2023-2024学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示，该几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
2.已知关于的方程的一个根为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心点，号“”与号“”的位似比为：点在号“”上，则点在号“”上的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，嘉嘉在时测得一棵高的树的影长为，若时和时两次日照的光线互相垂直，则时的影长为( )
A. B. C. D.
7.下面说法正确的是( )
A. 两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B. 对于反比例函数，随的增大而减小
C. 关于的方程是一元二次方程
D. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形
8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画圆弧，交于点，以为圆心长为半径画圆弧与的延长线交于点，连接分别与、交于点、，连接，下列结论中下列结论中错误的是( )
A. 四边形为菱形B.
C. ∽D. ≌
10.某学习小组用绘图软件绘制出了函数如图所示的图象，根据你学习函数的经验，下列对，大小的判断，正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若，则 ______ ．
12.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美如图，点为的黄金分割点如果的长度为，那么的长度为______ ．
13.如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为______．
14.如图，在矩形中，，，是上的一个动点不与，重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ______ ．
15.如图，为直角三角形，，，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，边与边交于点，则的长是______ ．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解下列方程：
；
．
17.本小题分
已知：▱的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根．
当为何值时，▱是菱形？
若的长为，求▱的周长．
18.本小题分
某校在九年级随机抽取了名学生分成甲、乙两组，每组各人，进行“网络安全”知识竞赛把甲、乙两组的成绩进行整理分析满分分，竞赛得分用表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识比较强，为网络安全意识一般收集整理的数据制成了如下统计图表：

根据以上信息回答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
已知该校九年级有人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
19.本小题分
如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为．
求证：；
若正方形的边长是，，点是的中点，求的长．
20.本小题分
园林部门计划在公园建一个如图甲所示的长方形花圃，花圃的一面靠墙墙足够长，另外三边用木栏围成，，建成后所用木栏总长米，在图甲总面积不变的情况下，在花圃内部设计了一个如图乙所示的正方形网红打卡点和两条宽度相等的小路，其中，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为平方米．

求长方形花圃的长和宽；
求出网红打卡点的面积．
21.本小题分
【综合与实践】：北师大版九年级上册数学教材第页第题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考．
【特例感知】：若木板的形状是如图甲所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是______ ．
【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图乙所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考：
设，，边上的高，则，，由∽得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值因为为定值，因此只需要分母最小即可．
小组同学借鉴研究函数的经验，令探索函数的图象和性质：
下表列出了与的几组对应值，其中 ______ ；
在如图丙所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；
结合表格观察函数图象，以下说法正确的是______ ．
A.当时，随的增大而增大．
B.该函数的图象可能与坐标轴相交．
C.该函数图象关于直线对称．
D.当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间．
22.本小题分
某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题：
【初步尝试】：他们将矩形的顶点、分别在如图所示的▱的边、上，顶点、恰好落在▱的对角线上，求证：；
【深入探究】：如图，若▱为菱形，，若，求的值；
【拓展延伸】：如图，若▱为矩形，，且，请直接写出此时的值是______ 用含有，的代数式表示．
答案和解析
1.【答案】
解：从正面看，是一个正方形，正方形的内部右上角是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2.【答案】
解：关于的方程的一个根为，
所以
解得．
故选：．
根据方程根的定义，将代入方程，解出的值即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
3.【答案】
解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可．
此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，熟记菱形的判定定理及平行四边形的性质定理是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是位似变换中的坐标变化，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】
解：号“”与号“”是位似图形，位似比为：，点，
点在号“”上的对应点的坐标为，即，
故选：．
5.【答案】
解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
据此可以估计黑色部分的面积为．
故选：．
用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
6.【答案】
解：根据题意得，，；
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
代入数据可得，
解得：；
即时的影长为．
故选：．
根据题意，画出示意图，易得：∽，进而可得，即，代入数据可得答案．
本题考查相似三角形的应用．解题的关键是正确证明三角形相似，运用相似三角形的性质进行计算．
7.【答案】
解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以选项不符合题意；
B.对于反比例函数，在每个象限内，随的增大而减小，所以选项不符合题意；
C.关于的方程，当时是一元二次方程，所以选项不符合题意；
D.顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形，所以选项符合题意．
故选：．
分别根据平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和菱形的判定判定即可．
本题考查了平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和菱形的判定，熟练掌握这些知识点是关键．
8.【答案】
解：月份售价为万元，月均下降率是，月份售价为万元，
．
故选：．
首先根据月份售价为万元，月均下降率是可得出月份的售价为万元，月份的售价为万元，据此根据月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是表示出月份的售价是解答此题的关键．
9.【答案】
解：由题意知：，
四边形是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故A不符合题意；
若，
四边形是菱形，
，
，
，
≌，
，
但和不一定相等，
因此和不一定全等，
和不一定相等，
故B符合题意；
，
∽，
故C不符合题意；
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
≌，
故D不符合题意．
故选：．
由矩形的性质推出，，，由作图得到，由菱形的判定，推出四边形是菱形，由和不一定全等，得到和不一定相等，由，推出∽，由判定≌．
本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10.【答案】
解：由图象可知，当时，，
；
当时，函数值不存在，
，
；
故选：．
由图象可知，当时，，可知；时，函数值不存在，则．
本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．
11.【答案】
解：，
．
故答案为：．
根据比例的性质即可得出答案．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
12.【答案】
解：点为的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13.【答案】
解：由题意得，，，
在中，，
则，
，
∽，
，即，
解得：，
故答案为：．
根据正切的定义求出，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
14.【答案】
解：连接，
由题意得：，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，利用同底面积比等于高之比，得到点坐标，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用是解题关键．
15.【答案】
解：如图，过点作于，过点作于，
，，，
，
是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将绕着点逆时针旋转，
，，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
先证，由锐角三角函数可求，的长，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，通过证明∽，可得，可求的长，通过证明∽，由相似三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16.【答案】解：；
，
，
或，
所以，；
，
，
或，
所以，．
【解析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17.【答案】解：当时，，▱是菱形，
即，的长是关于的方程的两个相等的实数根，
，
解得，，
，，
的值为；
，
，，
，
解得，
▱的周长．
【解析】根据菱形的判定得到，再利用根的判别式的意义得到，解得，，然后根据根与系数的关系得到，，从而确定的值；
利用根与的关系得到，，解方程组得到，然后根据平行四边形的性质求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了平行四边形的性质和菱形的判定与性质．
18.【答案】
解：．
将乙组学生竞赛成绩按从小到大的顺序排列，排在第和第位的成绩分别为分和分，
．
由图可知，乙组的众数为，
．
故答案为：；；．
人．
估计九年级网络安全意识非常强的人数一共约为人．
由图和图可知，甲组满分人数为人，记为，乙组满分人数为人，分别记为，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：，，，，共种，
抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为．
根据平均数的定义可求出；根据中位数的定义可求出；根据众数的定义可求出．
根据用样本估计总体，用乘以甲乙两组满分的人数所占的百分比，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
19.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
；
解：，
，
，
，
，
，
是中点，，
．
【解析】根据正方形的性质可得，，结合可得即可得证；
由题意知即可求出，则，根据勾股定理即可求出，由是中点可得即可解答．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
20.【答案】解：设米，
米，
根据题意，得，
解得，
米，米，
答：长方形花圃的长为米，宽为米；
设网红打卡点的边长为米，
根据题意，得，
解得，舍去，
网红打卡点的面积为平方米，
答：网红打卡点的面积为平方米．
【解析】设米，根据三边所用木栏总长米，列方程求解即可；
设网红打卡点的边长为米，根据空白的面积长方形花圃的面积花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
21.【答案】
解：过点作于点，交于点，如图，
设，则．
，，
，
．
．
，
．
，
，
∽，
．
，
．
故答案为：；
当时，
．
故答案为：；
在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象：
由图象知：当时，随的增大而增大，
选项的结论不正确；
由图象知：该函数的图象不可能与坐标轴相交，
选项的结论不正确；
由图象知：该函数的图象不是轴对称图形，
选项的结论不正确；
由图象知：当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间，
选项的结论正确．
故答案为：．
过点作于点，交于点，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
将值代入运算即可；
画出函数的图象，结合函数的图象回答即可．
本题主要考查了动点问题的函数的图象，描点法化出函数的图象，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】
【解析】证明：四边形是矩形，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，连接交于点，过点作于，连接，
设，
四边形是菱形，，
，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，，
，，，
，，
；
解：连接交于点，过点作于，
同理可得：，，
，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得；
由矩形的性质和直角三角形的性质分别求出，，，的长，即可求解；
用，表示，，的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用参数表示线段的长是解题的关键．平均数
中位数
众数
甲组
乙组