．（2022•丰县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝4，则△AFH的周长为（ ）
A．8B．6C．4D．152
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH，可得AF＝BF＝AH，由∠ACB＝90°，可得CF＝CH，则△AFH的周长为AF+AH+FH＝2BF+2FC＝2（BF+FC）＝2BC＝8．
【解答】解：由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH，
则AF＝BF，
∴AF＝BF＝AH，
∵∠ACB＝90°，
∴CF＝CH，
∴△AFH的周长为AF+AH+FH＝2BF+2FC＝2（BF+FC）＝2BC＝8．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
5．（2022•海州区校级二模）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4B．8C．6D．10
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】先求AB＝BE＝5，利用勾股定理求AH＝EH＝4，得AE＝8．
【解答】解：∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAG，
∴∠BAG＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
由作图可知：AB＝AF，
∠BAE＝∠FAE，
∵AH＝AH
∴△BAH≌△FAH（SAS），
∴BH＝FH＝3，
∴BF⊥AE，
由勾股定理得：AH=52−32=4，
∵AB＝BE，BH⊥AE，
∴AH＝EH＝4，
∴AE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的作法和定义、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握平行加角平分线可得等腰三角形，属于常考题型．
6．（2022•东海县二模）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．
B、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，本选项不符合题意．
C、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．
D、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
7．（2023•仪征市二模）尺规作图：如图（1），在△ABC中，∠C＝45°，AC＞AB，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】B
【分析】①根据作图得不出BP⊥AC；
②根据作图得出∠PBC＝∠C＝45°，即可得出结论；
③根据作图得出PB＝PC，进而得出∠PBC＝∠C＝45°，即可得出结论；
④根据作图得出AB的中点，再以AB为直径作圆，进而得出∠BPC＝90°，即可得出结论．
【解答】解：①由作图不能得出BP⊥AC，故①作法不正确；
②由作图得：∠PBC＝∠C＝45°，故②作法正确；
③由作图知P在BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∴∠PBC＝∠C＝45°，
故③作法正确；
④由作图得：P在以AB为直径的圆上，
∴∠APB＝∠C+∠PBC＝90°，
∴∠PBC＝45°，
故④作法正确；
故选：B．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握几种基本作图是解题的关键．
8．（2023•苏州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，按以下步骤作图：第一步，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M、N两点；第二步，分别以点M、N为圆心，大于12M、N的长为半径作弧，两弧相交于点P；第三步，作射线AP，交BC于点E．则AE的长为（ ）
A．55B．8C．73D．10
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；尺规作图；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由等腰三角形的“三线合一”定理得到BE＝3，AE⊥BC，根据勾股定理即可求出AE．
【解答】解：由作法得AE是∠BAC的平分线，
∵AB＝AC＝8，
∴BE＝CE=12BC=12×6＝3，AE⊥BC，
在Rt△ABE中，
AE=AB2−BE2=82−32=55．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的“三线合一”定理，勾股定理，熟练掌握作已知角的角平分线的方法是解决问题的关键．
9．（2023•沛县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（ ）
A．35B．45C．10−35D．10−45
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】先利用勾股定理计算出BD＝10，再利用基本作图得BF平分∠CBD，BE＝BD＝10，则根据角平分线的性质得到F点到BC和BD的距离相等，接着利用面积法得到CF：DF＝3：5，所以CF＝3，DF＝5，然后利用勾股定理计算出BF，从而得到EF的长．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，
∴CD＝AB＝8，BD=62+82=10，
由作法得BF平分∠CBD，BE＝BD＝10，
∴F点到BC和BD的距离相等，
∴S△BCF：S△BDF＝BC：BD＝6：10＝3：5，
∴S△BCF：S△BDF＝CF：DF＝3：5，
∴CF＝3，DF＝5，
在Rt△BCF中，BF=32+62=35，
∴EF＝BE﹣BF＝10﹣35．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．
二．填空题（共7小题）
10．（2021•滨海县一模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝40°，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD．则∠EBD的度数为 30 °．
【考点】作图—基本作图；相交线；线段垂直平分线的性质；菱形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】30．
【分析】利用基本作图得到E点在AB的垂直平分线上，则EA＝EB，所以∠EBA＝∠A＝40°，再根据菱形的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ADB＝70°，然后计算∠ABD﹣∠ABE即可．
【解答】解：由作法得E点在AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠ABD＝∠ADB=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°．
故答案为30．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
11．（2021•建湖县二模）如图是一长为12cm，宽为5cm的长方形木板，在桌面上作无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚时被桌面上另一小木块挡住，且使木板与桌面成30°角，则A翻滚到A2时，共经过的路径长为 49π6 cm．
【考点】作图—应用与设计作图；轨迹；矩形的性质．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
【答案】49π6．
【分析】将点A翻滚到A2位置分成两部分：第一部分是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，第二部分是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可．
【解答】解：第一次是以B为旋转中心，BA长13cm为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是 14×2π×13=13π2（cm），
第二次是以C为旋转中心，5cm为半径旋转60°，
此次走过的路径是60π⋅5180=5π3（cm）
∴点A两次共走过的路径是13π2+5π3=49π6（cm）
故答案为：49π6．
【点评】本题主要考查了弧长公式l=nπr180，注意两段弧长的半径不同，圆心角不同．
12．（2022•江都区校级三模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为 110° ．
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】110°．
【分析】由作图可知，DE是线段AC的垂直平分线，BF是∠ABC的角平分线，求出∠FBC，∠BCF，再利用三角内角和定理即可求解．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACD＝30°∵BF是∠ABC的角平分线，∠ABC＝100°，
∴∠FBC=∠FBD=12∠ABC=50°，
∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A，
∴∠ACB＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∵∠BCF＝∠ACB﹣∠DCA＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF＝180°﹣50°﹣20°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角内角和等知识，熟悉掌握有关知识是解题关键．
13．（2022•宿豫区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若CD＝4，则AC的长为 12 ．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】12．
【分析】过D点作DH⊥AB于H点，如图，利用基本作图得到AD平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到DH＝DC＝4，再利用勾股定理计算出BH＝3，然后证明△BHD∽△BCA，从而利用相似比可计算出AC的长．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H点，如图，
由题中作法得AD平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
∵BC＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝5，
在Rt△BDH中，BH=52−42=3，
∵∠DBH＝∠ABC，∠BHD＝∠BCA，
∴△BHD∽△BCA，
∴DHAC=BHBC，即4AC=39，
∴AC＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质相似三角形的判定与性质．
14．（2022•宿城区二模）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 35° ．
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．
【专题】尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】35°．
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD＝30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣30°＝70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=12∠CAD=12×70°＝35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
15．（2022•如皋市二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部交于点F；
③作射线BF，交AC于点G．
如果AB＝6，BC＝9，△ABG的面积为9，则△ABC的面积为 452 ．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】452．
【分析】如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥CB于点N．首先证明GM＝GN，利用三角形面积公式求出GM，再求出△BCG的面积，可得结论．
【解答】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥CB于点N．
由作图可知BG平分∠ABC，
∵GM⊥AB，GN⊥CB，
∴GM＝GN，
∵S△ABG=12×6×GM＝9，
∴GM＝GN＝3，
∴S△CBG=12•BC•GN=12×9×3=272，
∴S△ABC＝S△ABG+S△BCG＝9+272=452，
故答案为：452．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，属于中考常考题型．
16．（2023•工业园区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则AB的长是 63 ．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】63．
【分析】先利用基本作图得到AD平分∠BAC，则∠CAD＝30°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系计算出AC＝33，从而得到AB的长．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，
∴∠CAD=12∠BAC＝30°，
∴AC=3CD＝33，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝63．
故答案为：63．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和含30度角的直角三角形三边的关系．
三．解答题（共6小题）
17．（2021•武进区校级模拟）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在线段BC上找一点D，使它到A、B两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．连接AD，则tan∠CDA＝ 43 ；
（2）如图2，⊙O经过正方形网格中的格点A、B、C、D，请利用（1）得到的结论，仅用网格中的格点及无刻度的直尺分别在图2中画出一个满足下列两个条件的∠P；
①顶点P在⊙O上且不与点A、B、C、D重合；
②∠P在图2中的正弦值为45．
【考点】作图—应用与设计作图；解直角三角形；线段垂直平分线的性质；圆周角定理．
【专题】作图题；几何直观；应用意识．
【答案】（1）作图见解析部分，43．
（2）作图见解析部分．
【分析】（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，点D即为所求
（2）如图2中，连接DE，BF交于点J．BE交⊙O于点T，连接BT，可知sin∠BJT=45，连接DM交⊙O于点Q，则∠MDT＝∠BJT，在弧CD上任意取一点P，连接PT，PQ，∠TPQ即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求．设AD＝DB＝x，
在Rt△ACD中，则有x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴AD＝BD＝5，CD＝CB﹣BD＝3，
∴tan∠CDA=ACCD=43．
故答案为：43．
（2）如图2中，∠QPT即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（2021•新吴区二模）如图，在6×6的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出AC边上的点E，使得AE＝3CE；
（2）在图2中作出BC边上的点F（不与点B重合），使得BD＝DF；
（3）在图3中作出AB边上的点G，使得tan∠ACG=12．
【考点】作图—应用与设计作图；解直角三角形．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．
【分析】（1）如图1中，取格点M，N，连接MN交AC于点E，点E即为所求．
（2）如图2中，取格点T，连接AT交BC于点F，连接DF，点F即为所求．
（3）如图3中，取格点R，连接AR，得到AR的中点J，连接CJ交AB于点G，点G即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点E即为所求．
（2）如图2中，点F即为所求．
（3）如图3中，点G即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19．（2021•无锡模拟）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；尺规作图．
【答案】见试题解答内容
【分析】作∠AOB的角平分线，作MN的垂直平分线，以角平分线与垂直平分线的交点为圆心，以圆心到M点（或N点）的距离为半径作圆．
【解答】解：如图所示．
圆P即为所作的圆．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质与角平分线的作法，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质和线段垂直平分线的作法，熟练掌握各性质与基本作图是解题的关键．
20．（2022•淮安二模）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图①中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．
（2）在图②中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．
（3）如图③，▱ABCD中，CM⊥BD于点M，若AN⊥BD于点N，请仅用无刻度的直尺在图③中作出符合题意的点N．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．
【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可；
（2）根据AC＝3，BC＝4，AB＝5，可知AC+BC＝12，在AC上取一点F，使得AF＝1，作直线BF即可；
（3）连接AC交BD于点O，延长CM交AD于点J，连接JO，延长JO交CB于点K，连接AK交BD于点N，点N即为所求．
【解答】解：（1）如图①中，四边形ABDE即为所求（答案不唯一）；
（2）如图②中，直线l即为所求（答案不唯一）；
（3）如图③中，点N即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（2023•盐都区一模）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮）
（1）如图①，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6m，AC＝8m，若在△ABC的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，EF垂直平分BC，垂足为点F，交AC于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积；
（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝5m，BC＝6m，AD为BC边上的高，在△ABC的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积；
（3）如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形．
【考点】作图—应用与设计作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理的应用．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）758m2；
（2）11732m2．
（3）见解答．
【分析】（1）先求出AB、EF的值，即可求出三角形EFC的面积；
（2）先找出感应灯B亮的区域，然后求出面积；
（3）分别以AB、BD、CD、AC为直径画圆，围成区域即为所求．
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝6m，AC＝8m，
∴BC＝10m，
∵EF垂直平分BC，
∴∠EFC＝90°，FC=12BC＝5m，
∴tanC=ABAC=EFFC，即：68=EF5，解得：EF=154，
∴△EFC的面积为：12×154×5=758m2，
∴该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为758m2；
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5m，BC＝6m，AD为BC边上的高，
∴AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝3m，即AD垂直平分BC，
∴AD上任意一点到点B与点C的距离都相等，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=AB2−BD2=52−32=4（m），
∴tan∠BAD=BDAD=34，
∴BD＝3，
∴S△ABD=12BD⋅AD=12×3×4=6m2，
作AB的垂直平分线EF，交AD于点E，如图：
则EF上任一点到点A与点B的距离都相等，AF＝BF=52m，
∴由题意可知：在该三角形内能使感应灯B亮的区域是四边形BDEF，
在Rt△AEF中，EF＝AF•tan∠BAD=52×34=158m，
∴S△AEF=12AF•EF=12×52×158=7532m2，
∴S四边形BDEF＝S△ABD﹣S△AEF＝6−7532=11732m2，
∴在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为11732m2．
（3）如图：所画区域（实线区域内）即为所求．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．
22．（2023•海陵区校级模拟）为了加强树木的稳定性，园林部门常常在树的周围打上木撑子（如图1），若木撑在地面上的三个落脚点构成等边三角形，即图中的△ABC，树的根部正好在等边三角形的中心O处．
（1）若OA的长为50cm，求△ABC的边长．
（2）如图2，已知树根部O及木撑的落脚点A确定，试只用圆规确定另两个落脚点B、C．（不写作法，保留作图的痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图；三角形的稳定性；等边三角形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）503cm；
（2）作图见解析部分．
【分析】（1）如图2中，连接OA，OB，过点O作OEAB于点E．解直角三角形求出AE，可得结论；
（2）构造等边三角形AOE，等边三角形CEO，等边三角形AOF，等边三角形OFB，点C，点B即为所求．
【解答】解：（1）如图2中，连接OA，OB，过点O作OEAB于点E．
∵O是等边三角形的中心，
∴OA＝OB，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝OA•cs30°＝50×32=253（cm），
∴AB＝2AE＝503（cm）；
（2）如图，点B，点C即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。