【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题08 函数的奇偶性（讲）.zip

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二、考点梳理
1.函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
2.函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
三、考点剖析
考点一、判断函数奇偶性
例1.（上海市中等职业学校2020级高一第一学期期中）函数的奇偶性是（ ）
偶函数
奇函数
既是奇函数也是偶函数
非奇非偶函数
【答案】B
【解析】函数的定义域是，关于原点对称，又，所以是奇函数，答案选B
【变式训练1】下列说法不正确的是（ ）
A．是奇函数
B．既不是奇函数又不是偶函数
C．是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【解析】对于项，因为，所以是奇函数，正确；对于项，由，得且，关于原点对称．
所以，满足，故是奇函数，项错误；
对于项，因为，所以正确；
对于项，解得定义域为，且，所以既是奇函数，又是偶函数．故选B
【变式训练2】下列函数是偶函数且在区间(—∞，0)上为减函数的是（ ）
y = 2x
B．y =
C．y=
D．y =
【答案】C
【解析】函数是奇函数，不满足题意；函数是奇函数，不满足题意；
函数是偶函数，且在区间上为减函数，满足题意；
函数是偶函数，但在区间上为增函数，不满足题意；故选．
考点二、已知奇偶性求参数
例2.（2022-2023学年中职一轮复习原创题）若函数f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为R上的偶函数，则实数的值是
【答案】m＝2
【解析】根据题意，函数f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为R上的偶函数，
则有f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）＝（m﹣1）x2﹣（m﹣2）x+（m2﹣7m+12），必有m﹣2＝0，即m＝2，
【变式训练】已知一个奇函数的定义域为，则__________
【答案】－1
【解析】因为一个奇函数的定义域为，根据奇函数的定义域关于原点对称，
所以与有一个等于1，另一个等于 ，所以．故答案为－1．
考点三、奇偶性与单调性综合运用
例3.定义在[－7，7]上的偶函数f(x)在[0，7]上的图象如下图，下列说法正确的是（ ）
f(x)仅有一个单调增区间
B．f(x)有两个单调减区间
C．f(x)在其定义域内的最小值是－7
D．f(x)在其定义域内的最大值是7
【答案】D
【解析】对于AB，由于函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以由图象可知函数f(x)有3个增区间，3个减区间，所以AB错误，
对于C，由图象可知函数的最小值小于，但不等于，所以C错误，
对于D，由图象可知函数图象的最高点的纵坐标为7，所以f(x)在其定义域内的最大值是7，所以D正确，故选D
【变式训练1】若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0]单调递减，则f（1），f（2），f（3）的大小关系是（ ）
f（1）< f（2） < f（3）
B．f（1）< f（3）< f（2）
C．f（3）< f（2）< f（1）
D．f（3）< f（1）< f（2）
【答案】C
【分析】由函数f(x)的单调性比较f(-1)，f(-2)，f(-3)的大小，再利用奇函数计算变形即得
【解析】因函数f(x)在(-∞，0]单调递减，而-3f(-1)，
又函数f(x)是R上的奇函数，则有-f（3）>-f（2）>-f（1），即f（3）