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【备战2024年中职高考】中职数学 二轮复习 专题训练 专题07(二) 圆锥曲线测试卷(教师版)
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1、本试卷分为第Ι卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间为120分钟。考试结束后,将本题与答题卡一并交回。
2、本次考试允许使用函数型计算机,凡使用计算器的题目,最后结果精确到0.01。
第Ι卷(选择题)
一、单选题(本大题共15小题,每小题4分,共60分。在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将符合要求的选项字母代号选出,填涂在答题卡上。)
1.直线y=k(x﹣2)+1与椭圆的位置关系是( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法判断
【答案】B。由题知,直线恒过定点(2,1),将定点代入得出,故定点(2,1)在椭圆内,直线与椭圆相交;故选:B。
【点睛】本题考查点与椭圆位置关系的判断,可简单记为:点,椭圆标准方程为,若点在椭圆内,则;若点在椭圆上,则;若点在椭圆外,则,属于基础题。
2.直线与椭圆有且只有一个交点,则的值是( )
A. B.
C. D.
【答案】C。直线和椭圆只有一个交点,则直线和椭圆相切,联立直线和椭圆方程得到二次方程,二次方程只有一个解,根据=0即可求出k的值。
由得,;
由题意知,解得,故选:C。
3、椭圆的焦点在x轴上,则k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D。由题意及椭圆特性可组成不等式组:;故答案为D。
4.已知方程表示椭圆,则的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】B。由题意,得,解得;故选B。
5.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为3,则到另一焦点的距离为( )
A.2 B.3
C.5 D.7
【答案】D。由可得,所以;
设椭圆的两个焦点分别为;
由椭圆的定义可知;
所以到另一焦点的距离为7,故选:D。
6.已知平面内两定点,下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A。当时,,满足双曲线的定义,所以点的轨迹是双曲线。故选:A。
已知椭圆的左焦点是F1,右焦点是F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中
点在y轴上,那么|PF1|∶|PF2|等于()
A.3:2 B.2:3
C.9:1 D.1:9
【答案】A。∵线段PF1的中点M在y轴上,∴OM是△F1PF2的中位线;
∴点P的横坐标是 ;
将点P的横坐标代入椭圆方程可得解得y2=16;
∴|PF2|=4,根据椭圆的定义|PF1|=2a-|PF2|=10-4=6;
∴|PF1|∶|PF2|=6∶4=3∶2;故选:A。
8.与椭圆共焦点,且过点的双曲线方程为
A. B.
C. D.
【答案】B。由题得椭圆的焦点为;
所以双曲线的焦点为;
设双曲线的方程为;
所以;
所以双曲线的方程为;故选:B。
9.已知双曲线的焦点分别为,P为C上一点,,则C的方程为
A. B.
C. D.
【答案】A。
如图,因为;
所以可得;
根据双曲线的定义可得;
所以
所以C的方程为;故选:A。
10.若直线l经过点,且与双曲线只有一个公共点,则符合要求的直线l的条数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】B。依题意,直线l的斜率必存在,设其为k,则直线l的方程为;
联立,消去y整理得到;
当,即时,该方程只有一个解,直线与双曲线只有一个公共点;
当时,由,得,所以k无解,
综上,符合要求的直线只有2条;故选:B。
11.若,则方程与所表示的曲线可能是图中的( )
A. B.
C. D.
【答案】C。即为直线,即为曲线,.
对于A选项,由直线方程可知,,,则曲线,表示圆或椭圆,A选项错误;
对于B选项,由直线方程可知,,,则曲线,不存在,B选项错误;
对于C选项,由直线方程可知,,,则曲线,表示焦点在轴上的双曲线,C选项正确;
对于D选项,由直线方程可知,,,则曲线,表示焦点在轴上的双曲线,D选项错误;故选:C。
12.“”是方程“”表示双曲线的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A。由于C的值不确定,所以“ab<0”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件;选A。
13.已知抛物线的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为
A.(-1,0) B.(0,-1)
C.(1,0) D.(0,1)
【答案】D。解:抛物线的准线经过点(-1,-1);
;
该抛物线焦点坐标为(0,1);故选:D。
14.(2015年山东春季高考)关于x,y的方程x2+my2=1,给出下列命题:
①当m<0时,方程表示双曲线;
②当m=0时,方程表示抛物线;
③当0<m<1时,方程表示椭圆;
④当m=1时,方程表示等轴双曲线;
⑤当m>1时,方程表示椭圆.
其中,真命题的个数是( )
A. 2 B.3
C. 4 D.5
〖解析〗B。(1)当m<0时,方程表示双曲线;当m=-1时,方程表示等轴双曲线;
(2)当m=0时,方程为x2=1,即x=1或x=-1,表示平行于y轴的两条直线;
(3)当0<m<1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆;当m>1时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;
(4)当m=1时,方程表示以原点为圆心的单位圆;故答案为B。
15.已知点F1是双曲线 的左焦点,点P在双曲线上,直线PF1与x轴垂直,且|PF1|=a,则双曲线的离心率是( )。
A. B.
C.2 D.3
【答案】B。根据双曲线的定义|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=3a;
∵点P在双曲线上,直线PF1与x轴垂直;
∴|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2,即a2+(2c)2=(3a)2;
∴8a2=4c2,;双曲线的离心率是;故选:B。
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题4小题,每小题5分,共20分)
16.经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l,交椭圆于A,B两点,设O为坐标原点,则______.
【答案】。椭圆中,
,椭圆的焦点为;
不妨设所作倾斜角为的直线过焦点,故直线
联立;消去可得,;
解方程可得,;
代入直线可得,;
;故答案为:。
17.设是双曲线的两个焦点,是该双曲线上一点,且,则的面积等于__________。
【答案】12。由于,因此,,故;
由于,而;
所以;
。
18.已知双曲线的左、右焦点分别为,点P在双曲线上,且满足,则的面积为_________.
【答案】1。不妨设点P在双曲线右支上;
由双曲线的定义可得;
又,两式联立得;
又,所以,即为直角三角形;
;故答案为:1。
19.设动点M到两个定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之差的绝对值等于6,则动点M的轨迹方程为 。
〖解析〗。由题意可知;
。
三、解答题(本大题2小题,共20分)
20、(2020年山东春季高考)已知抛物线的顶点在坐标原点O,椭圆的顶点分别为A1,A2,B1,B2,其中点A2为抛物线的焦点,如图所示。
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若过点A1的直线l与抛物线交于M,N两点,且,求直线l的方程。
〖解析〗(1)由椭圆可知,a2=4,b2=1,
∴a=2,b=1,则A2(2,0);
∵抛物线的焦点为A2,可设抛物线方程为y2=2px(p>0),
;
∴抛物线的标准方程为y2=8x;
(2)由椭圆方程可知A1(-2,0),B1(0,-1),
若直线l无斜率,则其方程为x=-2,经检验,不符合题意;
∴直线l的斜率存在,设为k,又直线l过点A1(-2,0),
则直线l的方程为y=k(x+2),
设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组
消去y,整理得:kx2+(4k2-8)x+4k2=0 ①;
∵直线l与抛物线有两个交点,
;
由①得;
;
;
;
;
,
;
∴直线方程为。
21.(2015年山东春季高考)如图所示,已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上,Q是抛物线上的点,点Q到焦点F的距离是1,且到y轴的距离是;
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若直线l经过点M(3,1),与抛物线相交于A,B两点,且OA⊥OB,求直线l的方程。
【答案】(1)依题意,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),
∵Q是抛物线上的点,点Q到焦点F的距离是1,
∴点Q到准线的距离是1;
∵点Q到y轴的距离是,
∴;
则抛物线的标准方程是;
(2)假设直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,与联立:
解得交点A,B的坐标分别为;
可知直线OA与OB不垂直;
∴直线l的斜率存在,
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-1=k(x-3),即y=kx-3k+1;
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
;
;
;
由于OA⊥OB,即
;
∴直线方程为y=2x-5。
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