2023-2024学年广东省湛江经济技术开发区九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江经济技术开发区九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9B．+9C．D．﹣
2．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列方程，是一元二次方程一般形式的是（ ）
A．B．
C．D．
4．设的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A．1B．2C．D．
5．将二次函数化成的形式为（ ）
A．B．
C．D．
6．书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是数学书的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知的直径为8，若，则点与的位置关系是（）
A．点在内B．点在上C．点在外D．无法判断
8．如图，是的直径，，则（ ）
A．B．C．D．
9．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程（ ）
A．B．
C．D．
10．若二次函数的图象过，，三点，则下列，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算 ．
12．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是 ．
13．把函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为 ．
14．如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为，底面圆的半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 ．（结果保留）．
15．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是 度．

16．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如，嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：，其中x的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：；
18．用配方法把二次函数化为的形式，并指出该函数的对称轴和顶点坐标．
19．先化简，再求值：，其中．
20．在不透明的口袋中装有个白色、个红色和若干个黄色的乒乓球除颜外其余都相同，小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤，下表是实验的部分数据：
(1)请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是______ 精确到，黄球有______ 个；
(2)如果从上述口袋中，同时摸出个球，求结果是一红一黄的概率．
21．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有一个根是，求的值；
(2)若方程有两个实数根，求的取值范围．
22．如图所示，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，，．
(1)这个图形变换中，旋转中心是__________，旋转角度是__________，_________．
(2)求证：直线
23．如图，在中，，⊙O是的外接圆，过点C作，交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使，连接AF．
(1)求证：；
(2)求证：AF是⊙O的切线．
24．某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)与之间的函数解析式为_______________________．当每千克干果降价1元时，超市获利__________元．
(2)若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
(3)若超市要想获得最大利润，这种干果每千克应降价多少元？最大利润是多少元？
25．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．点绕直线上一点逆时针旋转90°，与点重合．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)在抛物线图像上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形的面积与面积相等．若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，进行求解即可．
【详解】解：实数9的相反数是-9，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知相反数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故正确；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．A
【分析】根据一元二次方程的一般形式为：(a，b，c是常数且) 进行判断即可．
【详解】解：A、是一般形式，选项说法正确，符合题意；
B、的一般形式为，选项说法错误，不符合题意；
C、的一般形式为，选项说法错误，不符合题意；
D、的一般形式为，选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一般形式的结构特征．
4．A
【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的乘法运算、代数式求值，正确得出无理数的整数部分和小数部分是解答的关键．本题先求解，，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为，
∴，
故选：A．
5．B
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化成顶点式即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率所求事件的结果数总的结果数是解题关键．
【详解】解：解：一共有本书，从中任取本书共有种结果，选中的书是数学书的结果有种，
∴从中任取本书是数学书的概率，
故选： D．
7．B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
比较的半径和点到点的距离的大小，即可根据点与圆的位置关系判断点与位置关系．
【详解】解：∵的直径为8，即圆的半径为4，
而，
∴点到圆心的距离等于圆的半径，
∴点在上．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，由直径所对的圆周角是直角，得到，进而得到，由圆周角定理即可得，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
9．D
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了人，则第一轮传染了人，第二轮后则传染了人，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：每轮传染中平均每个人传染了人，根据题意可列出方程，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
10．D
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据函数的对称性和增减性，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴图象的开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵关于直线的对称点是，且，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，能熟练地运用二次函数的性质进行是解此题的关键．
11．6
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可，解题关键是掌握好关于原点对称点的坐标规律．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴它们的坐标符号相反，
∴点的坐标是，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．掌握此规律解题是本题的关键．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】解：的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
得．即；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：解：底面圆的半径为，
底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
母线长为，
这个冰淇淋外壳的侧面积为，
故答案为：．
15．40
【分析】连接OC，由圆周角定理可求得∠COD，由切线的性质可知∠OCD=90°，则可求得∠D．
【详解】解：连接OC，
∵∠A=25°，
则∠COD=2∠A=50°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=180-90-50=40°，
故答案为40.

【点睛】本题主要考切线的性质和圆周角定理，利用圆周角定理求得∠COD是解题的关键，注意有关切线问题中辅助线的运用．
16．-1或-5##-5或-1
【分析】利用新定义的规定列式计算即可得出结论．
【详解】解：


解得： 或
故答案为： 或
【点睛】本题考查了实数的运算，一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键．
17．，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法即可求解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法．
【详解】解：移项得，，
配方得，，
即，
开平方得，，
∴，．
18．，对称轴为直线，顶点
【分析】本题考查的是二次函数一般式和顶点式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．
利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【详解】解：
故二次函数对称轴为直线，顶点．
19．；
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
20．(1)0.25；2
(2)
【分析】（1）根据表中数据即可估计摸出一个球恰好是白球的概率，再用白球的个数除以摸到白球的概率，然后减去白、红球的个数即可得出答案；
（2）用表格列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
【详解】（1）解：由表中数据可估计摸出一个球恰好是白球的概率为0.25，
∵口袋中乒乓球的总个数为（个），
∴黄球有4-1-1=2（个）；
（2）解：两个黄球分别表示为黄1，黄2，
列表如下：
由上表可知，一共有12种等可能性的情况，其中是一红一黄的有4种情况，
∴结果是一红一黄的概率为．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率、列表法与树状图法求概率，解题的关键是明确在大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据一元二次方程的根的定义把代入中进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
得：，
解得：；
（2）解：∵方程有两个实数根，
∴，
解得：．
22．(1)A，，，
(2)证明见解析
【分析】本题考查了旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，熟知旋转的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质可知为旋转角，A为旋转中心，，即可求解；
（2）延长交于点，求得，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是正方形，旋转一定角度后得到，
∴，，
由旋转的性质可得：旋转中心是A，旋转角度是，，
∴；
（2）延长交于点，如图：
由旋转的性质可得：
又∵
∴
∴．
23．(1)见解析；
(2)见解析
【分析】(1)由AB=AC知∠ABC=∠ACB，结合∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC得∠BCD=∠ADC，从而得证；
(2)连接OA，由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，结合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB，∠CAF=∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴ ；
（2）解：如图，连接OA，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵已知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AF为⊙O的切线．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理推论、切线的判定、平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
24．(1)，；
(2)这种干果每千克应降价6元．
(3)当降价5元时，有最大利润为元；
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意求出y与x之间的函数关系式为是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可求解解析式、根据总利润=每千克利润×数量进行求解利润；
（2）总利润=每千克利润×数量列出方程求解即可．
（3）设获得总利润为元，再建立二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为，
当时，，
∴获利元；
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴．
答：这种干果每千克应降价6元．
（3）设获得总利润为元，则
，
∵，，
当时，有最大利润为（元）；
25．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可求解；
（2）连接、，作于点D，证明，根据全等三角形的性质，结合图形即可求解；
（3）设点Q的坐标为，根据得，推出，分和两种情况，解方程求出q即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点，
，
即抛物线的表达式为；
（2）解：如图，连接、，作于点D，
抛物线的对称轴l为直线，
，
点绕直线上一点逆时针旋转90°，与点重合，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点的坐标为；
（3）解：抛物线的表达式为，
当时，，
点的坐标为，
，
设点Q的坐标为，
，
，
，
，
当时，，
解得，，
点Q的坐标为或；
当时，，
解得，（与点C重合，不合题意），
点Q的坐标为，
综上可知，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等，解第二问的关键是添加辅助线构造全等三角形，解第三问的关系是注意分情况讨论．
摸球次数
80
1800
6000
1000-
1500
摸到白球次数
21
46
149
251
3712
摸到白球的概率
0.2625
0.256
0.2483
0.251
0.247
白
红
黄1
黄2
白
（白，红）
（白，黄1）
（白，黄2）
红
（红，白）
（红，黄1）
（红，黄2）
黄1
（黄1，白）
（黄1，红）
（黄1，黄2）
黄2
（黄2，白）
（黄2，红）
（黄2，黄1）