【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题26 平面向量的数量积（讲）.zip

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考点梳理
一、向量的数量积
1、两个非零向量的夹角
已知非零向量与，作＝，＝，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；
说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。
2、数量积的概念
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cs叫做与的数量积（或内积）。规定；
向量的投影：︱︱cs=∈R，称为向量在方向上的投影。
3、数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积。
4、向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系：
②乘法公式成立
；
；
③平面向量数量积的运算律
交换律成立：；
对实数的结合律成立：；
分配律成立：
④向量的夹角：cs==
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
5、两个向量的数量积的坐标运算
已知两个向量，则·=。
6、垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。
两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。
7、平面内两点间的距离公式
设，则或。
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。
二、向量的应用
（1）向量在几何中的应用；
（2）向量在物理中的应用。
【考点分类剖析】
考点一、平面向量的数量积运算
【例1】已知向量，，则（ ）
A．5B．14C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
所以.
故选：B.
【变式练习1】已知向量，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)，(2) (3)
【解析】（1）解：因为，，则.
（2）解：因为，，则，
因此，.
（3）解：由已知可得，则.
【变式练习2】已知平面向量，在网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则_________.
【答案】
【解析】如图，建立平面直角坐标系，则，，所以.
故答案为：.
考点二、利用平面向量数量积求参数
【例2】已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【解析】，，，
，
解得.
故选：A.
【变式练习1】已知向量，，若，则m的值为（ ）
A．或2B．或3C．或3D．或4
【答案】A
【解析】因为，所以，
即，解得或.
故选：A.
【变式练习2】已知向量,则___________．
【答案】
【解析】因为,
所以,解得. 故答案为:.
【变式练习3】已知向量，，.若，求的值.
【答案】
【解析】由题意知，，
因为，
所以，解得，
即k的值为.
考点三、利用数量积求模长
【例3】已知平面向量、的夹角为，且为单位向量，，则___．
【答案】
【解析】，则，，
则，
故.
故答案为：
【变式练习】已知，向量．
(1)若向量，求向量的坐标；
(2)若向量与向量的夹角为120°，求．
【答案】(1)或 (2)
【解析】（1）由，设，∴，
∵，∴，解得或
所以或．
（2）∵，，，
∴，
∴，∴．
考点四、利用数量积求夹角
【例4】已知向量，满足，，，则与的夹角为______．
【答案】
【解析】设与的夹角为，
则，
又，所以与的夹角为．
故答案为：．
【变式练习1】已知向量，若，则与的夹角为_____.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，解得，即，
因此.
设与的夹角为θ，所以.
因为，所以θ=.
故答案为：
【变式练习2】已知向量，．
(1)求与的坐标；
(2)求向量，的夹角的余弦值．
【答案】(1)，． (2)
【解析】（1），．
（2），，，
,．
考点五、利用数量积与夹角，求参数范围
【例5】已知向量，，．
(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；
(2)若x=1且为钝角，求实数y的取值范围．
【答案】(1)； (2)且.
【解析】（1）因为A，B，C三点共线，即，
，，所以，
即；
（2）因为为钝角，所以且，不共线，
由（1）得：当，且时，，
因为，不共线，所以，
，，
，
解得：，
所以且.
【变式练习1】设向量
(1)求与垂直的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）由已知，设与垂直的单位向量为
则，解得或
即与垂直的单位向量为或
（2）由已知
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，解得，
又因为向量不与向量反向共线，
设，则
从而或（舍去），所以解得
考试内容
考试要求
1.平面向量定理应用
2.平面向量坐标运算
3.共线向量特征
掌握
掌握
掌握