【全套精品专题】数学苏科版 八年级上册复习专题精讲 第2章 轴对称图形（B卷·能力提升练）-【单元测试】 (含答案)

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班级 姓名 学号 分数 第2章 轴对称（B卷·能力提升练）（时间： 120分钟，满分： 120分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）1.室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（ ）A．3：20 B．3：40 C．4：40 D．8：20【答案】B【解析】根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40呈轴对称，所以此时的实际时间为3：40；故本题选B。2.下列说法中：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合；②线段是轴对称图形；③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称；④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧．正确有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，正确；②线段是轴对称图形，正确；③有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在的直线对称，错误；④关于某条直线对称的两个图形不一定分别位于该直线的两侧，错误；所以正确的个数是2个；故本题选B。3.如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，∠DCF＝70°，AF＝a（a为常数，且a＞0），P为射线CD上的一动点（不包括端点C），将△CPF沿PF翻折得到△EPF，连接AE，则AE最大时，∠DPE的度数为（ ）A．30° B．55° C．70° D．90°【答案】C【解析】∵CD∥AB，∠DCF＝70°，∴∠DCF＝∠CFA＝70°，由折叠性质知，EF＝CF，∵CF的长度为定值，∴当点E在AB上时，点E到点A的距离最大，如图，由折叠知，∠PEF＝∠DCF＝70°，∵CD∥AB，∴∠DPB＝∠PEF＝70°;故本题选C。4.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠DEA＝β，∠CEA'＝γ，∠BDA'＝θ，那么下列式子中不一定成立的是（ ）A．θ＝2α＋γ B．θ＋α＋γ＝180° C．90＋γ2＝β D．a＋β＝90°＋θ2【答案】B【解析】如图，∵∠A＝∠A'＝α，∴θ＝∠A＋∠DFA＝∠A＋∠A′＋γ＝2α＋γ，故A选项成立，不符合题意；∵∠DEA＝∠DEA′＝β，∴∠DEA＋∠DEA′−∠FEA′＝180°，即2β−γ＝180°，∴90°＋γ2＝β，故C选项成立，不符合题意；∵∠FDE＝∠ADE，θ＋∠FDE＋∠ADE＝180°，∴∠FDE＝180°−θ2，∵α＋β＝θ＋∠FDE，∴α＋β＝θ＋180°−θ2，即α＋β＝90°＋θ2，故D选项成立，不符合题意；故本题选B。5.如图，AB∥CD，AD∥BC，AD⊥CD，点E为线段BC上一点，将线段AB沿AE折叠，点B的对应点F落在四边形ABCD外侧，连接EF，若AF∥BD，∠ADB＝α，则∠DAE为（ ）A．α B．90°−2α C．45°＋α2 D．45°−α2【答案】D【解析】设∠DAE＝x，∵AB∥CD，AD⊥CD，∴AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠BAD−∠DAE＝90°−x，由折叠的性质得：∠FAE＝∠BAE＝90°−x，∴∠FAD＝∠FAE−∠DAE＝90°−2x，∵AF∥BD，∴∠FAD＝∠ADB＝α，∴90°−2x＝α，解得：x＝45°−α2，即∠DAE＝45°−α2；故本题选D。6.如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1【答案】B【解析】连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，∵△ABC的两条内角平分线相交于点D，∴DE＝DF＝DG，设MN平分△ABC的面积，则S△BDM＋S△BDN＝S△ADM＋S△ADC＋S△DCN，∵S△BDM＝12BM•DE，S△ADM＝12AM•DE，S△ADC＝12AC•DF，S△DCN＝12NC•DG，S△BDN＝12BN•DG，∴12BM•DE＋12BN•DG＝12AM•DE＋12AC•DF＋12NC•DG，∴BM＋BN＝AM＋AC＋NC，∴BM＋BN＋MN＝AM＋AC＋NC＋MN，即这条直线分成的两个图形的周长比是1：1；故本题选B。7.如图，在△ABC中．AB＝AC．BC＝4，△ABC的面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，连接CM，DM，则CM＋DM的最小值为（ ）A．6 B．10 C．12 D．13【答案】C【解析】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点．∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝24，解得AD＝12，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，连接AM，则CM＋DM＝AM＋DM≥AD，∴当点M在线段AD上时，CM＋DM的值最小，∴AD的长为CM＋MD的最小值；故本题选C。8.如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）A．1 B．2 C．4 D．1.5【答案】A【解析】分别作点P关于OB和OA的对称点P'和P''，连接OP'、OP''、P'P''，则P'P''与OB的交点为点N'，P'P''与OA的交点为点M'，连接PN'、PM'，则此时P'P''的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥P'P''于点C，如图所示：由对称性可知OP＝OP'＝OP''，∵∠AOB＝60°，∴∠P'OP''＝2×60°＝120°，∴∠OP'P''＝∠OP''P'＝30°，∵OP＝2，OC⊥P'P''，∴OC＝12OP'＝1；故本题选A。9.在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（　　）A．不变 B．变小 C．先变大 D．先变大后变小【答案】A【解析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC，∵BD＝2AE，∴AD＝NE，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF，∠DEF＝60°，∵∠ADE＝180°−∠A−∠AED＝180°−60°−∠AED＝120°−∠AED，∠NEF＝180°−∠DEF−∠AED＝180°−60°−∠AED＝120°−∠AED，∴∠ADE＝∠NEF，在△ADE和△NEF中，AD＝NE∠ADE＝∠NEFDE＝EF∴△ADE≌△NEF（SAS），∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，∴FN＝CN，∴∠NCF＝∠NFC，∵∠FNE＝∠NCF＋∠NFC＝60°，∴∠NCF＝30°，即∠ECF＝30°；故本题选A。10.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋12∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】C【解析】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝12∠CBA，∠OAB＝12∠CAB，∴∠AOB＝180°−∠OBA−∠OAB＝180°−12∠CBA−12∠CAB＝180°−12（180°−∠C）＝90°＋12∠C，故①正确；∵∠C＝60°，由①知：∠AOB＝90°＋12∠C，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，BH＝BE∠HBO＝∠EBOBO＝BO∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°−60°−60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠HAO＝∠FAO，在△HAO和△FAO中，∠HAO＝∠FAOAO＝AO∠AOH＝∠AOF∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB＋AC＋BC＝2b，∴S△ABC＝12×AB×OM+12×AC×OH+12×BC×OD＝12（AB+AC+BC）•a＝ab，故③正确；故本题选C。二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）11.墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是_____．【答案】12：51【解析】根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51；故本题答案为：12：51。12.如图，直线L为线段AB的垂直平分线，交AB于M，在直线L上取一点C1，使得MC1＝MB，得到第一个三角形ABC1；在射线MC1上取一点C2，使得C1C2＝BC1；得到第二个三角形△ABC2；在射线MC1上取一点C3，使得C2C3＝BC2，得到第三个三角形△ABC3…依次这样作下去，则第2022个三角形△ABC2022中∠AC2022B的度数为_____．【答案】90°22021【解析】由于直线L为线段AB的垂直平分线，∴C1A＝C1B，C2A＝C2B，C3A＝C3B，…∵C1C2＝BC1，∴C1C2＝BC1＝AC1，∴∠C1C2A＝∠C1AC2＝12∠AC1M，∠C1C2B＝∠C1BC2＝12∠BC1M，∴∠AC2B＝12∠AC1B，同理，∴∠AC3B＝12∠AC2B＝12×12∠AC1B，∴∠AC4B＝12∠AC3B＝12×12×12∠AC1B，∴∠AC5B＝12∠AC4B＝12×12×12×12∠AC1B，…∴∠AC2022B＝（12）2021∠AC1B＝90°22021；故本题答案为：90°22021。13.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为_____．【答案】12【解析】∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，∴∠ACM＝∠BCM，∠AMN＝∠CMN，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠CMN＝∠ACM＝∠BCM，∴MN＝CN，∵∠A＝90°，∴∠AMN＝∠CMN＝∠ACM＝∠BCM＝30°，∵AN＝2，∴MN＝CN＝4，∴AC＝6，∵MN∥BC，∴∠B＝∠AMN＝30°，∴BC＝2AC＝12；故本题答案为：12。14.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD于E，AB＝6，AC＝14，∠ABC＝3∠C．则BE＝_____．【答案】4【解析】延长BE交AC于G，∵AD平分∠BAC，∴∠GAE＝∠BAE，∵BE⊥AD于E，∴∠AEG＝∠AEB＝90°，∴∠AGB＝∠ABG，∴AG＝AB＝6，GE＝BE，∵AC＝14，∴CG＝8，∵∠AGB＝∠C＋∠CBG，∴∠ABC＝∠ABG＋∠CBG＝∠AGB＋∠CBG＝∠C＋2∠CBG，∵∠ABC＝3∠C，∴3∠C＝∠C＋2∠CBG，∴∠C＝∠CBG，∴BG＝CG＝8，∴BE＝12BG＝4；故本题答案为：4。15.如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，FA−CD＝3，则BC＋DE＝_____．【答案】14【解析】把AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，如图所示：∵∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA，∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA＝（6−2）×180°＝720°，∴∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，∴∠PAF＝∠GBC＝∠GCB＝∠HDE＝∠DEH＝∠PFA＝60°，∴△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，∴∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，∴△PGH是等边三角形，∴PG＝GH，即PA＋AB＋BG＝CG＋CD＋DH，∴AF＋AB＋BC＝BC＋CD＋DE，∵AB＋BC＝11，AF−CD＝3，，∴BC＋DE＝AB＋BC+（AF−CD）＝3＋11＝14；故本题答案为：14。16.如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，AD＝3BD，∠ACE＝∠ADC，CE＝CD．G是AC延长线上一点，EG∥AB．连接BE交AC于点F，则FGFC的值为_____．【答案】53【解析】∵AD＝3BD，∴设BD＝x，则AD＝3x，∴AB＝4x，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4x，∠A＝∠ABC＝60°，∵AB∥EG，∴∠A＝∠G＝60°，∴∠ABC＝∠G＝60°，∵∠ACE＝∠ADC，∴∠BDC＝∠GCE，在△BCD和△GEC中，∠BDC＝∠GCE∠DBC＝∠GCD＝EC∴△BCD≌△GEC（AAS），∴BD＝GC＝x，BC＝GE＝AB，∴AG＝AC＋CG＝5x，在△ABF和△GEF中，∠A＝∠G∠AFB＝∠GFEAB＝GE∴△ABF≌△GEF（AAS），∴AF＝FG＝52x，∴FC＝32x，∴FGFC＝53；故本题答案为：53。17.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有_____．（注：把你认为正确的答案序号都写上）【答案】①②④⑤【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC＝BC∠ACD＝∠BCECD＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，结论①正确；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝180°−60°−60°＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，在△ACP和△BCQ中，∠ACP＝∠BCQ∠CAP＝∠CBQAC＝BC∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴AP＝BQ，CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；∴∠PQC＝60°＝∠DCE，∴PQ∥AE，结论②正确；∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠AEO，∴∠AOB＝∠DAE＋∠AEO＝∠DAE＋∠ADC＝∠DCE＝60°，∴结论⑤正确；没有条件证出OP＝OQ，③错误；故本题答案为：①②④⑤。18.如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为_____．（填序号）【答案】①②③④【解析】①连接OB，如图1，∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝CD，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，∵∠ABC＝∠ABO＋∠DBO＝30°，∴∠APO＋∠DCO＝30°，故①正确；②在△OBP中，∠BOP＝180°−∠OPB−∠OBP，在△BOC中，∠BOC＝180°−∠OBC−∠OCB，∴∠POC＝360°−∠BOP−∠BOC＝∠OPB＋∠OBP＋∠OBC＋∠OCB＝（∠OPB＋∠OCB）＋（∠OBP＋∠OBC）＝30°＋∠ABD＝30°＋30°＝60°，∵PO＝OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；③如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°−∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO＋∠OPE＝60°，∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠EPC，在△OPA和△CPE中，PA＝PE∠APO＝∠EPCOP＝CP∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝EC，∴AC＝AE＋EC＝AP＋AO，故③正确；④如图3，作CH⊥BP，∵CH⊥BP，∠PHC＝90°＝∠ODC，∵∠B＝30°，∴∠HCB＝60°＝∠PCO，∴∠HCB−∠HCO＝∠PCO−∠HCO，即∠OCD＝∠PCH，在△CDO和△CHP中，∠ODC＝∠PHC∠OCD＝∠PCHOC＝PC∴△CDO≌△CHP（AAS），∴S△OCD＝S△CHP∴CH＝CD，∵CD＝BD，∴BD＝CH，在Rt△ABD和Rt△ACH中，AB＝ACBD＝CH∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S△ABD＝S△AHC，∵四边形OAPC面积＝S△OAC＋S△AHC＋S△CHP＝S△AOC＋S△ABD＋S△OCD＝S△ABC，∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确；故本题答案为：①②③④。三、解答题（本题共8小题，共66分。）19.如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长．【答案】（1）35°；（2）6cm【解析】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C＝12∠AED＝35°；（2）∵△ABC周长20cm，AC＝8cm，∴AB＋BE＋EC＝12cm，即2DE＋2EC＝12cm，∴DE＋EC＝DC＝6cm。20.如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE．【答案】证明过程详见解析【解析】证明：如图，过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠C，∴BD＝CD，∠F＝∠FAD＝∠ABD，∴AD＝FD，AB＝AF，∵AE⊥BD，∴BE＝EF＝12BF，∵AC＝AD＋CD＝FD＋BD＝BF，∴AC＝2BE。21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．【答案】（1）8s；（2）6s或485s，理由详见解析【解析】（1）要使△PBQ是等边三角形，即可得：PB＝BQ，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．∴AB＝2BC＝24cm，∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发，∴BP＝AB−AP＝（24−2t）cm，BQ＝t cm，即24−2t＝t，解得：t＝8，故答案为：8；（2）当t为6s或485s时，△PBQ是直角三角形，理由如下：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，∴AB＝2BC＝24cm，∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发，∴BP＝AB−AP＝（24−2t）cm，BQ＝t cm，∵△PBQ是直角三角形，∴BP＝2BQ或BQ＝2BP，当BP＝2BQ时，24−2t＝2t，解得t＝6；当BQ＝2BP时，t＝2（24−2t），解得t＝485；所以，当t为6s或485s时，△PBQ是直角三角形。22.如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．（1）求∠BPC的度数；（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．【答案】（1）120°；（2）证明过程详见解析【解析】（1）解：∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A＝120°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC，∠BCF＝∠ACF＝12∠ACB，∴∠CBE＋∠BCF＝12∠ABC＋12∠ACB＝12×120°＝60°，∴∠BPC＝180°−（∠CBE＋∠BCF）＝180°−60°＝120°；（2）证明：在BC上截取BQ＝BF，连接PQ，在△FBP和△QBP中，BP＝BP∠FBP＝∠QBPBF＝BQ∴△FBP≌△QBP（SAS），∴FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，∵∠A＝60°，∠FPE＝∠BPC＝120°，∴∠AFP＋∠AEP＝360°−60°−120°＝180°，∴∠BFP＋∠CEP＝180°，∵∠CQP＋∠BQP＝180°，∴∠CEP＝∠CQP，在△CQP和△CEP中，∠QCP＝∠ECP∠CQP＝∠CEPCP＝CP∴△CQP≌△CEP（AAS），∴QP＝EP＝FP，∴△EFP是等腰三角形。23.已知OB，OC分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的角平分线．（1）在图1中，已知∠O＝25°，求∠BAC的度数．（2）连接OA，如图2，证明OA是外角∠CAD的角平分线．（3）在图2中，已知S△BOC＝16，BC＝4，AC＝5，AB＝6，直接写出△ABC的面积．【答案】（1）50°；（2）证明过程详见解析；（3）20【解析】（1）解：如图1中，∵∠ACE是△ABC的一个外角，∴∠BAC＝∠ACE−∠ABC，∵CO是∠ACE的角平分线，∴∠OCE＝12∠ACE，∵OB是∠ABC的角平分线，∴∠OBE＝12∠ABC，∴∠BAC＝∠ACE−∠ABC＝2∠OCE−2∠OBE＝2（∠OCE−∠OBE）＝2∠O＝50°；（2）证明：如图2中，过点O作OM⊥BD于点M，ON⊥AC于点N，OT⊥BE于点T．∵CO平分∠ACE，ON⊥AC，OT⊥CE，∴ON＝OT，∵BO平分∠DBE，OM⊥BD，OT⊥BE，∴OM＝OT，∴OM＝ON，∴AO平分∠CAD．（3）解：∵S△BOC＝12•BC•OT＝16，BC＝4，∴OT＝8，∴OM＝ON＝OT＝8，∴S△ABC＝S△△BOC＋S△AOB−S△AOC＝16＋12×6×8−12×5×8＝16＋24−20＝20。24.△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD；（2）如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长；（3）如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）52；（3）AC＋CD＝AM，理由详见解析【解析】（1）证明：如图1，∵BF⊥AD，∴∠AFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠ACD＝90°，∵∠ADC＝∠BDF，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACD和△BCE中∠ACD＝∠BCEAC＝BC∠CAD＝∠CBE∴△ACD≌△BCE（ASA），∴BE＝AD；（2）解：如图2，分别延长BF，AC交于点E，由（1）知：BE＝AD＝5，∵AD平分∠BAC，AF⊥BE，∴∠ABF＝∠E，∴AB＝AE，∴BF＝12BE＝52；（3）解：AC＋CD＝AM，理由如下：如图3，分别延长BF，AC交于点E，由（1）可得△ACD≌△BCE，∴CD＝CE，∵BF⊥AD，∴∠AFE＝∠AFM＝90°，∵AF平分∠EAM，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠M＝∠E，∴AM＝AE＝AC＋CE，∴AC＋CD＝AM。25.已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．（1）如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数．（2）如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）45°；（2）AC−CE＝2CM，证明过程详见解析【解析】（1）如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，∴∠FMC＝90°，∴∠FMA＋∠AMC＝90°，∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，∴∠AME＝90°，∴∠CME＋∠AMC＝90°，∴∠FMA＝∠CME，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴在Rt△FMC中，∠F＝∠FCM＝45°，∴FM＝CM，在△FMA和△CME中，FM＝CM∠FMA＝∠CMEAM＝EM∴△FMA≌△CME（SAS），∴∠MCE＝∠F＝45°；（2）AC−CE＝2CM，理由如下：如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，∴∠FMC＝90°，∴∠FME＋∠EMC＝90°，∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，∴∠AME＝90°，∴∠FME＋∠AMF＝90°，∴∠FMA＝∠CME，在Rt△FMC中，∠F＝∠FCM＝45°，∴FM＝CM，在△FMA和△CME中，FM＝CM∠FMA＝∠CMEAM＝EM∴△FMA≌△CMA（SAS），∴AF＝CE，在Rt△CMF中，CF＝2CM，∴AC−CE＝AC−AF＝CF＝2CM。26.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_____；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．【答案】（1）BM＋NC＝MN；（2）结论仍然成立，BM＋NC＝MN，理由详见解析；（3）NC−BM＝MN，理由详见解析【解析】解：（1）BM、NC、MN之间的数量关系BM＋NC＝MN，∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，在Rt△BDM和Rt△CDN中，DM＝DNDB＝DC∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∵△MDN是等边三角形，∴MN＝DM＝DN,∴MN＝2BM＝2CN＝BM＋CN，故答案为：BM＋NC＝MN；（2）猜想：结论仍然成立，理由如下：在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，∵∠MBD＝∠NCD＝90°，∴∠MBD＝∠M1CD＝90°，在△DBM和△DCM1中，BM＝CM1∠MBD＝∠M1CDBD＝CD∴△DBM≌△DCM1（SAS），∴DM＝DM1，∠MDB＝∠M1DC，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB＋∠CDN＝60°，∴∠M1DC＋∠CDN＝60°，即∠M1DN＝60°＝∠MDN，在△MDN和△M1DN中，DM＝DM1∠MDN＝∠M1DNDN＝DN∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N＝M1C＋NC＝BM＋NC；（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1、MN，由（2）得，△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MDB＝∠M1DC，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB＋∠BDN＝60°，∴∠M1DC＋∠BDN＝60°，∴∠M1DN＝60°＝∠MDN，在△MDN和△M1DN中，DM＝DM1∠MDN＝∠M1DNDN＝DN∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N＝NC−CM1＝NC−BM。