2023-2024学年上海市上海外国语大学附属中学八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市上海外国语大学附属中学八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（10×2分＋6×3分＝38分）
1．的根为 ．
2．在实数范围内分解因式： ．
3．设是方程的两个根， ．
4．一次函数的图像在y轴上的截距是1，且y 随着x的增大而减小，则 ．
5．正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ．
6．正比例函数和反比例函数的图像都经过，则正比例函数的解析式为 ．
7．在中，，的垂直平分线与边所在直线相交所成锐角为，则 ．
8．已知，在x轴上找一点P，使得点P到A， B两点的距离相等，则点P的坐标为 ．
9．若直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则 ．
10．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ．
11．函数与图象没有交点，则b的取值范围是 ．
12．如图，在中，，，是等边三角形，，则 ．
13．如图，在中，点D是斜边的中点，点P在上，于点E，于点F，若，，则 ．
14．如图，P1是反比例函数(k＞0)在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为(2，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，则A2点的坐标为 ．

15．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，若直线与线段总有交点，则的取值范围是 ．
16．已知中，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则的长为 ．
二、选择题（3分×4＝12分）
17．下列命题中，真命题的有（ ）个．
到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线；
以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线；
反比例函数，随着的增大而增大；
过原点的一条直线一定是正比例函数的图象．
A．B．C．D．
18．一次函数的图像不经过第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
19．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为，则值为（ ）
A．B．C．D．
（三）解方程（4分×2＋6分＝14分）
21．解方程：2x2+3x﹣1=0(用配方法)
22．解方程：
23．解方程：（m为常数）
（四）简答题（6分×3＝18分）
24．已知一次函数和反比例函数的图象交于、两点，点的坐标是
(1)求点A的坐标和这个一次函数解析式；
(2)求出另一个交点的坐标，并根据函数图象直接写出时的范围．
25．已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证：
(1)DG＝DE；
(2)∠DEG＝∠DEC．
26．小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（元/公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图像如图所示．
(1)求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
(2)如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？
（五）解答题（9分×2＝18分）
27．如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
28．如图，中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设

(1)如图1，当点和点重合时，求的面积；
(2)如图2，设当点在的延长线上时，，求关于的函数解析式，并求出定义域；
(3)若为直角三角形，求的值．
参考答案与解析
1．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程左边正好是一个完全平方式，利用直接开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故答案为：．
2．
【分析】本题考查了对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般分到出现无理数为止．
【详解】解：
，
，
故答案为：．
3．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再由一元二次方程解的定义得到，则所求式子可变形为，则所求式子可变形为，据此代值计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，，
∴
，
故答案为：177．
4．
【分析】本题主要考查了一次函数的截距问题，对于一次函数，其在y轴上的截距是b，据此可得，则．
【详解】解：∵一次函数的图像在y轴上的截距是1，
∴，
∴，
故答案为：．
5．##
【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据题意可知y随x增大而减小，则，可得．对于正比例函数，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小．
【详解】解：∵正比例函数的图像经过，且，
∴，
∴，
故答案为：．
6．
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，先将点代入求出，再代入正比例函数的解析式 即可得出答案．
【详解】解：把点 的坐标代入得，
∴点的坐标为 ，
把 代入，得，
∴正比例函数的解析式为 ，
故答案为：．
7．或
【分析】本题考查了等腰三角形与线段垂直平分线的性质．首先根据题意作图，然后由的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，即可得，，然后分两种情况讨论：①当三角形是锐角三角形时，即可求得的度数，②当三角形是钝角三角形时，可得的邻补角的度数；又由，根据等边对等角与三角形内角和的定理，即可求得．
【详解】解：∵的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，
∴，，
①如图1，当是锐角三角形时，．
∵，
∴，
②如图2，当是钝角三角形时，．
∵，
∴．
综上所述：的度数是或．
故答案为：或．
8．
【分析】本题主要考查了勾股定理，设点P的坐标为，则，，根据点P到A， B两点的距离相等，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：设点P的坐标为，
∴，，
∵点P到A， B两点的距离相等，
∴，
∴，
解得，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的图形面积问题，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标分别为，再根据围成的图形面积为6得到，据此求解即可．
【详解】解：在中，当时，，但时，，
∴一次函数与坐标轴的交点坐标分别为，
∵直线与坐标轴围成的三角形面积为6，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．且
【分析】本题考查了分式方程的解与解不等式，把看作常数，根据分式方程的解法求出的表达式，再根据方程的解是负数列不等式组并求解即可，解题的关键是牢记分式有意义的条件，熟练掌握解方程的步骤．
【详解】解：，
，
，
，
，
∵分式方程的解为负数，
∴，解得：，
又∵，
∴且，解得：且，
综上可知：且，
故答案为：且．
11．
【分析】本题考查了函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程(组)无解，由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解，由此可求出的取值范围.
【详解】解：的图象是过原点且在第一、三象限的一条直线，要使与它无交点，则的图象只能在第二、四象限，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理和角所对直角边是斜边的一半，过作于点，则，从而可得出，再根据等边三角形的性质得到，最后用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】如图，过作于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查了直角三角形斜边中线定理，勾股定理和三角形面积等知识，解题的关键是利用面积法求高．作于点M，连接，首先根据题意得到，，然后利用求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，作于点M，连接，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．(2，0)
【分析】由于△P1OA1为等边三角形，作P1C⊥OA1，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P1的坐标，根据点P1是反比例函数y＝ (k＞0)图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；作P2D⊥A1A2，垂足为D．设A1D＝a，由于△P2A1A2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．
【详解】作P1C⊥OA1，垂足为C，
∵△P1OA1为边长是2的等边三角形，
∴OC＝1，P1C＝2×＝，
∴P1(1，)．
代入y＝，得k＝，
所以反比例函数的解析式为y＝．
作P2D⊥A1A2，垂足为D．
设A1D＝a，
则OD＝2+a，P2D＝a，
∴P2(2+a，a)．
∵P2(2+a，a)在反比例函数的图象上，
∴代入y＝，得(2+a)• a＝，
化简得a2+2a﹣1＝0
解得：a＝﹣1±．
∵a＞0，
∴a＝﹣1+．∴A1A2＝﹣2+2，
∴OA2＝OA1+A1A2＝2，
所以点A2的坐标为(2，0)．
故答案为：(2，0)．

【点睛】此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
15．或
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据性质即可求解，熟练掌握一次函数的性质时解题的关键．
【详解】解：把代入得，，解得：，
把代入得，，解得，
∵直线与线段总有交点，
∴的取值范围是或，
故答案为：或．
16．或
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，分当锐角B翻折时，点B与点D重合，当锐角A翻折时，点A与点D重合，两种情况根据折叠前后对应线段相等，在中利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图，当锐角B翻折时，点B与点D重合，
由折叠的性质可得，
D为的中点，
，
设，则，
在中，由勾股定理得
，
解得
；
如图，当锐角A翻折时，点A与点D重合，
由折叠的性质可得，
D为的中点，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得
故答案为：或．
17．A
【分析】此题考查了命题，根据命题的概念判断真假即可，解题的关键是熟练掌握掌握知识点的应用和正确理解命题．
【详解】在角的的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的的平分线（端点除外），故该命题是假命题；
底边为定长的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是底边的垂直平分线，底边的中点除外，故该命题是假命题；
反比例函数，在每一象限内，随着的增大而增大，故该命题是假命题；
过原点的一条直线不一定是正比例函数的图象，经过原点的可能是或轴，故该命题是假命题；
所以真命题的有个，
故选：．
18．B
【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定的取值范围，再根据的取值范围确定一次函数图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
【详解】解：，
∵，，
∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，
∴一次函数的图像不经过第二象限，
故选：．
19．B
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，先根据一次函数经过的象限判断的符号，再根据反比例函数的图象经过的象限，判断出的符号，看是否一致，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意；
、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项正确，符合题意；
、一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第一、三象限，则，此选项错误，不符合题意；
、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意；
故选：．
20．C
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法，连接，由矩形的性质和已知条件得出，再求出的面积，即可得出k的值，熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．
【详解】连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵、在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴，由，
∴，
故选：．
21． ， .
【详解】试题分析：先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x即可.
试题解析：2x2+3x﹣1=0,
移项，得2x2+3x=1，
二次项系数化为1，得x2+x=，
配方，得x2+x+（）2=+（）2，即（x+）2=，
解得，x+=±，
即x1= ，x2= .
点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数.
22．或或
【分析】本题主要考查了解分式方程，设，则，则可把原方程化为，解得或，进而得到或，即或，再分别解两个一元二次方程即可．
【详解】解：设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴或，
∴或，
解方程得，解方程得或，
经检验，，，都是原方程的解，
∴原方程的解为或或．
23．当时，原方程无解，当时，原方程的解为且且
【分析】本题主要考查了解分式方程，先解分式方程得到，则当时，原方程无解；当时，，再求出分式方程有增根时m的值，以及求出对应m值下方程的解即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∴，
∴，
∴当时，原方程无解；
当时，，
当时， 则，解得，
当时，解得或（增根舍去），
当时，则，解得，
当时，解得或（增根舍去）；
综上所述，当时，原方程无解，当时，原方程的解为且且．
24．(1)，；
(2)，或．
【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
（1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求的值，再将点的坐标代入一次函数的解析式可求得的值；
（2）根据图象，结合点和点的坐标，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数 的图象上，
点的坐标为， 代入一次函数得
∴一次函数的解析式为：．
（2）解：由题意得，
解得
∴另一交点的坐标为：，
∴由图象可知：的取值范围为或．
25．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据AD⊥BC，∠ABC＝45°，可以得到△ABD是等腰直角三角形，得到AD=BD，根据BE⊥AC，得到∠C+∠CBE=90°，根据∠CAD+∠C＝90°，得到∠FBD＝∠CAD，推出△BDF≌△ADC，得到BF＝AC，根据G为BF的中点，得到DG＝BF，根据AB＝CB，BE⊥AC，得到E为AC的中点．推出DE＝AC，得到DG＝DE；
（2）根据BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，得到BG＝AE，根据∠DBG＝∠DAE，AD=BD，推出△BDG≌△ADE，得到∠BDG＝∠ADE，推出∠DGE＝∠DBG+∠BDG，根据∠DEC＝∠DAE+∠ADE，得到∠DGE＝∠DEC，根据DG＝DE，得到∠DGE＝∠DEG，推出∠DEG＝∠DEC．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD＝90°-∠ABC=45°，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵∠CAD+∠C＝90°，
∴∠FBD＝∠CAD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF＝AC，
∵G为BF的中点．
∴DG＝BF，
∵AB＝CB，BE⊥AC，
∴E为AC的中点．
∴DE＝AC，
∴DG＝DE；
（2）（2）由（1）知：∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，
∴BG＝AE，
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴∠BDG＝∠ADE，
∴∠DGE＝∠DBG+∠BDG，
∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，
∴∠DGE＝∠DEC，
∵DG＝DE，
∴∠DGE＝∠DEG，
∴∠DEG＝∠DEC．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形，等腰三角形，直角三角形斜边上的中线，三角形外角．解决本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形外角性质．
26．(1)
(2)60元或70元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴y与x之间的函数解析式为
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∴如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤60元或70元．
27．(1)
(2)或
(3)的坐标为：或或或
【分析】（1）先求解的坐标，再代入反比例函数解析式，从而可得答案；
（2）分两种情况讨论：如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则再利用角平分线的性质与全等三角形的性质，勾股定理可得答案；
（3）画出图形，分4种情况讨论，当时， 当时， 当时， 当时，再结合等腰三角形的性质与勾股定理可得答案.
【详解】（1）解： AB⊥x轴，AB=3，

则
设反比例函数为

所以反比例函数为
（2）解：存在，或；理由如下：
如图，作的角平分线交于 过作于
而轴，则
则
而



如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于
则 而


而

设

解得：

综上：或
（3）解：如图， 为等腰三角形，
当时，
当时，
当时，
当时，设

解得：
综上：的坐标为：或或或
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简与二次根式的除法运算，熟练的运用以上知识解题是关键.
28．(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
（1）由含 角的直角三角形的性质得再由勾股定理得然后再证最后由三角形面积关系即可得出答案；
（2）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得然后由得 则求出的范围即可；
（3）分两种情况： ①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：
的面积的面积．
（2）解：
∵点在的延长线上，
∴点不与点重合，
∵点是边上的一个动点，，
即关于的解析式为．
（3）解：分两种情况：
①当时，如图3所示：

则
由（2）得：
解得：
②当时， 如图4所示：

是等边三角形，
解得：
综上所述，若为直角三角形，的值为或．