北师大版八年级下册1 等腰三角形教学课件ppt

这是一份北师大版八年级下册1 等腰三角形教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了等腰三角形，求证∠B∠C，你也来尝试一下吧，①∠BAD∠CAD，②AD⊥BC，角平分线，“三线合一”，BAD，CAD，角平分线的折法等内容，欢迎下载使用。
1.掌握等腰三角形的性质和判定方法.2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理.3.能利用等腰三角形的性质和判定定理，解决实际问题.4.要求学生在学习中运用发现法，体验几何发现的乐趣，在实际操作中感受几何应用美.
准备好了吗？一起去探索吧！
在“平行线的证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.
1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.同位角相等，两直线平行.5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8.三边分别相等的两个三角形全等.
你还记得有哪8条基本事实吗？
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗?
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.
证明：在△ABC和△DEF中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°，∴∠C=180°–∠A–∠B，∠F=180°–∠D–∠E.又有∠A=∠D，∠B=∠E，∴∠C=∠F.又有BC=EF， ∴△ABC≌△DEF.
全等三角形的对应边相等、对应角相等
等腰三角形的两底角相等.(简述为：等边对等角)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合(简称“三线合一”)
请你选择一条性质进行证明.
已知：如下图，在△ABC中，AB=AC.
我们曾经利用折叠的方法说明了等腰三角形的两个底角相等.
折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.因此通过做底边上的中线，就可以得到两个三角形全等，从而证明这两个底角相等.
证明：取底边BC的中点，连接AD
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C.（全等三角形的对应角相等）
方法一：利用全等三角形证明
辅助线还可以是顶角的角平分线或者底边上的高线.
定理：等腰三角形的两个底角相等.
方法二：“不添加辅助线”
你还有其他的证明方法吗？与同伴进行交流.
把一个等腰三角形看成两个三角形.任意一个三角形都能和它本身重合，即一定有AB=AC，∠A=∠A，AC=AB.
证明：在△ABC和△ACB中，
∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，∴△ABC≌△ACB（SAS）.∴∠B=∠C.
在图中，由△ABD≌△ACD，还可以得到什么结论？
线段AD除了是底边上的 ，还是顶角的 ，底边上的 .
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.
(已知高线证明）如下图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC.求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD.
证明：在△ABD和△ACD中，
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC ， ∵AB=AC ， AD=AD ，
∴Rt△ABC≌Rt△ACB（HL）.∴BD=CD，∠BAD=∠CAD.
例1：在△ABC中，AD=AE，BD=CE，求证：AB=AC.
∵AD=AE∴∠ADE=∠AED（等边对等角）∵∠ADE+∠ADB=∠AED+∠AEC=180°∴∠ADB=∠AEC∵AD=AE，BD=CE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴AB=AC
证明：利用全等三角形证明
思路：已知两条边，需要添加 ,利用 证明全等.
∵AB=AC∴∠B=∠C∵AB=BD∴∠2=∠3∵∠2=∠1+∠C∴∠2=∠1+∠B
∵∠2+∠3+∠B=180°∴∠B=180° – 2∠2∴∠2=∠1+180° – 2∠2∴3∠2=∠1+180°∵∠1=30°∴∠2=70°
（三角形一个外角等于不相等的两个内角和）
在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数.
思路：通过角度计算找出等腰三角形.
1.利用作等腰三角形顶角的平分线的方法，证明等腰三角形的两个底角相等.
提示：利用“SAS”证明
如图，在△ABC中，AB=AC，证明∠B=∠C.
证明：过A作∠BAC的角平分线交BC于D.
∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∵AB=AC，AD=AD∴△ABC≌△ACB（SAS）∴∠B=∠C
2.根据等腰三角形性质定理填空：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.（1）∵AD⊥BC， ∴∠ =∠ ， = ；
（2）∵AD是底边上的中线， ∴ ⊥ ，∠ =∠ ；
（3）AD是顶角的平分线 ∴ ⊥ ， = .
3.如图，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2. 求证：AD⊥BC.
∵EB=EC，∴∠EBD=∠ECD又∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠ACD，即AB=AC∵EB=EC，∠1=∠2，AB=AC∴△ABE≌△ACE（SAS)∴∠3=∠4∴AD⊥BC（等腰三角形“三线合一”）
注意：不可以用“SSA”证明
教科书第4页习题1.1第1、2、3题
1.1 等腰三角形第2课时
1.能够正确的运用等腰三角形的性质及判定定理证明一些相等关系.2.掌握等腰三角形中常用的辅助线，并且运用到证明中.3.掌握等边三角形的性质，并熟悉其证明过程.4.要求学生在学习中运用发现法，体验几何发现的乐趣，在实际操作中感受几何应用美.
试一试：自己动手用纸制作一个等腰三角形.
你能利用折叠的方法找出它两个底角的平分线、两条腰上的中线和高线吗？
这里我们可以看到底边和腰所在的直线重合，左边同理
步骤一：过点B折叠腰，令A和C重合找到中点D
步骤二：再沿着BD折叠
步骤一：折叠腰，使点A的对应点落在AC边上.
步骤二：再沿着BD折叠
①等腰三角形的两底角的平分线、两条腰上的中线、两条腰上的高线有什么关系？
证明线段相等可以考虑两个线段所在三角形全等，即: ;三角形里的已知条件： , ; 补充条件： ; 判定依据： .
证明：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE 是△ABC 的角平分线.求证：BD=CE.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE 是△ABC 的角平分线.求证：BD=CE.
还可以找其他的全等三角形吗？
∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB， ∴∠1=∠2 在△BDC 和△CEB 中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2.∴△BDC≌△CEB (ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
等腰三角形两底角的平分线相等.
猜想：等腰三角形两条腰上的中线相等；等腰三角形两条腰上的高线相等.
动动脑，想一想：等腰三角形两条腰上的中线相等吗?高呢?
分析：①想证明CD=BE,可以证明：②两个三角形里的已知条件： ③需要补充的条件：
证明：等腰三角形两条腰上的中线相等
在△ABC中，AB=AC，BE和CD分别是AC、AB上的中线.证明：CD=BE.
△BCE ≌△CBD
∵BE和CD分别是AC、AB上的中线∴CE= AC ，BD= AB∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，CE=BD，在△BCE和△CBD中∵CE=BD，∠ABC=∠ACB，BC=BC∴△BCE≌△CBD（SAS）∴CD=BE
等腰三角形两条腰上的中线相等.
提示：还可以证明△ABD≌△ACE，依据为：（SAS）
在△ABC中，AB=AC，BE和CD分别是AC、AB上的高线.证明：CD=BE.
分析：想证明CD=BE可以证明： 两个三角形里的已知条件： 需要补充的条件：
证明：等腰三角形两条腰上的高线相等
∠CDB=∠CEB=90°
∵BE和CD分别是AC、AB上的高线∴∠CDB=∠CEB=90°∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB在△BCE和△CBD中∵∠CDB=∠CEB，∠ABC=∠ACB， BC=BC∴△BCE≌△CBD（AAS）∴CD=BE
等腰三角形两条腰上的高线相等.
等腰三角形的两底角的平分线、两条腰上的中线、两条腰上的高线分别相等.
还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC和AB上.(1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
由∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，易得∠1=∠2.
又∵∠A是公共角，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE(ASA).
同样的方法，也能得到BD=CE.
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC和AB上.(2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗？
由AD= AC，AE= AB，易得AD=AE.
∴△ABD≌△ACE(SAS).
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等腰三角形的内角有什么特征呢？
每个角都等于60°……
已知，如图，在△ABC中，AB=AC=BC.求证：∠A= ∠B= ∠C.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).又∵AC=BC，∴∠A=∠B(等边对等角). ∴∠A=∠B =∠C.在△ABC中，∠A+∠B+∠C =180°，∴∠A=∠B =∠C=60°.
例： 已知：如图.点D、E在ΔABC的边 BC上，AB=AC，AD=AE. 求证：BD=CE.
分析:因为△ABC 和△ADE是有公共顶点，并且底边在同一直线上的等腰三角形，所以作△ABC(或△ADE)的高 AF，可同时平分 BC，DE.
∵AB = AC ∴BF = CF(等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合)同理，∵AD = AE ∴DF = EF ∴BF –DF=CF – EF 即 BD = CE
作 AF⊥BC，垂足为点 F，则 AF⊥DE
证明：∵DB = DC，∴∠DBC = ∠DCB.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB∴∠ABC = 2∠DBC，∠ACB = 2∠DCB∴∠ABC =∠ACB∴AB = AC（等角对等边）
1.已知：如图，D是△ABC内的一点，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，且BD=CD.求证：AB=AC.
提示:先由 DB = DC，证明∠DBC = ∠DCB，再证∠ABC = ∠ACB.
证明：∵AD∥BC ∴∠1=∠B，∠2=∠C ∵∠1=∠2 ∴∠B=∠C ∴AB=AC （等角对等边）
2.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2. 求证：AB=AC.
提示:由∠1=∠B，∠2=∠C，可得∠B=∠C
教科书第7页习题1.2第1、2、3题
1.1 等腰三角形第3课时
1.能够综合应用全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理.2.引导学生学习从反面思考问题的证明方法，了解反证法的含义，并且能够运用反证法证明结论.3.要求学生不仅能够借助直观得出结论，而且要求能够证明结论，体会证明的必要性.4.通过独立思考和完成证明过程，提高学生分析问题和解决问题的能力.
等腰三角形有哪些性质？让我们回顾一下吧!
反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
等腰三角形的两腰相等.
等腰三角形的两个底角相等.
求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：△ABC是等腰三角形.
分析：要想证明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC.
在△ABD与△ACD中，又有∠B=∠C，AD为公共边，
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.
条件：AB=DC AC=BD AD=AD
如图，AB=DC，BD =CA.求证:△AED是等腰三角形.
∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD≌△DCA(SSS) ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等)∴AE=DE(等角对等边).∴△AED 是等腰三角形
小明说:“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.”你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
如图 ，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，此时 AB 与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件∠B≠∠C.“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC.
你能理解他的推理过程吗？
①先假设结论不成立，即AB=AC，则∠B≠∠C；
②利用已知定理“等边对等角”证明∠B=∠C，得到与题干中的条件相矛盾，说明假设不成立；
③假设不成立，从而证明 若∠B≠∠C，则AB≠AC.
定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法
用反证法证明的一般步骤是:
(1)假设命题的结论不成立;
(2)从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
用假设法证明的一般步骤：
①假设命题结论不成立；一个三角形中能有两个直角②从假设出发，并结合已知得出矛盾结果；③由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
例1、用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
假设△ABC中的三个内角有2个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C＞180°.这与“三角形内角和为180°”相矛盾，因此假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
例2、已知直线a∥c，b∥c，求证a∥b.
证明：假设a与b相交，交点为M,
分析：用反证法进行证明，先假设原命题不成立（两直线相交），然后经过推导得出与已知或者定理相矛盾，从而证明原命题成立.
则过M点有两条直线平行于直线C，这与过直线外一点平行于已知直线有且只有一条相矛盾，所以a∥b.
1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作 DE//BC，交AB于点E.请△BDE的形状.并说明理由.
根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠CBD，再根据两直线平行，内错角相等得到∠BDE=∠CBD，从而得到∠ABD=∠BDE，再根据等腰三角形的判定解答.
△BDE是等腰三角形∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD∵BC//ED,∴∠BDE=∠CBD∴∠ABD=∠BDE∴△BDE是等腰三角形.
1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作 DE//BC，交AB于点E.请判断△BDE的形状.并说明理由.
假设△ABC中∠A和∠B是钝角.∵∠A和∠B是钝角∴∠A＞90°，∠B＞90°∴∠A+∠B＞180°∵三角形内角和是180°∴∠A+∠B＋∠C=180°∵∠C＞0°∴∠A+∠B＜180°∵假设与已知条件矛盾∴假设不成立同理若假设∠A、∠B、∠C都是钝角，也与已知条件矛盾，假设不成立∴∠A，∠B，∠C中最多有一个钝角
2、已知：△ABC，求证: ∠A、∠B，∠C 中最多有一个钝角.
反证法反证法是一种独特的证明方法，它的独特之处有两点:一是否定命题的结论，并且可以将这个否定的结论作为证明的条件;二是从这个新条件出发，结合命题原有的条件一起推出矛盾，从而使问题获证，与运用其他方法证明一样，运用反证法证明时，推理的过程必须有理有据反证法在日常生活和数学证明中应用非常广泛。例如，在本册《平行线的有关证明》中曾经用反证法证明了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，在七年级上册读一读“无理数的发现”中曾经用它说明边长为1的正方形的对角线长(即 )不是有理数.
我们再看一个用反证法证明的例子.
3、证明：一个三角形中至多有一个直角.
已知:△ABC.求证:∠A，∠B，∠C中至多有一个直角.
假设∠A，∠B，∠C中有两个或三个直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°这与三角形内角和定理矛盾。故∠A=∠B=90°不成立.所以一个三角形中至多有一个直角.
试一试，你能用反证法证明“两条直线相交只有一个交点”吗?
证明:假设a、b相交时不止一个交点P，不妨设其他交点中有一个为P'则点P和点P'在直线a上又在直线b上，那么经过P和P'的直线就有两条，这与“两点决定一条直线”相矛盾，因此假设不成立，所以两条直线相交只有一个交点.
4、已知直线a、b，求证:直线a、b相交时只有一个交点P.
教科书第9页习题1.3第1、2题
1.1 等腰三角形第4课时
1.能够正确的运用已知性质和判定定理自主探究、思考形成等边三角形的条件.2.掌握等边三角形判定定理，并且运用到证明中.3.利用等边三角形的判定定理推导30°的直角三角形直角边和斜边关系.4.要求学生在学习过程中注意证明思路的过程，培养全面思考问题的能 力，并且有意识地向学生渗透分类思想.
①三条边相等的三角形是等边三角形.（概念）
②三个角都相等的三角形是等边三角形.
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形。
如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求证△ABC是等边三角形.
证明： ∵∠A=∠B ∴AC=BC ∵∠B=∠C ∴AB=AC ∴AB=AC=BC ∴△ABC是等边三角形.
那一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形呢？
你能证明这个结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流.
证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
分析：有一个角是60°，有几种可能？
两种可能:①顶角是60° ②底角是60°
则证明该结论需要讨论上面两种情况.
证明：①顶角是60°的等腰三角形是等边三角形.
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°证明：△ABC为等边三角形.
证明：②底角是60°的等腰三角形是等边三角形.
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°证明：△ABC为等边三角形.
由前面两个证明得到结论：
①顶角是60°的等腰三角形是等边三角形.②底角是60°的等腰三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你还有其他方式证明吗？
证明：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∠A=30° ∴∠B=60° ∵BD=AB ∴△ABD为等边三角形 （有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） ∴BD=AB
∵∠ACB=90°∴AC⊥BD∴BC= BD（等腰三角形三线合一）∴BC= AB
由此前面证明可得出下面的定理：
例：证明：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.求证：CD= AB.
分析：等腰三角形中已知底角 ， 则顶角的邻补角为 .
利用30°所对的直角边等于斜边的一半求解.
在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°，∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角).∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°.∴∴
1.直角三角形的一个角等于30°，斜边长为4，用四个这样的直角三角形拼成如图所示的正方形，求正方形EFGH的边长.
2.证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°
2、要证明 .3、能利用的条件有 和 .
∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°
三角形内角和为180°
1、仔细审题，首先作出简单示意图，由已知可知 .
3.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A= 30°. 立柱BC，DE要多长.
∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m