【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题36 空间线、面垂直【中职专用】（练）.zip

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1.（2023年山西省柳林高级职业中学高三一模）已知为直线，为平面，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为，所以或，又，所以，答案选B
2.（2020年江苏省镇江市高三对口单招文化统考调研测试）如图，在正方体中，若为的中点，则直线与侧面所成角的正弦值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如图，连接,因为
所以,即为直线与侧面所成角，设 ，则，
，所以，答案选C
3.(2023年吉林省对口对口升学毕业班数学模拟三)下列说法中可以判断直线平面的是（ ）
A.直线与平面内的一条直线垂直
B. 直线与平面内的两条直线垂直
C. 直线与平面内的两条相交直线垂直
D. 直线与平面内的无数条直线垂直
【答案】C
【解析】由线面垂直的判定定理得答案选C
4.（2020年辽宁省单招考试模拟卷六）已知边长为的菱形,,将菱形沿对角线折成直二面角，则的长为（ ）
A.
B.
C.
D.以上结论都不对
【答案】C
【解析】如图，取中点,连接，则,所以是等腰直角三角形，因为，所以，因此，故答案选
5.（2023年山西省中职生对口升学考试全真模拟卷三）空间四边形中，若,
,则（ ）
平面平面
平面平面
平面平面
平面平面
【答案】 D
【解析】如图，因为,,,所以
又因为,因此平面平面，答案选D
6.（2022年河北省中职生对口升学考试全真模拟卷三）垂直于同一直线的两条直线的位置关系是（ ）
A.平行
B.平行或相交
C.平行或异面
D.平行、相交或异面
【答案】D
【解析】垂直于同一条直线的两条直线位置关系有相交、平行或异面。答案选D
7.（2023年浙江省单考单招高职数学模拟九）已知平面平面，直线平面，则直线与平面的位置关系是（ ）
A.
B.
C.
D. 或
【答案】D
【解析】显然直线与平面的位置关系有或，答案选
8.(2022年浙江省中职一轮复习练习) 如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【答案】C
【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
故选：C
9.（2021年四川省对口招生统一考试押题卷）如图，是正方体，在四面体的四个面中，直角三角形的个数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】容易得直角三角形的有：，有4个，故答案选D
10.（2022年宁夏回族自治区高职院校分类考试模拟三）下列命题中正确的是（ ）
A.若直线平面，则与平面内任意一条直线垂直
B. 是空间三条直线，若，则
C.直线与平面都垂直于平面，则必有
D.两条斜线段在同一平面内的射影相等，则这两条斜线段的长也相等
【答案】A
【解析】由线面垂直的性质知选项A正确，B错，如正方体三条相交于一点的棱两两垂直。
C.也有可能直线，故C也错，若直线与平面所成的角不相等，则斜线段也不一定相等。故D错，因此答案选A
二、填空题
11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是________.
【答案】平面A1DB1
【解析】∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，
∴AD1⊥平面A1DB1.
故答案为：平面A1DB1
12. 已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：
①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；
②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；
③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β.
其中正确的说法序号为________．
【答案】④
【解析】说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；
说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件.
故答案为：④
13. 平面α⊥平面β，a⊂α，b⊂β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．
【答案】a⊥β
【解析】设，
，又因为a⊥b，所以，
所以
故答案为：.
14. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为______.
【答案】
【解析】连接，
平面，即为直线与平面所成角，
在中，，，
.
故答案为：.
15. 如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____.
【答案】
【解析】
取BC的中点D，连结PD，AD，因为，所以，
因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为平面PAD，平面PAD，，所以平面PAD，
因为平面PAD，所以，
所以即为二面角的平面角，
因为，所以，，
即二面角的正弦值是.
故答案为：.
16. 已知三棱锥顶点都在球的表面上，，，，侧面是以为直角顶点的直角三角形，若平面平面，则球的表面积为_______________________．
【答案】
【解析】如图，分别取AB、AC的中点，
因为，
所以，又，
所以分别为截面PAB、截面ABC外接圆的圆心，
又平面平面ABC，，
所以平面ABC，故为球心，得球的半径为，
所以球的表面积为：.
故答案为：
三、解答题
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.证明平面PAB；
【答案】证明见解析
【解析】∵ABCD为矩形
∴
∵PA=2，AD=2，
∴
∴
又∵ ，平面PAB
∴AD⊥平面PAB.
18. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【解析】（1）连接,
∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴△为等边三角形，
又 ∵G为AD的中点，
∴ BG⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
（2）如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.
由（1）知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，
∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
19. 如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA
(1)求证：PB⊥平面APD；
(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）由AD⊥平面PAB，面，则，
又PB⊥PA，，则PB⊥平面APD；
（2）由（1）及面，则面面APD，
又面面APD，AG⊥PD，面APD，
所以面，而面，
所以AG⊥BD．
20. 在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接．在三角形中，G是的中点，所以．
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，
又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，所以
所以直线直线GB．
21．如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：在平面内的射影恰好落在上，即为在面上的射影，而，所以，
∵，，
∴平面，又平面，
∴平面平面．
（2）由（1）知：，在中，有，即，
∴，又，，即面，
∴二面角的平面角是，
∴，
∴二面角的余弦值是．
22. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
【答案】(1)证明过程见解析； (2)
【解析】（1）因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.
（2）因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.