2023-2024学年广东省广州市荔湾区八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市荔湾区八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共24页。

本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟，不能使用计算器．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）
1．下列四个交通标志图案中，轴对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
2．计算的结果是（ ）．
A．B．C．D．
3．下面四个图形中，线段能表示的高的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）．
A．B．C．D．
5．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在△ABC中，点E，F分别是边BC上两点，ED垂直平分AB，FG垂直平分AC，连接AE，AF，若∠BAC＝115°，则∠EAF的大小为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．65°
8．如图，的三边，，的长分别为12，27，30，其三条角平分线将分成三个三角形，则（ ）．
A．B．C．D．
9．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是网格上两个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得为等腰三角形的格点C有（ ）个．

A．7B．8C．9D．10
10．如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．若分式的值为，则的值为 ．
12．一个多边形的内角和是，这个多边形是 边形．
13．任意一个三角形被一条中线分成两个三角形，则这两个三角形：①形状相同；②面积相等；③全等．上述说法中，正确的是 ．
14．分解因式的结果为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是 ．
16．如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
(1)；
(2)
18．解分式方程：
19．先化简后求值：，其中a＝3．
20．如图，已知，，是平面直角坐标系中的三点．
(1)请画出关于x轴对称的；
(2)在（1）的条件下，若内有一点M坐标为，则内对应点的坐标为______；
(3)在x轴上找一点P，并标出点P的位置，使得最小．
21．如图，已知，，于M，于N，求证：
22．某校为了准备“迎新活动”，用700元购买了甲、乙两种小礼品共130个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了100元．
(1)购买乙种礼品花了______元；
(2)如果甲种礼品的单价比乙种礼品的单价高，求乙种礼品的单价．（列分式方程解应用题）
23．如图，在等边中，M是边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且．
(1)尺规作图：在直线的下方，过点B作，作的延长线，与相交于点K；
(2)在（1）的条件下，
①求证：是等边三角形；
②求证：．
24．问题情境：若x满足，求的值．
解：设，，则，，
所以
请仿照上例解决下面的问题：
(1)若x满足，求的值．
(2)若x满足，求的值．
(3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积为300，四边形和都是正方形，是长方形，求四边形的面积（结果必须是一个具体数值）．
25．如图，点，，且a，b满足．

(1)如图1，求的面积；
(2)如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若点P为x正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，当点P在x正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此计算即可．
【详解】解：．
故选：A
3．B
【分析】本题考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．利用三角形高的定义即可求解．
【详解】解：A，C，D中线段不能表示任何边上的高；
B中线段能表示的高，且表示边上的高．
故选B．
4．A
【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键．
【详解】解：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变，
B、C、D错误，不符合题意，A选项中分子分母都乘以，分式的值不变，原变形正确，符合题意，
故选：A．
5．C
【分析】由题意知，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角板中角度计算问题．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6．C
【分析】根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：（a＋b）（a−b）＝，找出整式中的a和b，进行判定即可．
【详解】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，故选项A错误；
B、（−x＋y）（x−y）＝，不符合平方差公式的特点，故选项B错误；
C、（2x−y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，故选项C正确；
D、（−x−y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了平方差公式，注意抓住整式的特点，灵活变形是解题关键．
7．B
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算即可．
【详解】解：，
，
垂直平分，垂直平分，
，，
，，
，
，
故选．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．A
【分析】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，由角平分线的性质可得，点到三角形三边的距离相等，即三个三角形的、、边上的高相等，利用面积公式即可求解．
【详解】解：过点作于，于，于，
是三角形三条角平分线的交点，
，
∵的长分别为，
∴．
故选：A．
9．B
【分析】使得为等腰三角形，须分别讨论是以哪个边为腰的等腰三角形，分类讨论．
【详解】解：∵为等腰三角形，
当以为底的时候，没有合适的格点可以使为等腰三角形，
当以为腰的时候，可以分两种情况：
以点A为顶点时，此时有三个格点可以使为等腰三角形，
以点B为顶点时，此时有五个格点可以使为等腰三角形，
如图所示：
所以共有8个格点可以使为等腰三角形，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据题意分类讨论，数形结合．
10．D
【分析】根据等角的余角相等可判断①；延长交于点F，证明和，可得可判断②；根据，可得，可得，可判断③；由，，可判断④；过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，进而看=可判断⑤.
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，故①正确；
延长交于点F，

∵平分，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，故④正确；
过点D作于点H，

∵，平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故⑤正确，
故选D
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判断和性质，等腰直角三角形，关键是掌握全等三角形的判定和性质.
11．
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件：“分式值为0的条件是分子为0，分母不为0”，根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：依题意，且，
∴，
故答案为：．
12．##十二
【分析】本题考查多边形内角和公式．边形内角和为，根据公式代入题干数据即可得到本题答案．
【详解】解：一个多边形的内角和是，
∴，
解得：，
∴这个多边形是边形．
故答案为：．
13．②
【分析】利用三角形的中线的定义得到两条线段相等，利用等底同高两个三角形的面积相同.
【详解】如图，是是中线，
则BD=CD,
和的面积分别以DB和CD为底，高为的高，
则和的面积相等，
所以②正确，
如下图,和不全等，形状不相同，
故答案为：②．
【点睛】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．
14．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方式继续分解即可．
【详解】原式，
故填：．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，解此题的关键是熟练因式分解的方法．
15．
【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的性质，点的坐标特征，由作图痕迹得点在的平分线上，则点到轴和轴的距离相等，由点在第二象限，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由作图痕迹得点在的平分线上，
点到轴和轴的距离相等，
在第二象限，
，
，
与的数量关系是，
故答案为：．
16．8
【分析】连接，过点作于．利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论．
【详解】解：连接，过点作于．
面积为24，，
，
，
垂直平分线段，
，
，
当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
．
的值最小值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，分式的加法运算；
（1）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项；
（2）化为同分母分式的加法进行计算即可求解；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．按照解分式方程的步骤求解即可．
【详解】解：，
方程两边同乘，得，
，
解得：，
检验：当时，，
故原方程无解
19．，.
【分析】首先对分式的分子和分母分解因式，把除法转化为乘法即可化简，然后代入数值计算即可．
【详解】解：
原式

当a=3时,原式
【点睛】考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.
20．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查的是平面直角坐标系内画关于x轴对称的点的坐标特点，轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点，分别连接各点即可；
（2）由关于x轴对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标不变，从而可得结论；
（3）连接交x轴于点P，则点P即为所求点．
【详解】（1）如图所示；
（2）由关于x轴对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标不变，
点的对应点的坐标为．
故答案为：．
（3）点P如图所示；
21．见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质证明边相等是解决这个问题的关键，属于中考常考题型．欲证明，因为于M，于N，所以只要证明，可以通过证明来实现．
【详解】证明：连接，
，，，
，
于M，于N，
．
22．(1)
(2)乙种礼品的单价元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
（1）设购买乙种礼品花了元，则购买甲种礼品花了元，根据“用700元购买了甲、乙两种小礼品共130个”列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设乙种礼品的单价元，则甲种礼品的单价为元，根据“购买了甲、乙两种小礼品共130个”列出分式方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设购买乙种礼品花了元，则购买甲种礼品花了元，
由题意得：，
解得：，
购买乙种礼品花了元，
故答案为：；
（2）解：设乙种礼品的单价元，则甲种礼品的单价为元，
购买甲种礼品花了（元），
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
乙种礼品的单价元．
23．(1)画图见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作图，作一个角等于已知角的做法做出，再延长与交于；
（2）①由等边可得，从而判定为等边三角形；②连接可证出，推出，得到，再利用，推出，再利用等量代换可得出，从而得到．
【详解】（1）解：以点为圆心任意长为半径画弧交于两点，以点为圆心同样长为半径画圆弧，再用圆规量取之间距离，并使其等于的长，连接即可得到，如下图所示：
；
（2）①解：∵等边，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴是等边三角形；
②解：连接，
，
∵和都是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
【点睛】本题考查等边三角形性质及判定，角平分线性质，全等三角形判定及性质，尺规作图，熟练掌握基本性质能够正确画出辅助线是解题关键．
24．(1)17
(2)1010
(3)1300
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键．
（1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答；
（2）根据例题的解题思路，进行计算即可解答；
（3）根据题意可得：四边形是正方形，然后设，，则，，从而可得，，最后根据完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：设，，
，
，
，
，
的值为17；
（2）设，，
，
，
，
，
，
解得：，
的值为1010；
（3）四边形的面积为900，
理由：由题意得：四边形是正方形，
设，，
正方形的边长为，，，
，，
，
长方形的面积为300，
，
，
正方形的面积
，
四边形的面积为1300．
25．(1)
(2)，证明见解析
(3)是定值，且
【分析】（1）根据非负数的性质得到，，进而可得与的长，进一步可求出结果；
（2）是等腰直角三角形，将绕点逆时针旋转得到，如图，根据旋转的性质、已知条件和等腰三角形的性质可利用证明，再根据全等三角形的性质和线段的和差关系即可推出结论；
（3）是定值，作于，在上截取，连接，如图，证，根据余角的性质可得，进而可根据推出，可得，从而可得，然后根据等腰直角三角形的性质和判定即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，，
，，
、，
，，
的面积；
（2）线段、、之间的数量关系为；
证明：，
，
将绕点逆时针旋转得到，如图，
则，，，，
，
，即、、三点共线，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
即；

（3）是定值，且；
作于，在上截取，连接，如图，则，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，即，
，
，
，
，即是定值．

【点睛】本题考查了图形与坐标、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．