2023_2024学年新教材高中数学第八章立体几何初步午练17平面与平面垂直新人教A版必修第二册

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午练17　平面与平面垂直1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则(　　)　　　　　　　　　　　　　A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC2.(多选题)已知直线l,m,平面α,β,l⊂α,m⊂β,则下列说法中正确的是(　　)A.若l∥m,则必有α∥βB.若l⊥m,则必有α⊥βC.若l⊥β,则必有α⊥βD.若α∥β,则必有l∥β3.(多选题)(2023宾阳月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中正确的是(　　)A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PAD4.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,E是PD中点,下列叙述错误的是(　　)A.CE∥平面PABB.CE⊥平面PADC.平面PBC⊥平面PABD.平面PBD⊥平面PAC5.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有　　　　　对. 6.正四面体的侧面与底面所成的二面角的平面角的余弦值是.　7.如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,△PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD的中点.求证:(1)BG⊥平面PAD;(2)AD⊥PB.8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C为菱形,∠A1AC=60°,且AB⊥AA1,BC1⊥A1C.(1)证明:平面ABC⊥平面A1ACC1;(2)若AB=AC,求二面角A1-BC-A的余弦值.午练17　平面与平面垂直1.B　∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,∴PD⊥平面ABC.2.CD　对于A,平面α,β可能相交,所以选项A错误;对于B,平面α,β可能平行或斜交,所以选项B错误;对于C,因为l⊂α且l⊥β,则必有α⊥β,所以C正确;对于D,因为α∥β,则必有l∥β,所以D正确.故选CD.3.ABD　因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.又底面ABCD为矩形,∴AD⊥AB,CD⊥AD.而AB∩PA=A,AD∩PA=A,∴AD⊥平面PAB,CD⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD.又BC∥AD,∴BC⊥平面PAB,∴平面PBC⊥平面PAB.选项A,B,D正确.选项C错误,故选ABD.4.ABC　对于A,∵四边形ABCD是菱形,则CD∥AB.∵CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CD∥平面PAB.若CE∥平面PAB,∵CE∩CD=C,则平面PCD∥平面PAB,事实上,平面PCD与平面PAB相交,假设不成立,故A错误;对于B,过点C在平面ABCD内作CF⊥AD,垂足为点F.∵PA⊥平面ABCD,CF⊂平面ABCD,∴CF⊥PA.∵CF⊥AD,PA∩AD=A,∴CF⊥平面PAD.∵过C作平面PAD的垂线有且只有一条,∴CE与平面PAD不垂直,故B错误;对于C,如图,过点C在平面ABCD内作CM⊥AB,垂足为点M,∵PA⊥平面ABCD,CM⊂平面ABCD,则CM⊥PA,∵CM⊥AB,PA∩AB=A,则CM⊥平面PAB.若平面PBC⊥平面PAB,过点C在平面PBC内作CN⊥PB,垂足为点N.∵平面PBC⊥平面PAB,平面PAB∩平面PAB=PB,CN⊂平面PBC,∴CN⊥平面PAB.∵过点C作平面PAB的垂线有且只有一条,∴CM,CN重合,∴平面ABCD∩平面PBC=BC,∴CM,CN,CB重合,BC⊥AB.∵四边形ABCD是菱形,BC与AB不一定垂直,故C错误;对于D,∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA,∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∵BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC,故D正确.5.3　∵AB⊥平面BCD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD,∴DC⊥平面ABC.∴平面ADC⊥平面ABC.∴共有3对互相垂直的平面.6.　如图所示,设正四面体ABCD的棱长为1,过点A作AO⊥底面BCD,垂足为O,连接DO并延长交BC于点E,连接AE,则E为BC的中点,故AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角.在Rt△AEO中,AE=,EO=ED=,∴cos∠AEO=.7.证明 (1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,∴PG⊥平面ABCD.又BG⊂平面ABCD,∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.又AD∩PG=G,AD,PG⊂平面PAD,∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG⊂平面PBG,∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG,∴AD⊥PB.8.证明 (1)连接AC1,如图,四边形AA1C1C是菱形,所以AC1⊥CA1.又BC1⊥CA1,BC1∩AC1=C1,所以CA1⊥平面ABC1,故CA1⊥AB.又AA1⊥AB,CA1∩AA1=A1,所以AB⊥平面AA1C1C.又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面A1ACC1.(2)在平面AA1C1C内过A1引直线A1O垂直于AC,O为垂足,在平面ABC内过O引直线OH垂直于BC,H为垂足,连接A1H.因为平面ABC⊥平面A1ACC1,平面ABC∩平面A1ACC1=AC,所以A1O⊥平面ABC,所以A1O⊥OH,A1O⊥BC.又OH⊥BC,A1O∩OH=O,所以BC⊥平面A1OH,故∠A1HO为二面角A1-BC-A的平面角.设AB=AC=2,由∠A1AC=60°可知O为AC的中点,所以A1O=.又AB=AC=2,AB⊥平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,所以AB⊥AC,所以OH=.所以A1H=.所以cos∠A1HO=,所以二面角A1-BC-A的余弦值为.