三年江苏中考数学模拟题分类汇总之因式分解

这是一份三年江苏中考数学模拟题分类汇总之因式分解，共14页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。
1．（2021•宜兴市模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．﹣x2+4y2C．x2﹣2y+1D．﹣x2﹣4y2
2．（2021•宜兴市校级二模）若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k的值可以是（ ）
A．20B．﹣20C．±10D．±20
3．（2021•苏州模拟）若a+b＝3，a﹣b＝7，则b2﹣a2的值为（ ）
A．﹣21B．21C．﹣10D．10
4．（2022•江都区校级模拟）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则12x3y+x2y2+12xy3=（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
5．（2022•江都区二模）已知实数a，b同时满足2a2+b2﹣19＝0，2a2﹣4b﹣7＝0，则b的值是（ ）
A．2或﹣6B．2C．﹣2或6D．﹣6
6．（2022•宜兴市二模）把x2﹣6x+9分解因式，正确的结果是（ ）
A．x（x﹣6）+9B．（x﹣3）2C．（x+3）（x﹣3）D．3（x﹣1）2
7．（2023•惠山区校级模拟）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x（2x+1）＝2x2+xB．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2
8．（2023•梁溪区模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1
B．x2﹣3xy+2y2＝（x﹣2y）（x﹣y）
C．x4﹣4x2＝（x2+2x）（x2﹣2x）
D．x3+4x+4＝x（x+2）2
9．（2021•阜宁县二模）分解因式4x2﹣y2的结果是（ ）
A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）
二．填空题（共9小题）
10．（2021•姑苏区一模）因式分解：a3﹣a＝ ．
11．（2021•靖江市模拟）分解因式：m2﹣4m＝ ．
12．（2022•锡山区校级二模）因式分解：ax2﹣4ax+4a＝ ．
13．（2022•涟水县二模）因式分解：x2﹣4x＝ ．
14．（2023•淮安区校级二模）因式分解：4mn﹣8n＝ ．
15．（2023•郓城县一模）分解因式：a3﹣6a2+9a＝ ．
16．（2023•沭阳县三模）因式分解：4m2﹣16＝ ．
17．（2023•梁溪区一模）分解因式：2x2﹣8＝ ．
18．（2023•海陵区校级三模）因式分解：x2﹣4＝ ．
三．解答题（共4小题）
19．（2021•南通模拟）因式分解：3a3﹣12a2b+12ab2．
20．（2022•鼓楼区一模）已知a是一个正整数，且a除以3余1．判断a2+4a+4是否一定能被9整除，并说明理由．
21．（2022•无锡一模）学校准备在校运动会开幕式上进行大型队列展示，通过变换队形，摆出不同造型，营造活动气氛．活动策划部设想：8路纵队（每路人数相同）进场，队列在主席台前一分为二，左右分开，使两边的人数相同；接着，从一边走出48位学生到另一边，这时两边的学生刚好可以各自组成一个正方形队列．问这次队列展示至多需要多少名学生？
22．（2023•盐都区三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积q（q＝mn）与较大数的和一定为某个正数的平方．
举例验证：（1）当m＝3，n＝4，则q+n＝（ ）2；
推理证明：小刚同学做了如下的证明：
设m＜n，
∵m，n是连续的正整数，
∴n＝m+1．
∵q＝mn，
∴q+n＝mn+n＝（ ）2．
∴q+n一定是正数的平方数．
（2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容；
（注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可）
类比探究：
（3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论；
深入思考：
（4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若p=(q+n)+(q−m)（m，n为两个连续正整数，m＜n，q＝mn），则p一定是 ．（填：奇数、偶数）
江苏三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总---因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2021•宜兴市模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．﹣x2+4y2C．x2﹣2y+1D．﹣x2﹣4y2
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；符号意识．
【答案】B
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【解答】解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式；
D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
2．（2021•宜兴市校级二模）若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k的值可以是（ ）
A．20B．﹣20C．±10D．±20
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】直接利用完全平方公式分解因式求出答案．
【解答】解：4x2+kx+25＝（2x+a）2，
当a＝5时，k＝20，
当a＝﹣5时，k＝﹣20，
∴k的值可以是：20或﹣20．
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方公式分解因式，正确应用公式是解题关键．
3．（2021•苏州模拟）若a+b＝3，a﹣b＝7，则b2﹣a2的值为（ ）
A．﹣21B．21C．﹣10D．10
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】A
【分析】利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝7，
∴b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a）＝﹣7×3＝﹣21．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法因式分解，熟练应用平方差公式是解题关键．
4．（2022•江都区校级模拟）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则12x3y+x2y2+12xy3=（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，
∴12x3y+x2y2+12xy3
=12xy（x2+2xy+y2）
=12xy（x+y）2
=12×(−1)×22
＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键．
5．（2022•江都区二模）已知实数a，b同时满足2a2+b2﹣19＝0，2a2﹣4b﹣7＝0，则b的值是（ ）
A．2或﹣6B．2C．﹣2或6D．﹣6
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据2a2+b2﹣19＝0，可得：2a2＝﹣b2+19，再把它代入2a2﹣4b﹣7＝0，因式分解，求出b的值即可．
【解答】解：∵2a2+b2﹣19＝0，
∴2a2＝﹣b2+19，
∵2a2﹣4b﹣7＝0，
∴﹣b2+19﹣4b﹣7＝0，
∴b2+4b﹣12＝0，
∴（b+6）（b﹣2）＝0，
∴b＝﹣6或b＝2，
∵﹣b2+19≥0，4b+7≥0，
∴−74≤b≤19，
∵﹣6＜−74，
∴b＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是判断出b的取值范围．
6．（2022•宜兴市二模）把x2﹣6x+9分解因式，正确的结果是（ ）
A．x（x﹣6）+9B．（x﹣3）2C．（x+3）（x﹣3）D．3（x﹣1）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】应用公式法进行分解因式即可得出答案．
【解答】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法进行求解是解决本题的关键．
7．（2023•惠山区校级模拟）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x（2x+1）＝2x2+xB．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义解答即可．
【解答】解：A．x（2x+1）＝2x2+x不是将多项式化成整式乘积的形式，故A选项不符合题意；
B．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a）是将多项式化成整式乘积的形式，故B选项符合题意；
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1不是将多项式化成整式乘积的形式，故C选项不符合题意；
D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2不是将多项式化成整式乘积的形式，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．
8．（2023•梁溪区模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1
B．x2﹣3xy+2y2＝（x﹣2y）（x﹣y）
C．x4﹣4x2＝（x2+2x）（x2﹣2x）
D．x3+4x+4＝x（x+2）2
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】B
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（x﹣1）（x﹣3），不符合题意；
B、原式＝（x﹣y）（x﹣2y），符合题意；
C、原式＝x2（x2﹣4）＝x2（x+2）（x﹣2），不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（2021•阜宁县二模）分解因式4x2﹣y2的结果是（ ）
A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式．
【答案】C
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
二．填空题（共9小题）
10．（2021•姑苏区一模）因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（2021•靖江市模拟）分解因式：m2﹣4m＝ m（m﹣4） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】提取公因式m，即可求得答案．
【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）．
故答案为：m（m﹣4）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式．题目比较简单，解题需细心．
12．（2022•锡山区校级二模）因式分解：ax2﹣4ax+4a＝ a（x﹣2）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；整式；运算能力．
【答案】a（x﹣2）2．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．（2022•涟水县二模）因式分解：x2﹣4x＝ x（x﹣4） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14．（2023•淮安区校级二模）因式分解：4mn﹣8n＝ 4n（m﹣2） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】4n（m﹣2）．
【分析】提取公因式4n即可．
【解答】解：4mn﹣8n＝4n（m﹣2）．
故答案为：4n（m﹣2）．
【点评】本题考查了分解因式，能找出多项式的公因式4n是解此题的关键．
15．（2023•郓城县一模）分解因式：a3﹣6a2+9a＝ a（a﹣3）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：a3﹣6a2+9a＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，
故答案为a（a﹣3）2
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
16．（2023•沭阳县三模）因式分解：4m2﹣16＝ 4（m+2）（m﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：4m2﹣16，
＝4（m2﹣4），
＝4（m+2）（m﹣2）．
故答案为：4（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17．（2023•梁溪区一模）分解因式：2x2﹣8＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2（x+2）（x﹣2）．
【分析】先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）；
故答案为：2（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题的关键．
18．（2023•海陵区校级三模）因式分解：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
三．解答题（共4小题）
19．（2021•南通模拟）因式分解：3a3﹣12a2b+12ab2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝3a（a2﹣4ab+4b2）＝3a（a﹣2b）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
20．（2022•鼓楼区一模）已知a是一个正整数，且a除以3余1．判断a2+4a+4是否一定能被9整除，并说明理由．
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】a2+4a+4一定能被9整除．理由见解答．
【分析】设a除以3余1的商为b，则a＝3b+1，根据因式分解化简即可得出答案．
【解答】解：一定能被9整除．理由如下：
设a除以3余1的商为b，则a＝3b+1，
a2+4a+4
＝（a+2）2
＝（3b+3）2
＝[3（b+1）]2
＝9（b+1）2，
∴a2+4a+4一定能被9整除．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
21．（2022•无锡一模）学校准备在校运动会开幕式上进行大型队列展示，通过变换队形，摆出不同造型，营造活动气氛．活动策划部设想：8路纵队（每路人数相同）进场，队列在主席台前一分为二，左右分开，使两边的人数相同；接着，从一边走出48位学生到另一边，这时两边的学生刚好可以各自组成一个正方形队列．问这次队列展示至多需要多少名学生？
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；应用意识．
【答案】296名．
【分析】设各自组成正方形队列的边长分别为x人和y人（x、y为正整数，且x＞y），根据题意列出方程，写出x+y和x﹣y可能的值，然后分情况计算出x2+y2做出判断即可．
【解答】解：设各自组成正方形队列的边长分别为x人和y人（x、y为正整数，且x＞y），
∴x2﹣y2＝96，（x+y）（x﹣y）＝96，
∴x+y和x﹣y的值可能为96和1，48和2，32和3，24和4，16和6，12和8，
∵x+y和x﹣y的奇偶性相同，
∴x+y和x﹣y的值为24和4，48和2，16和6，12和8，
①x+y=24x−y=4，
解得x=14y=10，
∴x2+y2＝296；
②x+y=48x−y=2，
解得x=25y=23，
∴x2+y2＝1154；
③x+y=16x−y=6，
解得x=11y=5，
∴x2+y2＝146；
④x+y=12x−y=8，
解得x=10y=2，
∴x2+y2＝104；
∵1154和146不能被8整除，舍去，且296＞104，
答：这次队列展示至多需要296名学生．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的知识及分类讨论的思想是解题的关键．
22．（2023•盐都区三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积q（q＝mn）与较大数的和一定为某个正数的平方．
举例验证：（1）当m＝3，n＝4，则q+n＝（ 4 ）2；
推理证明：小刚同学做了如下的证明：
设m＜n，
∵m，n是连续的正整数，
∴n＝m+1．
∵q＝mn，
∴q+n＝mn+n＝（ n ）2．
∴q+n一定是正数的平方数．
（2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容；
（注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可）
类比探究：
（3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论；
深入思考：
（4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若p=(q+n)+(q−m)（m，n为两个连续正整数，m＜n，q＝mn），则p一定是 奇数 ．（填：奇数、偶数）
【考点】因式分解的应用；实数大小比较．
【专题】二次根式；创新意识．
【答案】（1）4；
（2）n；
（3）见解析；
（4）奇数．
【分析】（1）根据猜想计算即可；
（2）把m＝n﹣1代入即可；
（3）设m＜n，由m，n是连续的正整数，可得n＝m+1．在计算q﹣m即可；
（4）首先根据题意推出n＝m+1，即可求出q关于m的表达式，然后把q＝m2+m，n＝m+1，代入到p的表达式，通过m为自然数及根式的性质对根式进一步化简，即可推出p＝2m+1，由此可知p总是奇数．
【解答】（1）解：q+n＝mn+n＝3×4+4＝16＝42，
故答案为：4，
（2）证明：设m＜n，
∵m，n是连续的正整数，
∴n＝m+1，
∵q＝mn，
∴q+n＝mn+n＝n（n﹣1）+n＝n（n﹣1+1）＝n2，
∴q+n一定是正数的平方数．
故答案为：n，
（3）证明：设m＜n，
∵m，n是连续的正整数，
∴n＝m+1，
∵q＝mn，
∴q﹣m＝mn﹣m＝m（m+1）﹣m＝m（m+1﹣1）＝m2，
∴任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方．
（4）解：∵m，n是两个连续自然数，且m＜n，
∴n＝m+1，q＝mn＝m（m+1）＝m2+m，
∴p=q+n+q−m，
=m2+m+m+1+m2+m−m，
=(m+1)2+m2，
∵m是自然数，
∴m≥0，m+1＞0，
∴P=(m+1)2+m2=m+1+m＝2m+1，
∴p总是奇数．
故答案为：奇数．
【点评】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的化简，奇数的性质等知识点，关键在于通过题意推出n和q关于m的表达式。