2023-2024学年陕西省延安培文实验学校九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省延安培文实验学校九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分，有下列图形等内容，欢迎下载使用。

九年级数学
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。全卷共4页，总分120分。考试时间120分钟。
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号。
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．计算：（ ）
A．B．C．D．
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）

A． B． C． D．
3．掷一枚质地均匀的骰子，则下列事件是必然事件的是( )
A．掷1次，掷出的点数是6B．掷1次，掷出的点数是3
C．掷1次，掷出的点数小于6D．掷1次，掷出的点数小于等于6
4．某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地做花圃，设这个矩形相邻两边长分别为和，那么关于的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
5．将抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（ ）
A．向右平移4个单位长度B．向下平移4个单位长度
C．向左平移4个单位长度D．向上平移4个单位长度
6．如图，在一间黑屋子的地面处有一盏灯，晓丽站在点处，落在墙上的影子为，，，点在上，晓丽的身高米，米，米，则的长为（ ）
A．3米B．米C．米D．4米
7．如图，为的直径，点、、在上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（ ）
A．20米B．18米C．10米D．8米
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是 ．（填序号）
10．关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为 ．
11．如图，正五边形内接于，若的半径为5，则劣弧的长为 ．（结果保留）
12．如图，双曲线与正方形ABCD的边BC交于点E，与边CD交于点F，且，，，则 ．
13．如图，已知矩形的边长，，点M在矩形的对角线上，若，则的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解方程：．
15．某校服生产厂对一批冬装校服的质量进行检测，随机抽取了500套校服，其中合格的有475套．
(1)从这批校服中任意抽取一套是合格品的概率的估计值是________．（结果精确到0.01）
(2)若这批冬装校服有8000套，请估计其中合格的有多少套？
16．如图，是由在平面内绕点逆时针旋转而得，且，连接求证：．
17．如图，已知点和线段，直线是线段的垂直平分线．利用尺规作，使得经过三点．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，点、在反比例函数的图像上，点同时在图中的正比例函数图像上．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)求的值及这个正比例函数的解析式．
19．如图，四边形的顶点坐标分别为，，，．以原点为位似中心，将四边形缩小为原来的，得到四边形，点的对应点分别是点，且点在第四象限．
(1)在平面直角坐标系中画出四边形；
(2)写出点的坐标．
20．如图，有背面完全相同正面分别是黑桃、黑桃、黑桃和梅花的四张扑克牌、一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，，．张莉和李涵利用扑克牌与小球做游戏，游戏规则是：将四张扑克牌背面朝上洗匀，张莉从中抽取一张，记下牌面数字；李涵从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，若两人记下的数字同为奇数则张莉胜，两人记下的数字同为偶数则李涵胜，其他情况视为平局．

(1)张莉从这四张扑克牌中随机抽取一张，求抽到的扑克牌牌面数字小于的概率；
(2)请用画树状图或列表法说明这个游戏规则对双方是否公平？
21．因为一条湖的阻断，无法测量A、C两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B的北偏东方向上，点C恰好位于点B的北偏西方向上，经过测量，千米．请计算A、C之间的距离．（参考数据：，，）

22．油纸伞是中国传统工艺品之一．某工艺品店以50元/把的价格购进一批油纸伞，经市场调查发现，当售价为60元/把时，平均每周可以销售140把，当每把的售价每上涨1元时，平均每周销售量减少2把．若该工艺品店销售这种油纸伞想要每周获利3000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则油纸伞每把应该涨价多少元？
23．某学校九年级一班进行课外实践活动，晓玲和张华利用所学过的知识测年楼房的高．如图，是楼房附近的一棵小树，张华测得地面上的点E、小树顶端和楼顶在一条直线上，米，米；在阳光下，某一时刻，晓玲站在点处时，恰好发现她自己的影子顶端与楼房的影子顶端重合，米，晓玲的身高米，米．已知点、、、、在同一水平直线上，，，，请计算出楼房的高度．

24．如图，在中，以为直径的分别交，于点，，过点的圆的切线交的延长线于点，．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径的长．
25．已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），交轴于点．

(1)求点、、的坐标；
(2)连接，抛物线的对称轴与交于点，对称轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，并说明理由．
26．问题提出
图1 图2 图3
（1）如图1，已知矩形的面积为42，点、分别在边、上，连接，若，，则四边形的面积为__________；
问题探究
（2）如图2，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，过点作，垂足为．求、的长；
问题解决
（3）现要对一块四边形空地进行规划，其示意图如图3所示，其中，，连接，，，在上找点，过点作于点，连接，根据规划在与区域种植花卉，其余区域种植草坪．
①设的长为，和的面积之和为，求与之间的函数关系式；
②种植花卉每平方米需花费0.01万元，种植花卉至少需要总费用多少万元？
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】．
故选：B．
2．C
【分析】根据三视图的定义逐个判断即可．
【详解】解：根据主视图可排除选项A、B，
根据左视图可排除选项D，
再根据俯视图可判断选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，解答的关键是理解三视图的定义：从正面看到的视图是主视图；从左面看到的视图是左视图；从上面看到的视图是俯视图．注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
3．D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、掷1次，掷出的点数是6，是随机事件，本选项不符合题意；
B、掷1次，掷出的点数是3，是随机事件，本选项不符合题意；
C、掷1次，掷出的点数小于6，是随机事件，本选项不符合题意；
D、掷1次，掷出的点数小于等于6，是必然事件，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．D
【分析】直接利用矩形面积求法，进而得出关于的函数表达式．
【详解】解：某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地做花面，设这个矩形相邻两边长分别为和，
关于的函数表达式为：，即．
故选D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握矩形面积求法是解题关键．
5．D
【分析】根据抛物线的平移规律进行作答即可．
【详解】解：因为抛物线经过平移得到抛物线，
故平移方法是向上平移4个单位长度，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，上加下减，左加右减．
6．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，，可得，即有，进而可得，问题随之得解．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴（米），
故选：B．
7．A
【分析】连接，，由是圆的直径，则，由圆周角定理知，，即可求，从而得出的度数．
【详解】解：连接，，

∵是圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了直径对的圆周角定理是直角和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．A
【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解．
【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
设抛物线解析式为，将点代入，得
解得
∴抛物线解析式为
令，解得（负值舍去）
即，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
9．②
【分析】此题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论．
【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，在①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆中，是中心对称图形的是①线段，③平行四边形，④正方形，⑤圆，不是中心对称图形的是②三角形，
故答案为：②．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，列出关于a的方程，通过解该方程可以求得a的值．
【详解】解：把代入可得，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】先求出中心角，再利用弧长公式计算即可．
【详解】如图，连接,则，
，
劣弧的长为，
故答案为：
【点睛】本题考查了正多边形与圆的相关知识．涉及到的知识主要有：正多边形的中心角计算公式：3，弧长计算公式：．注意每个公式使用的条件．
12．2
【分析】根据可设，，进而得出C、E的坐标，根据E点坐标得出表示出k的值，再根据C点坐标求得F点纵坐标，代入反比例表达式求出横坐标，进而求得CF的长．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∵点E在上，
∴，
∴双曲线表达式为：，
由点C坐标得出F点的纵坐标为，
∵点F也在上，将纵坐标代入求得，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，它们的横纵坐标的积等于k，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
13．##
【分析】先根据勾股定理得的长，再由矩形的性质可得，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
14．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为一般式，再利用配方法求解即可．
【详解】
，
∴，．
15．(1)
(2)合格的有套
【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用样本估计总体．
（1）利用合格的数量除以总数量即可作答；
（2）服装总数量乘以合格率即可作答．
【详解】（1），
即：从这批校服中任意抽取一套是合格品的概率的估计值是；
（2）（件）
答：合格的有套．
16．证明见解析
【分析】根据旋转变换的性质得到，根据全等三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的判定定理证明即可．
【详解】证明：由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定，掌握旋转前、后的图形全等以及全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．见详解
【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质，圆的概念等知识，连接，分别以A、C为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于点P、Q，连接，并交线段的垂直平分线于点O，以O为圆心，为半径作圆，问题得解．
【详解】作图如下：

即为所作．
根据作图可知垂直平分线段，即有，
又点O在线段的垂直平分线上，
则，即有，
则经过三点．
18．(1)
(2)，
【分析】（1）设这个反比例函数的解析式为（），再把代入解析式，计算即可；
（2）由点在函数的图像上，可得．设这个正比例函数的解析式为（），把点代入正比例函数，计算从而可得答案．
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为（）．
∵点在函数的图像上，
∴，．
故所求的反比例函数的解析式为
（2）∵点在函数的图像上，
∴．
设这个正比例函数的解析式为（）
∵点在正比例函数的图像上，
∴，解得：．
故所求的正比例函数的解析式为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数与反比例函数的解析式，掌握“正比例函数与反比例函数图像上点的坐标特点”是解本题的关键．
19．(1)见详解
(2)，
【分析】本题考查了位似变换，位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，结合点在第四象限，把点的横纵坐标都除以，再根据即可确定点，，，，的坐标，然后描点连线即可；
（2）由（1）得到点，的坐标．
【详解】（1）解：如图，四边形为所作；

（2）解：结合（1）中的图形可知：，．
20．(1)
(2)公平，解析如下．
【分析】（1）根据概率的公式，四张扑克牌：黑桃、黑桃、黑桃和梅花中小于的扑克牌有张，即可；
（2）根据题意，列出树状图，求出所有的可能性，即可．
【详解】（1）解：∵扑克牌为：黑桃、黑桃、黑桃和梅花四张，其中小于的扑克牌为：黑桃、黑桃、黑桃
∴随机抽取一张，求抽到的扑克牌牌面数字小于的概率为：．
（2）解：树状图如下：

∴张莉两次抽到奇数的结果为：，，，共种，获胜的概率为：；
李涵两次抽到偶数的结果为：，，，共种，获胜的概率为：；
两个人打成平手的结果有种；
∴张莉和李涵获胜的概率相同，游戏公平．
【点睛】本题考查列举法的知识，解题的关键是掌握概率的公式，学会画树状图或列表法．
21．千米
【分析】过作于，根据垂直的定义得到，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过点作于，
，
，千米，
（千米），（千米），
，
是等腰直角三角形，
千米，
（千米），
答：之间的距离约为千米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．油纸伞每把应该涨价20元．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设油纸伞每把应该涨价x元，然后根据利润=（售价成本）数量列出方程求解即可．
【详解】解：设油纸伞每把应该涨价x元，
由题意得：，
整理得：，
解得或，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：油纸伞每把应该涨价20元．
23．18米
【分析】分别证明，，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∵米，米，
∴①；
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∵米，米，米，米，
∴②，
由①②解得(米)，(米)，
答：楼房的高度为18米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，会利用相似三角形的性质解决实际测高问题是解答的关键．
24．(1)见详解
(2)的半径为5
【分析】（1）连接，利用圆周角定理的推论，得，即，然后根据切线的性质求出，结合已知证明，再由等腰三角形三线合一得出结论；
（2）连接，证明，可得，即可求得直径的长，从而求得答案．
【详解】（1）证明：连接，

∵是的直径，
∴，即，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，锐角三角函数的定义等知识，通过作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
25．(1)，，
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（1）把代入即可求得的坐标，把代入即可求得点、的坐标；
（2）如图，易知抛物线的对称轴，设点，因为是直角三角形，且点、、为顶点的三角形与相似，所以当或者进行分类讨论，即可解答
【详解】（1）解：依题意，把代入，
得，则，
把代入，
得，整理得，
解得，，
则，；
（2）解：存在，过程如下，
如图，易知抛物线的对称轴，设点，

易知抛物线的对称轴轴，即，且，
所以当，如下图所示：

即，
所以，
因为，
则，
此时点与的纵坐标相等，即为2，
所以；
当，点P在点D的正上方，如图所示：

易知，
因为，
所以
因为连接，抛物线的对称轴与交于点，
所以设解析式为，
把，代入，
得，
解得，
所以解析式为，
把代入，得，
所以，
则，
因为，
所以，
则
即，
解得或，
如图，点P在点D的正上方，
故舍去，
所以
综上所述：满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及相似三角形的判定，综合性较强．
26．（1），（2），，（3）①，，②种植花卉至少需要总费用万元
【分析】本题主要考查了解直角三角形，二次函数的应用，勾股定理等知识，
（1）先求出，再根据即可作答；
（2）先求出，根据垂直平分，，，即可求出，；
（3）①根据，可得，即有，则可得，，进而有，再根据，即可求解，②将所得的关系式化为顶点式即可作答．
【详解】（1）∵在矩形中，其面积为42，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴、是直角三角形，
∵， ，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
整理：，
∵，
∴，
∴，，
②∵，
∴当时，面积的最小值为：，
∵种植花卉每平方米需花费0.01万元，
∴最少的费用为：（万元），
答：种植花卉至少需要总费用万元．